12.2.2直方图(第2课时 直方图应用)（导学案）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学导学案聚焦“直方图的应用”，引导学生从直方图中提取分组、频数等信息，补全不完整图表，分析数据分布特征。课堂通过复习跳绳成绩直方图的问题链回顾基础，衔接大麦穗长等实际问题探究，搭建从基础到应用的学习支架。 以生活情境（汉字听写、体育测试等）为载体，通过自主探究与合作讨论，培养学生数据意识（提取信息）、推理意识（逆向推算缺失数据）和应用意识（解决实际问题）。习题层次递进且易错提醒详细，助力学生掌握统计方法，提升数据分析能力。

12.2.2 直方图（第2课时：直方图的应用） （导学案） （1）信息提取：能从直方图中准确读取分组信息、组距、各组的频数及总频数.能根据不完整的直方图信息（如部分组频数、频数占比关系）补全直方图. （2）能利用直方图分析数据分布特征（如集中趋势、离散程度、异常值等），并作出合理推断. （3）能结合多种统计图解决实际问题，体会统计在生活中的广泛应用. 重点:从直方图中提取信息并进行分析，根据不完整信息补全直方图. 难点:逆向推理：利用频数之间的比例关系、百分比关系推算缺失数据； 综合应用：在复杂情境中灵活运用直方图解决问题. 第一环节 自主学习 复习引入：呈现一个完整的频数分布直方图（内容为：某班学生一分钟跳绳成绩分布） 问题链：1. 这个直方图的组距是多少？分了几组？2. 哪个分数段的人数最多？有多少人？3. 全班共有多少人？你是怎么算出来的？4. 成绩在160个及以上的有多少人？占比是多少？ 【学法指导】自研课本P168-170页内容， 探究点1：用直方图解决实际问题 问题：为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，量得它们的长度（单位：cm）如表如图所示： 列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分布情况. 追问1：第1步做什么？ 追问2：第2步怎样做？ 追问3：怎样列频数分布表？ 追问4：怎样画频数分布直方图 追问5：从表和图看到，麦穗长度的分布情况？ 探究点2：条形图和直方图的特点 思考: 比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？ 【自研自探】 自研课本P168-170页内容 典型例题 例1.某校初一年级举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分． 组别 正确字数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E 20   根据以上信息解决下列问题： (1)在统计表中，___________，_________，并补全直方图． (2)扇形统计图中“E组”所对应的圆心角的度数是______________度． (3)若该年级共有1500名学生，如果听写正确的个数不低于32个为优秀，请你估计这所学校初一年级本次比赛听写达到优秀的学生人数． 第二环节 合作探究 1.讨论用直方图解决实际问题的一般骤. 2.讨论条形图和直方图的特点. 拓展提升： 1.我校为了迎接体育考试，了解学生的体育成绩，从全校700名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下： 成绩段 频数 5 10 16 12 根据图表解决下列问题： (1)本次共抽取了______名学生进行体育测试，表（1）中，______，______，______； (2)补全图（2）； (3)“跳绳”数在180（包括180）以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？ 课本课堂P170练习1. 1.（2025.潜山校考）小明在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区600户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 组别 频数（户数） 2 6 18 3 2 合计 40 根据以上提供的信息，解答下列问题：    (1)填空__________，并补全频数分布直方图； (2)请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于4000元且小于4600元）的有多少户． 2.（2025.江汉统测）为了让青少年更加了解冰雪运动，某中学举办了冰雪运动知识竞赛，该校学生均参加了此次竞赛．为了解七年级学生（七年级有8个班，共320名学生）对冰雪运动知识的掌握情况，实践小组开展了一次调查研究． 【收集数据】 （1）实践小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是______．（填字母） A．抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本 B．抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本 C．从七年级学生中按学号随机抽取40名学生的竞赛成绩组成样本 【整理、描述数据】 抽样方法确定后，时间小组收集到了40名学生的竞赛成绩，其中竞赛成绩（x）在范围内的具体成绩（单位：分）如下： 90，92，81，82，95，86，88，89，86，93，97，100，80， 81，86，89，82，85，98，90，97，100，84，87，92，96． 整理数据，得到如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）： 成绩分组 频数 4 a b c （2）填空： ______，______，______，并补全频数分布直方图． （3）若要画出该组数据的扇形统计图，则竞赛成绩在的学生人数所对应扇形的圆心角度数为______． （4）【应用数据】 若竞赛成绩不低于90分的记为“优秀”，请你估计参加这次知识竞赛的七年级学生中，竞赛成绩为“优秀”的有多少名． 知识总结：直方图应用三层次：第一层 ；第二层 ；第三层 .核心公式：总频数 = ；某组频数 = ；频数之比 = . 方法总结：补全直方图的方法：方法一： ；方法二： ；方法三： .数据分析的角度：看集中： ？看分布：数据 ？看特殊：有没有 ？做推断：根据 ？ 易错提醒：（1）误读组距和边界：注意 ，如150~155表示“ ”；(2) 忘记频数必须是整数：计算后如出现小数，说明计算 ;(3)误把直方图当条形图：补全条形时，注意确认“ ”，横轴是 ; (4)忽略单位：纵轴标的是“ ”还是“ ”？两种情况 不同; (5)补全时比例失调：补画的条形高度要与 ，不可 ; (6)条件遗漏：题目中可能有 ，需要 ，不要 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.2.2 直方图（第2课时：直方图的应用） （导学案） （1）信息提取：能从直方图中准确读取分组信息、组距、各组的频数及总频数.能根据不完整的直方图信息（如部分组频数、频数占比关系）补全直方图. （2）能利用直方图分析数据分布特征（如集中趋势、离散程度、异常值等），并作出合理推断. （3）能结合多种统计图解决实际问题，体会统计在生活中的广泛应用. 重点:从直方图中提取信息并进行分析，根据不完整信息补全直方图. 难点:逆向推理：利用频数之间的比例关系、百分比关系推算缺失数据； 综合应用：在复杂情境中灵活运用直方图解决问题. 第一环节 自主学习 复习引入：呈现一个完整的频数分布直方图（内容为：某班学生一分钟跳绳成绩分布） 问题链：1. 这个直方图的组距是多少？分了几组？2. 哪个分数段的人数最多？有多少人？3. 全班共有多少人？你是怎么算出来的？4. 成绩在160个及以上的有多少人？占比是多少？ 学生活动：观察直方图，独立回答问题，复习读图方法. 【学法指导】自研课本P168-170页内容， 探究点1：用直方图解决实际问题 问题：为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，量得它们的长度（单位：cm）如表如图所示： 列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分布情况. 追问1：第1步做什么？ 学生讨论：（1）计算最大值与最小值的差. 在样本数据中，最大值是7.4，最小值是4.0，它们的差是7.4-4.0=3.4. 追问2：第2步怎样做？ (2）决定组距与组数. 学生讨论：在本例中，最大值与最小值的差是3.4.如果取组距为0.3，那么由于， 所以可以分成12组，组数适合.于是取组距为0.3，组数为12. 追问3：怎样列频数分布表？ 学生讨论：(3)列频数分布表. 追问4：怎样画频数分布直方图 学生讨论：画频数分布直方图，如图所示. 追问5：从表和图看到，麦穗长度的分布情况？ 学生讨论：从表和图看到，麦穗长度大部分落在5.2cm至7.0cm（不含7.0cm）的范围，落在其他范围的较少.长度在范围的麦穗根数最多，有28根，而长度在，，，，6范围的麦穗根数很少，总共只有7根.由此可以估计这种大麦穗长主要分布在5.2cm至7.0cm（不含7.0cm）的范围，其中穗长在5.8cm至6.1cm(不含6.1cm）范围的大麦最多. 探究点2：条形图和直方图的特点 思考: 比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？ 学生交流讨论: 直方图与条形图不同，条形图（纵置时）是用长方形的高表示各类别（或组别）的频数，其宽度是固定的，利用它容易比较各类别数据之间的差距，而直方图是用长方形的面积来表示各组频数的多少（等距分组时，可以用长方形的高表示频数），长方形的高表示各组单位组距的频数（即频数/组距），宽则表示各组的组距，长方形的高和宽都有其特定的意义，利用它容易从整体上把握数据分布的特点，此外，由于分组数据具有连续性，直方图中的长方形通常是连续排列的，中间没有空隙，而条形图则是分开排列的，长方形之间有一定空隙. 【自研自探】 自研课本P168-170页内容 典型例题 例1.某校初一年级举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分． 组别 正确字数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E 20   根据以上信息解决下列问题： (1)在统计表中，___________，_________，并补全直方图． (2)扇形统计图中“E组”所对应的圆心角的度数是______________度． (3)若该年级共有1500名学生，如果听写正确的个数不低于32个为优秀，请你估计这所学校初一年级本次比赛听写达到优秀的学生人数． 【分析】（1）用A组的人数除以其所占百分比，求出抽取学生总人数，用抽取学生总人数乘以D组所占百分数，即可求出m的值；用E组的人数除以抽取学生总人数，即可求出n； （2）用360度乘以E组所占百分比即可求解； （3）用年级总人数乘以不低于32个的学生所占百分比，即可求求解． 【详解】（1）解：（人）， ， ， 故答案为：30，； 补全直方图如图所示：    （2）解：， 故答案为：． （3）解：（人）， 答：所学校初一年级本次比赛听写达到优秀的学生有300人． 第二环节 合作探究 1.讨论用直方图解决实际问题的一般骤. 2.讨论条形图和直方图的特点. 拓展提升： 1.我校为了迎接体育考试，了解学生的体育成绩，从全校700名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下： 成绩段 频数 5 10 16 12 根据图表解决下列问题： (1)本次共抽取了______名学生进行体育测试，表（1）中，______，______，______； (2)补全图（2）； (3)“跳绳”数在180（包括180）以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？ 【详解】（1）根据题意得：；%； %%，%%， 故答案为，%；；%； （2）成绩段的频数为，补全统计图，如图所示：     ； （3）根据题意得：(名)， 则估计全校九年级有名学生在此项成绩中获满分． 课本课堂P170练习1. 参考答案：略 1.（2025.潜山校考）小明在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区600户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 组别 频数（户数） 2 6 18 3 2 合计 40 根据以上提供的信息，解答下列问题：    (1)填空__________，并补全频数分布直方图； (2)请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于4000元且小于4600元）的有多少户． 【详解】（1）解：， 补图如下：    （2）解：， ∴估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于4000元且小于4600元）的有450户． 2.（2025.江汉统测）为了让青少年更加了解冰雪运动，某中学举办了冰雪运动知识竞赛，该校学生均参加了此次竞赛．为了解七年级学生（七年级有8个班，共320名学生）对冰雪运动知识的掌握情况，实践小组开展了一次调查研究． 【收集数据】 （1）实践小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是______．（填字母） A．抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本 B．抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本 C．从七年级学生中按学号随机抽取40名学生的竞赛成绩组成样本 【整理、描述数据】 抽样方法确定后，时间小组收集到了40名学生的竞赛成绩，其中竞赛成绩（x）在范围内的具体成绩（单位：分）如下： 90，92，81，82，95，86，88，89，86，93，97，100，80， 81，86，89，82，85，98，90，97，100，84，87，92，96． 整理数据，得到如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）： 成绩分组 频数 4 a b c （2）填空： ______，______，______，并补全频数分布直方图． （3）若要画出该组数据的扇形统计图，则竞赛成绩在的学生人数所对应扇形的圆心角度数为______． （4）【应用数据】 若竞赛成绩不低于90分的记为“优秀”，请你估计参加这次知识竞赛的七年级学生中，竞赛成绩为“优秀”的有多少名． 【详解】解：（1）A．抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本不具有代表性，故A符合题意； B．抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本不具有代表性和普遍性，故B错误； C．从七年级学生中按学号随机抽取40名学生的竞赛成绩组成样本具有代表性和广泛性，故C正确； 故答案为：C； （2）竞赛成绩的频数为10，竞赛成绩的频数为14，竞赛成绩的频数为12， 补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：10，14，12； （3）竞赛成绩在的学生人数所对应扇形的圆心角度数为： ； 故答案为：； （4）（名）． 答：估计参加这次知识竞赛的七年级学生中，竞赛成绩为“优秀”的有96名． 知识总结：直方图应用三层次：第一层 读图提取信息 找最大值组、计算总数；第二层 补全直方图 利用等量关系或百分比推算缺失频数；第三层 综合分析决策 结合背景得出结论（如成绩分析、质量评估）.核心公式：总频数 = 各组频数之和；某组频数 = 总频数 × 该组百分比；频数之比 = 对应条形高度之比（等距分组时）. 方法总结：补全直方图的方法：方法一：总频数法（各组频数之和等于总数）；方法二：百分比法（某组频数 = 总数 × 百分比）；方法三：比例法（利用频数之间的比例关系列方程）.数据分析的角度：看集中：哪个组人数最多？看分布：数据是集中在中间还是偏向两端？看特殊：有没有明显的异常值？做推断：根据数据可以得到什么结论？ 易错提醒：（1）误读组距和边界：注意横轴上数字表示的是“范围边界”，如150~155表示“大于等于150且小于155”；(2) 忘记频数必须是整数：计算后如出现小数，说明计算过程有误或条件设置矛盾;(3)误把直方图当条形图：补全条形时，注意确认“条间无空隙”，横轴是连续区间; (4)忽略单位：纵轴标的是“频数”还是“频率”？两种情况读法不同; (5)补全时比例失调：补画的条形高度要与已知条形成比例，不可随意估算; (6)条件遗漏：题目中可能有多个条件，需要全部满足，不要遗漏任何一个. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $