精品解析：江苏常州市教科院附属初级中学2025-2026学年九年级下学期3月新课结束调研数学试卷

九年级新课结束调研数学试卷 2026.03 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 2. 在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内． 【详解】∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴，即， ∴点P在外． 3. 某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A. 21，21 B. 21，21.5 C. 21，22 D. 22，22 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据中，21出现了10次，出现次数最多，所以众数为21， 第15个数和第16个数都是22，所以中位数是22. 故选C. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可求出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 整理得，， 解得，． 5. 如图，当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到，再根据正弦值求得答案． 【详解】解：位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米， ， 在中，， ． 6. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似图形的概念，得到四边形四边形，，，进一步得出，，进一步得，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形， 四边形四边形，，， ，， ，． ， ， ． 7. 如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，图中两圆周的交点为，点在大量角器上对应的刻度为，则点在小量角器上对应的刻度（小于）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，则有，根据等腰三角形的性质可知，利用三角形内角和定理求出，即为点在小量角器上对应的刻度． 【详解】解：如下图所示，连接、， 则有， ， 由题意可知， . 8. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用根的判别式得到的范围，再结合二次函数图像性质得到时对应的函数值，即可求出的完整取值范围． 【详解】解：∵二次函数（为常数）有不动点， 令，则，即， ∵二次函数有两个不相等的不动点， 即有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 令，该抛物线开口向上，对称轴为， ∵方程的两个根都小于， ∴当时，， 解得：， 综上所述，的取值范围是． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再把代入所求式子中约分，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 10. 在中，，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可知为斜边，可先由勾股定理求出直角边的长，再根据正切的定义计算即可得到的值． 【详解】解：， 为的斜边，，为直角边， 由勾股定理得： ， 根据锐角正切的定义可得． 11. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点H、G、E、F处都是等可能情况，从而得到在四个出口H、G、E、F也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解． 【详解】解：由图可知，在每个岔路口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，赛车最终驶出的点共有H、G、E、F四个， ∴最终从点H驶出的概率为． 12. 如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 【答案】50 【解析】 【分析】连接，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，再根据垂径定理得出，进而可得解． 【详解】解：如图，连接． ， ． 是的直径，是的弦，且， ， ． 13. 若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则在平面直角坐标系中，点位于第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，平面直角坐标系中点所在象限的判断，解题关键是掌握一元二次方程中，两根之和为，两根之积为，先求出和的值，再根据点的坐标判断所在象限即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， 根据根与系数的关系可得，两根之和， 两根之积， 点为． 点的横坐标为正，纵坐标为负， 点位于第四象限． 14. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等，进一步证明，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， ． ， ， ， ， ． 15. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 16. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴图2中的阴影部分的面积为． 17. 某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用待定系数法求出的解析式，再根据形状相同， 得出抛物线的二次项系数为，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为． 18. 如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，B．点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴的正方向移动，以点M为圆心，3为半径画．P是直线上的一个动点，过点P作的切线，切点为Q．当点M移动6秒时，的最小值为________． 【答案】 3 【解析】 【分析】首先，证得是等腰直角三角形，，然后， 由，证得，再根据 要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小， 此时的最小值为点到直线的距离，运用特殊角的正弦函数求得，最后，代入化简计算即可． 【详解】解：连接， 对于直线，令，则，解得， ∴点， 对于直线，令，则， ∴点． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，，根据勾股定理，得， 即， 要使最小，则需最小， 根据垂线段最短可知，当时，最小， 此时的最小值为点到直线的距离， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴，即， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴的正方向移动，移动6秒， ∴， ∴， 将代入，可得， 综上，的最小值为． 【点睛】解题的关键在于先求出点M移动6秒后的的长，再根据切线的性质得到与的关系，最后利用垂线段最短求出的最小值． 三、解答题（本大题共10小题，共84分，第19题6分，第20、21、22、23、24、28题每题8分，第25、26、27题每题10分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）x1=4 x2=-2；（2）x1=-4 x2=1 【解析】 【详解】分析：（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式法解一元二次方程即可. 详解：（1）， ， ∴或， ∴x1=4 x2=-2； （2） ， ， ， ∴或， ∴x1=-4，x2=1. 点睛：本题主要考查一元二次方程的解法. 熟练选用适当的方法解一元二次方程是解题的关键. 21. 为了推动落实中小学生每日至少2小时的综合体育活动时间，对甲、乙两所学校学生某星期每日综合体育活动时长的数据进行整理、描述和分析，制作了甲、乙两所学校学生该星期每日参加综合体育活动的平均运动时长的折线图和统计表： 平均数 中位数 众数 甲 126 m n 乙 124 124 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中________，________； （2）若甲、乙两所学校学生该星期每日参加综合体育活动的平均运动时长的方差为，，则________（填“”“”或“”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五参加综合体育活动的平均运动时长被记录为120分钟，实际为130分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日参加综合体育活动的平均运动时长的统计量不发生变化的是________（填序号）． ①平均数，②中位数，③众数，④方差． 【答案】（1）126；130 （2） （3）③ 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）分别求出两所学校的方差，比较即可得到答案； （3）求出实际的平均数，方差，众数和中位数即可得到答案． 【小问1详解】 解：把甲这所学校每日的综合体育活动时间按照从低到高排列：， ∴甲这所学校的中位数为126，，众数为130，即； 【小问2详解】 解：， ， ∴； 【小问3详解】 解：甲学校的实际数据为， ∴甲学校的实际平均数为， 实际的中位数为130，实际的众数为130， ∴甲学校的实际方差为， ∴不发生变化的是众数． 22. 物理变化与化学变化存在于我们生活中的方方面面，小明将常见的4种生活现象：A．光合作用，B．葡萄酿酒，C．冰雪融化，D．衣服晾干，分别写在四张不透明的卡片正面，卡片除字母和内容外，其余完全相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（注：生成新物质的变化叫做化学变化，为化学变化，没有生成新物质的变化叫做物理变化，为物理变化） （1）小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是_____；（直接写结果） （2）小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求两张卡片均为物理变化的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片均为物理变化的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12个等可能的结果，抽到的两张卡片均为物理变化的结果有2个， ∴抽到的两张卡片均为物理变化的概率为． 23. 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 【答案】过道的宽应该设计米． 【解析】 【分析】设过道的宽为米，根据题意得出，解方程，根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】解：设过道的宽为米，根据题意得， 整理得，， 解得：（舍去）， 答：过道的宽应该设计米． 24. 如图1，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图2为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长，与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径的长为________． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）4 【解析】 【分析】解题的关键是掌握切线的判定定理，利用全等三角形证明垂直关系，结合直角三角形的特殊性质建立方程求解． (1)通过连接，利用平行线的性质、等腰三角形的性质证明，得到，从而证明，证得是的切线； (2)先由的值得出，利用切线长定理得到，再结合三角函数求出的长度，利用直角三角形中角的性质得到，结合的表达式建立方程求解半径． 【小问1详解】 证明：连接． ∵是的切线， ∴，即， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴ 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即，解得， 故的半径长为4． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M是x轴上的一个动点，若以M、A、B为顶点的三角形与相似，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1）把点代入得到反比例函数的解析式为；把代入得到点的坐标为，待定系数法得到一次函数的解析式为； （2）设，解方程得到，，分两种情况根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 反比例函数的解析式为， 把代入得， 点的坐标为， 把和点代入得 ， 解得 一次函数的解析式为． 综上所述：反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设， 在中，令，则，令，则， ，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， 当时， ， ， ，，， ， 解得（不合题意舍去）， ∴， 当，， ， 轴， ，即， 点的坐标为； 综上可知，点M的坐标为或． 26. 2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向．小明以大约的速度从C打卡点沿C→D方向步行至D打卡点用了，，求打卡点A与B之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】5km 【解析】 【分析】过点A作于点A，过点C作于点C，交于点F，交于点G，过点D作于点E，然后利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：过点A作于点A，过点C作，交于点F，交于点G，过点D作于点E， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ∴，，，， ∵小明以的速度从C打卡点沿方向步行至D打卡点用了， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上第二象限内的一点，连接，，若，求点的坐标； （3）若点为线段上一动点，则的最小值为________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线经过点，代入抛物线方程，求出m的值，从而确定抛物线的解析式； （2）过点作轴的垂线，交轴于点，设点的坐标为，根据抛物线与轴的交点，求出，的坐标，通过，利用正切值相等建立方程，结合点在第二象限的条件，求出点的坐标； （3）过点作，交于点，当点，，三点共线时，有最小值，根据等腰直角三角形的判定和性质，则是等腰直角三角形，得到，，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，交轴于点， 设点的坐标为， ∵抛物线与轴交于、两点， 令， 解得：，； ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点． 【小问3详解】 解：过点作，交于点， 由（2）可知，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，有最小值， 此时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A和给出如下定义： 若上存在两个不同的点M，N，对于上任意满足的两个不同的点P，Q，都有，则称点A是的关联点，称的大小为点A与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为________； ②点在第一象限，若对于任意长度小于2的线段，上所有的点都是的关联点，则m的最小值为________； （2）已知点，，经过原点，圆心在x轴的正半轴移动，且线段EF上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，．②； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解．②根据定义可得为外一点，由，的半径为1，得出 ，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （2）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为1， ∴ ， 当时，如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为； 【小问2详解】 解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，又，如图， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆上，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级新课结束调研数学试卷 2026.03 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 在同一平面内，已知的半径，点P到圆心O的距离，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 3. 某市6月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A. 21，21 B. 21，21.5 C. 21，22 D. 22，22 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 0 5. 如图，当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将大小不同的两块量角器的零刻度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，图中两圆周的交点为，点在大量角器上对应的刻度为，则点在小量角器上对应的刻度（小于）为（ ） A. B. C. D. 8. 对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于的不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 若，则的值为________． 10. 在中，，，，则的值为________． 11. 遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动．如图是某赛道的部分通行路线示意图，某赛车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该赛车从H口驶出的概率是________． 12. 如图，是的直径，，垂足为点E，连接、，若，则的度数是________． 13. 若一元二次方程的两根之和为m，两根之积为n，则在平面直角坐标系中，点位于第________象限． 14. 如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________． 15. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 16. 如图1，是第19届杭州亚运会会徽，名为“潮涌”，象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2，是由两个扇形组成的会徽的几何图形，已知，则图2中的阴影部分的面积为_____． 17. 某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 18. 如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，B．点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴的正方向移动，以点M为圆心，3为半径画．P是直线上的一个动点，过点P作的切线，切点为Q．当点M移动6秒时，的最小值为________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分，第19题6分，第20、21、22、23、24、28题每题8分，第25、26、27题每题10分） 19. 计算： 20. 解方程： （1） （2） 21. 为了推动落实中小学生每日至少2小时的综合体育活动时间，对甲、乙两所学校学生某星期每日综合体育活动时长的数据进行整理、描述和分析，制作了甲、乙两所学校学生该星期每日参加综合体育活动的平均运动时长的折线图和统计表： 平均数 中位数 众数 甲 126 m n 乙 124 124 根据以上信息，解答下列问题： （1）表中________，________； （2）若甲、乙两所学校学生该星期每日参加综合体育活动的平均运动时长的方差为，，则________（填“”“”或“”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五参加综合体育活动的平均运动时长被记录为120分钟，实际为130分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日参加综合体育活动的平均运动时长的统计量不发生变化的是________（填序号）． ①平均数，②中位数，③众数，④方差． 22. 物理变化与化学变化存在于我们生活中的方方面面，小明将常见的4种生活现象：A．光合作用，B．葡萄酿酒，C．冰雪融化，D．衣服晾干，分别写在四张不透明的卡片正面，卡片除字母和内容外，其余完全相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．（注：生成新物质的变化叫做化学变化，为化学变化，没有生成新物质的变化叫做物理变化，为物理变化） （1）小明从中随机抽取一张卡片是化学变化的概率是_____；（直接写结果） （2）小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求两张卡片均为物理变化的概率． 23. 2026年江苏省足球联赛（“苏超”联赛）将于4月11日拉开战幕，首场比赛由常州队主场迎战南通队．为满足球迷们的需求，某镇准备开辟第二现场，在乡村的大广场挂上大屏，摆放凳子，供球迷观看．已知大广场的长为50米，宽为40米，并在广场内预留三条同样宽的过道（如图），以更好地维持秩序．如果要保证观众座位的面积达到1872平方米，则过道的宽应该设计为多少米？ 24. 如图1，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图2为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长，与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径的长为________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点M是x轴上的一个动点，若以M、A、B为顶点的三角形与相似，求点M的坐标． 26. 2026年1月1日，长安灯会在西安城墙上“惊喜”亮灯，吸引了市民和游客纷至沓来，同时在遗址公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向．小明以大约的速度从C打卡点沿C→D方向步行至D打卡点用了，，求打卡点A与B之间的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 27. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为该抛物线上第二象限内的一点，连接，，若，求点的坐标； （3）若点为线段上一动点，则的最小值为________． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点A和给出如下定义： 若上存在两个不同的点M，N，对于上任意满足的两个不同的点P，Q，都有，则称点A是的关联点，称的大小为点A与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图，的半径为1． ①在点，，中，点________是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为________； ②点在第一象限，若对于任意长度小于2的线段，上所有的点都是的关联点，则m的最小值为________； （2）已知点，，经过原点，圆心在x轴的正半轴移动，且线段EF上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $