2025-2026学年人教版七年级数学下册专题四《二元一次方程组》期末高频考点练习

**基本信息** 2026年人教版七年级数学下册《二元一次方程组》期末高频考点练习，60分钟100分，覆盖方程解的意义、实际应用等核心内容，通过分层设计与真实情境考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|解的意义、参数讨论、古代数学问题（《算法统宗》）|结合矩形图形、轮胎行驶等情境，新运算定义体现创新| |填空题|4/12|方程变形、解的代入、行程问题|非负性应用考查抽象能力，平路上下坡问题具生活真实性| |解答题|6/52|奶茶购买方案、快递收费计算、矩阵与方程组|多问设计（如奶茶题3小问），矩阵关联高等代数，体现模型意识与推理能力|

2026年人教版七年级数学下册专题四《二元一次方程组》期末高频考点练习（解析版） 时间：60分钟，总分：100分 班级____________姓名____________学号____________得分____________ 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．是二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入二元一次方程中，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把代入二元一次方程， 得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，涉及一元一次方程，去括号，合并同类项等知识点．理解方程的解的定义是解题的关键． 2．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　） ①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义是正确解题的关键．直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得： ， 解得：， 把代入得：， ∴当时，该方程组的解也是方程的解， 故①正确， ②解方程组得：， ∵， 则， 解得：， 故②正确， ∵解方程组得：， ∴不论取什么实数，的值始终不变． 故③正确， 故选：A． 3．在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．观察图形对边相等得出关于x，y的二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 4．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为，设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里，根据题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1公里磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1公里的磨损量为， 设一对新轮胎交换位置前走了公里，交换位置后走了公里， 由题意可得， 两式相加可得， 解得：， 故这对轮胎最多可以行驶公里， 故选：D． 5．中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 根据总价单价数量，结合题意，即可得关于、的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：共买了一千个苦果和甜果， ， 共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ， 可列方程组为． 故选：A． 6．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用，三元依次方程组的应用，找准等量关系，正确列出代数式是解题关键．设三个区域原来的面积分别为，先求出复兴划分后，区的面积与区的面积，从而可得，再设区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为，根据爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为可得，据此化简即可得． 【详解】解：设三个区域原来的面积分别为， 由题意得：复兴划分后，区的面积为，区的面积为， ∵复兴划分后，造成现区的面积占两区面积和的比例达到了， ，即， ∴复兴划分后，区的面积为，区的面积为， 设爸爸将区划分给区的面积为，则区划分给区的面积为， ∵爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为， ， ①，②， 由①得：， 将代入②得：， ， 则爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为， 故选：B． 7．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 8．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，其中水稻超产，小麦超产，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻吨，小麦吨，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．设该专业户去年计划生产水稻x吨，小麦y吨，根据去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，列方程组即可． 【详解】解：由题意得， ， 故选：． 9．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】B 【分析】设购买x件一等奖品，y件二等奖品，由题意：现计划拿出240元钱全部用于购买奖品，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：设购买x件一等奖品，y件二等奖品， 由题意得：15x+10y=240， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或或或或， ∴购买方案有7种， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 10．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 【答案】C 【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得： ，解得：．故选C． 11．已知和都是关于x、y的二元一次方程y＝x+k的解，且，则k的值为（　　） A．k＝±5 B．k＝± C．k＝±7 D．k 【答案】B 【分析】根据方程的解的定义代入方程，可得，即，代入得，得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：将和代入y＝x+k可得， ，即， 代入得， ，即， 解得， 故选B 【点睛】本题考查二元一次方程组的解的定义、求平方根，准确进行转换是解题的关键． 12．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质，掌握以上知识是解题关键． 将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，解得，故②正确；设，代入解得，故③错误解方程，解得：，当 时，，，当 时，，，当 时，，，因此存在三对自然数解，④错误； 【详解】解：将代入原方程组得，解得：，将其代入，解得：， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； 方程组，得：，当，解得：；故②正确； 设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误； 解方程，解得：， 当 时，，， 当 时，，， 当 时，，， 因此存在三对自然数解，④错误； 综上所述：①②正确， 故选：A； 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．将方程变形为用含的代数式表示的形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程；移项后把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 14．若关于x，y的方程组的解是，则的值是___． 【答案】2 【分析】将方程组的解代入求出a，b的值，即可得出答案． 【详解】因为方程组的解是， 所以， 解得， 所以． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求代数式的值，根据二元一次方程组的解的定义求出字母的值是解题的关键． 15．若实数，，满足关系式，则的值为______ 【答案】22 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 根据能开平方的数一定是非负数，得、，即，进而得到，即①，从而有，再根据算术平方根的非负性可得出②，③，联立①②③解方程组可得出m的值即可． 【详解】解：由题意可得，、，即， ∴，即①． ∴， ∴②，③，， 联立①②③得，， 得，， 将代入③，解得， 将，代入①得，，解得：． 故答案为：22． 16．小明从家到学校的路程为千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行千米．平路每小时行千米，下坡路每小时行千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要分钟，求小明家到学校经过的平路是______千米． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，设去时上坡路是千米，平路是千米，下坡路是千米，根据题意列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设去时上坡路是千米，平路是千米，下坡路是千米， 依题意得，， 解得， ∴小明家到学校经过的平路是千米， 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17．根据以下素材，解决问题． 【背景】为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 【素材1】买2杯A款奶茶和3杯B款奶茶共需76元；买4杯A款奶茶和7杯B款奶茶共需168元． 【素材2】为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 【素材3】班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 【问题解决】 （1）A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ （2）在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，有几种购买方案？ （3）结合素材3，求班主任购买的奶茶中B款加料的奶茶的杯数． 【答案】（1）A款14元   B款16元 （2）2种方案 （3）7 【详解】：（1）设A款奶茶的销售单价为元，B款奶茶的销售单价为元． 由题意，得解得 A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元． （2）设购买A款奶茶杯，购买B款奶茶杯． 由题意，得． ，均为正整数， 或 共有2种购买方案． （3）设班主任购买的奶茶中A款不加料的奶茶杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共杯，则B款加料的奶茶买了杯． 由题意，得， 化简，得． 又，，均为正整数，即，， 均为正整数， ，， ， 故班主任购买的奶茶中B款加料的奶茶的杯数为7． 18．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项都有联系，通过对系数和常数项进行一系列变形和运算就可以求出方程组的解．因此，现代数学中的高等代数将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)可以写成矩阵____________的形式； (2)若矩阵所对应的方程组的解为求与的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2）根据矩阵可得到方程组 将代入上述方程组， 得解得 19．某快递公司规定：寄件不超过1kg的部分按起步价计费，寄件超过1kg时，超过的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：收费标准： 目的地 起步价／元 超过的部分／（元／kg） 上海 北京 实际收费： 目的地 质量／ 费用／元 上海 2 9 北京 3 22 求，的值． 【答案】    【详解】依题意，得 解得 故的值为7，的值为2． 20．若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 【答案】，不是这个方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把与的两对值代入方程得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，代入检验即可． 【详解】解：把和代入方程， 得 解得 方程为． 当，时，， 不是这个方程的解． 21．阅读小邦同学数学作业本上的部分内容： 解方程组： 解：由①×2，②×3，得（第一步） 由③－④，得．（第二步） 把代入②，得，（第三步） 原方程组的解是（第四步） 完成下列任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫作_________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第_________步开始错误； (2)请写出该方程组的正确解答过程． 【答案】(1)加减消元法  一 (2)见解析 【详解】（1）加减消元法  一 （2）由①×2②×3，得 由③-④，得，解得． 把代入②，得， 原方程组的解是 22．（1）解方程组： （2）已知方程是二元一次方程，求，的值． 【答案】（1） （2）    【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，解二元一次方程组，掌握相关知识点，并正确计算是解题的关键． （1）利用加减消元法求方程组的解即可； （2）根据二元一次方程的定义列出方程，求出、的值即可． 【详解】解：（1） ①＋②×3，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）由题意，得，， 解得，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年人教版七年级数学下册专题四《二元一次方程组》期末高频考点练习（原卷版） 时间：60分钟，总分：100分 班级____________姓名____________学号____________得分____________ 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．是二元一次方程的解，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程组下列结论正确的有（　　） ①当时，该方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么实数，的值始终不变． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，设小长方形的长、宽分别为，，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 4．我们知道电动车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里报废，如果在电动车行驶若十公里后，将前后轮进行对换，那么这对轮胎最多可以行驶（   ）公里． A．5000 B．4000 C．5800 D．4800 5．中国古代数学著作《算法统宗》中记录了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦果、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民复兴家准备将一块良田分成三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，复兴主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的复兴将A区的面积划分给了B区，而原B区的面积错划分给了A区，C区面积未出错，造成现B区的面积占两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将C区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，A、B、C三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与区划分前的总面积的比值为（    ）． A． B． C． D． 7．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 8．某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共，实际生产了，其中水稻超产，小麦超产，问：该专业户去年计划生产水稻、小麦各多少吨？设该专业户去年计划生产水稻吨，小麦吨，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 9．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 10．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是(　　)． A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁 11．已知和都是关于x、y的二元一次方程y＝x+k的解，且，则k的值为（　　） A．k＝±5 B．k＝± C．k＝±7 D．k 12．已知关于的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论取何值：的值不可能互为相反数； ④都为自然数的解有2对． 以上说法中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④ 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13．将方程变形为用含的代数式表示的形式为______． 14．若关于x，y的方程组的解是，则的值是___． 15．若实数，，满足关系式，则的值为______ 16．小明从家到学校的路程为千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行千米．平路每小时行千米，下坡路每小时行千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要分钟，求小明家到学校经过的平路是______千米． 三、解答题（共52分） 17．根据以下素材，解决问题． 【背景】为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励． 【素材1】买2杯A款奶茶和3杯B款奶茶共需76元；买4杯A款奶茶和7杯B款奶茶共需168元． 【素材2】为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料． 【素材3】班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的． 【问题解决】 （1）A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ （2）在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，有几种购买方案？ （3）结合素材3，求班主任购买的奶茶中B款加料的奶茶的杯数． 18．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项都有联系，通过对系数和常数项进行一系列变形和运算就可以求出方程组的解．因此，现代数学中的高等代数将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)可以写成矩阵____________的形式； (2)若矩阵所对应的方程组的解为求与的值． 19．某快递公司规定：寄件不超过1kg的部分按起步价计费，寄件超过1kg时，超过的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：收费标准： 目的地 起步价／元 超过的部分／（元／kg） 上海 北京 实际收费： 目的地 质量／ 费用／元 上海 2 9 北京 3 22 求，的值． 20．若和都是关于，的二元一次方程的解，试求与的值，并通过计算验证不是这个方程的解． 21．阅读小邦同学数学作业本上的部分内容： 解方程组： 解：由①×2，②×3，得（第一步） 由③－④，得．（第二步） 把代入②，得，（第三步） 原方程组的解是（第四步） 完成下列任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫作_________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上解答过程从第_________步开始错误； (2)请写出该方程组的正确解答过程． 22．（1）解方程组： （2）已知方程是二元一次方程，求，的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $