12.2.2直方图(第2课时 直方图应用)（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学教学设计聚焦直方图的应用，涵盖信息提取、补全及综合分析。通过复习完整直方图的组距、频数等问题链导入，承接第一课时绘制技能，搭建从正向操作到逆向推理的学习支架。 特色在于逆向推理训练培养推理意识，如补全直方图用总频数法和百分比法，实际问题分析（如大麦穗长）发展数据观念，比较条形图与直方图强化几何直观。分层练习含中考真题，助力学生提升数据分析能力，为教师提供清晰教学路径和易错指导。

12.2.2 直方图（第2课时：直方图的应用）（教学设计） 1. 教学内容 本节课为人教2024版七年级数学下册第十二章《统计调查》12.2.2直方图第2课时.本节课在第1课时学生已掌握直方图基本绘制方法的基础上，本课聚焦于直方图的应用，主要包括：1. 实际应用：利用直方图解决生活中的数据分析问题.2. 综合分析：结合多种统计图进行数据解读，形成完整的统计观念.3. 逆用直方图：根据直方图还原频数分布表，提取分组信息、组距、频数等数据; 补全直方图：根据部分已知信息补全不完整的直方图. 2. 内容解析 本课时在单元中处于综合应用层面：承接第一课时已掌握的直方图绘制技能；聚焦直方图的灵活应用与信息提取；延伸为后续“用样本估计总体”及“数据的波动”等内容奠定基础.直方图的应用本质是“正向绘制”与“逆向解读”的统一.第1课时侧重“从数据到图形”的绘制技能，本课时侧重“从图形到信息”的提取分析，以及“根据不完整信息逆向推理”的能力培养。这体现了统计学习从“操作技能”向“数据素养”的进阶.本课时的核心价值在于培养学生的数据观念和推理能力.通过“补全直方图”等逆向问题，学生需要综合运用比例关系、总量计算、组距确定等知识，这对提升逻辑思维和数据分析能力具有重要意义. 核心能力：培养信息提取能力：从直方图中准确读取分组信息和频数；逆向推理能力：根据不完整信息推算缺失数据；综合应用能力：结合条形图、扇形图等综合分析问题. 基于以上分析，本节课的教学重点是从直方图中提取信息并进行分析，根据不完整信息补全直方图. 1. 教学目标 （1）信息提取：能从直方图中准确读取分组信息、组距、各组的频数及总频数.能根据不完整的直方图信息（如部分组频数、频数占比关系）补全直方图. （2）能利用直方图分析数据分布特征（如集中趋势、离散程度、异常值等），并作出合理推断. （3）能结合多种统计图解决实际问题，体会统计在生活中的广泛应用. 2.目标解析 目标1学生能说出直方图中各组的具体范围、频数，并能计算总频数；学生能根据“某个组的频数占总数的百分比”或“两组频数关系”等信息，推算出缺失数据并补全直方图. 目标2学生能根据直方图得出“哪个范围人数最多”“整体水平如何”“是否存在异常值”等结论. 目标3综合素养 学生能综合运用直方图与其他统计图解决生活实际问题. 学生已经掌握了直方图的基本绘制步骤，能够将一组连续数据整理成频数分布表并绘制直方图.对组距、组数、频数等概念有清晰认识.大部分学生能够正向完成“数据→图表”的转换，但对“图表→信息”的逆向提取还不够熟练，尤其是在需要计算和推理的情境中.七年级学生具备一定的逻辑推理能力，但在面对“不完整信息”时容易产生畏难情绪。他们习惯“有什么画什么”，对“缺什么补什么”需要教师的引导和方法的提炼. 面对不完整的直方图，不知道从何入手进行补全，对“频数占比”“频数关系”等条件不知如何转化为等式，容易忽略纵轴单位或组距等关键信息，导致推理错误. 基于以上分析，确定本节课的教学难点是逆向推理：利用频数之间的比例关系、百分比关系推算缺失数据； 综合应用：在复杂情境中灵活运用直方图解决问题. 创设情景，引入新课 复习引入：呈现一个完整的频数分布直方图（内容为：某班学生一分钟跳绳成绩分布） 问题链：1. 这个直方图的组距是多少？分了几组？2. 哪个分数段的人数最多？有多少人？3. 全班共有多少人？你是怎么算出来的？4. 成绩在160个及以上的有多少人？占比是多少？ 学生活动：观察直方图，独立回答问题，复习读图方法. (设计意图：通过简单的读图练习，唤醒学生对直方图基本要素的记忆，为后续逆向应用和复杂问题解决做好铺垫.“全部加起来得总数”这一方法将在后续补全问题中频繁使用，需在此环节强化.) 探究点1：用直方图解决实际问题 问题：为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，量得它们的长度（单位：cm）如表如图所示： 列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图，并估计这种大麦穗长的分布情况. 追问1：第1步做什么？ 学生讨论：（1）计算最大值与最小值的差. 在样本数据中，最大值是7.4，最小值是4.0，它们的差是7.4-4.0=3.4. 追问2：第2步怎样做？ (2）决定组距与组数. 学生讨论：在本例中，最大值与最小值的差是3.4.如果取组距为0.3，那么由于， 所以可以分成12组，组数适合.于是取组距为0.3，组数为12. 追问3：怎样列频数分布表？ 学生讨论：(3)列频数分布表. 追问4：怎样画频数分布直方图 学生讨论：画频数分布直方图，如图所示. 追问5：从表和图看到，麦穗长度的分布情况？ 学生讨论：从表和图看到，麦穗长度大部分落在5.2cm至7.0cm（不含7.0cm）的范围，落在其他范围的较少.长度在范围的麦穗根数最多，有28根，而长度在，，，，6范围的麦穗根数很少，总共只有7根.由此可以估计这种大麦穗长主要分布在5.2cm至7.0cm（不含7.0cm）的范围，其中穗长在5.8cm至6.1cm(不含6.1cm）范围的大麦最多. 探究点2：条形图和直方图的特点 思考: 比较条形图和直方图，它们在描述数据方面各有什么特点？ 学生交流讨论: 直方图与条形图不同，条形图（纵置时）是用长方形的高表示各类别（或组别）的频数，其宽度是固定的，利用它容易比较各类别数据之间的差距，而直方图是用长方形的面积来表示各组频数的多少（等距分组时，可以用长方形的高表示频数），长方形的高表示各组单位组距的频数（即频数/组距），宽则表示各组的组距，长方形的高和宽都有其特定的意义，利用它容易从整体上把握数据分布的特点，此外，由于分组数据具有连续性，直方图中的长方形通常是连续排列的，中间没有空隙，而条形图则是分开排列的，长方形之间有一定空隙. (设计意图：将绘制直方图解决问题，并类比条形和直方图) 典型例题 例1.某校初一年级举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分． 组别 正确字数x 人数 A 10 B 15 C 25 D m E 20   根据以上信息解决下列问题： (1)在统计表中，___________，_________，并补全直方图． (2)扇形统计图中“E组”所对应的圆心角的度数是______________度． (3)若该年级共有1500名学生，如果听写正确的个数不低于32个为优秀，请你估计这所学校初一年级本次比赛听写达到优秀的学生人数． 【分析】（1）用A组的人数除以其所占百分比，求出抽取学生总人数，用抽取学生总人数乘以D组所占百分数，即可求出m的值；用E组的人数除以抽取学生总人数，即可求出n； （2）用360度乘以E组所占百分比即可求解； （3）用年级总人数乘以不低于32个的学生所占百分比，即可求求解． 【详解】（1）解：（人）， ， ， 故答案为：30，； 补全直方图如图所示：    （2）解：， 故答案为：． （3）解：（人）， 答：所学校初一年级本次比赛听写达到优秀的学生有300人． (设计意图：巩固本节课核心知识，突破易错点和难点，提升学生知识应用能力，强化解题规范性.) 课本课堂P170练习1. 参考答案：略 （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.我校为了迎接体育考试，了解学生的体育成绩，从全校700名九年级学生中随机抽取了部分学生进行体育测试，其中“跳绳”成绩制作图如下： 成绩段 频数 5 10 16 12 根据图表解决下列问题： (1)本次共抽取了______名学生进行体育测试，表（1）中，______，______，______； (2)补全图（2）； (3)“跳绳”数在180（包括180）以上，则此项成绩可得满分．那么，你估计全校九年级有多少学生在此项成绩中获满分？ 【详解】（1）根据题意得：；%； %%，%%， 故答案为，%；；%； （2）成绩段的频数为，补全统计图，如图所示：     ； （3）根据题意得：(名)， 则估计全校九年级有名学生在此项成绩中获满分． (设计意图:强化本节课核心知识的拓展．) 1.（2025.潜山校考）小明在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区600户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了40户居民家庭收入情况（收入取整数，单位：元），并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图． 组别 频数（户数） 2 6 18 3 2 合计 40 根据以上提供的信息，解答下列问题：    (1)填空__________，并补全频数分布直方图； (2)请你估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于4000元且小于4600元）的有多少户． 【详解】（1）解：， 补图如下：    （2）解：， ∴估计该居民小区家庭属于中等收入（大于或等于4000元且小于4600元）的有450户． 2.（2025.江汉统测）为了让青少年更加了解冰雪运动，某中学举办了冰雪运动知识竞赛，该校学生均参加了此次竞赛．为了解七年级学生（七年级有8个班，共320名学生）对冰雪运动知识的掌握情况，实践小组开展了一次调查研究． 【收集数据】 （1）实践小组计划选取40名学生的竞赛成绩（百分制）作为样本，下面的抽样方法中，合理的是______．（填字母） A．抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本 B．抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本 C．从七年级学生中按学号随机抽取40名学生的竞赛成绩组成样本 【整理、描述数据】 抽样方法确定后，时间小组收集到了40名学生的竞赛成绩，其中竞赛成绩（x）在范围内的具体成绩（单位：分）如下： 90，92，81，82，95，86，88，89，86，93，97，100，80， 81，86，89，82，85，98，90，97，100，84，87，92，96． 整理数据，得到如下频数分布表和频数分布直方图（不完整）： 成绩分组 频数 4 a b c （2）填空： ______，______，______，并补全频数分布直方图． （3）若要画出该组数据的扇形统计图，则竞赛成绩在的学生人数所对应扇形的圆心角度数为______． （4）【应用数据】 若竞赛成绩不低于90分的记为“优秀”，请你估计参加这次知识竞赛的七年级学生中，竞赛成绩为“优秀”的有多少名． 【详解】解：（1）A．抽取七年级1班、2班各20名学生的竞赛成绩组成样本不具有代表性，故A符合题意； B．抽取各班竞赛成绩较好的共40名学生的竞赛成绩组成样本不具有代表性和普遍性，故B错误； C．从七年级学生中按学号随机抽取40名学生的竞赛成绩组成样本具有代表性和广泛性，故C正确； 故答案为：C； （2）竞赛成绩的频数为10，竞赛成绩的频数为14，竞赛成绩的频数为12， 补全频数分布直方图如图所示． 故答案为：10，14，12； （3）竞赛成绩在的学生人数所对应扇形的圆心角度数为： ； 故答案为：； （4）（名）． 答：估计参加这次知识竞赛的七年级学生中，竞赛成绩为“优秀”的有96名． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识总结：直方图应用三层次：第一层 读图提取信息 找最大值组、计算总数；第二层 补全直方图 利用等量关系或百分比推算缺失频数；第三层 综合分析决策 结合背景得出结论（如成绩分析、质量评估）.核心公式：总频数 = 各组频数之和；某组频数 = 总频数 × 该组百分比；频数之比 = 对应条形高度之比（等距分组时）. 方法总结：补全直方图的方法：方法一：总频数法（各组频数之和等于总数）；方法二：百分比法（某组频数 = 总数 × 百分比）；方法三：比例法（利用频数之间的比例关系列方程）.数据分析的角度：看集中：哪个组人数最多？看分布：数据是集中在中间还是偏向两端？看特殊：有没有明显的异常值？做推断：根据数据可以得到什么结论？ 易错提醒：（1）误读组距和边界：注意横轴上数字表示的是“范围边界”，如150~155表示“大于等于150且小于155”；(2) 忘记频数必须是整数：计算后如出现小数，说明计算过程有误或条件设置矛盾;(3)误把直方图当条形图：补全条形时，注意确认“条间无空隙”，横轴是连续区间; (4)忽略单位：纵轴标的是“频数”还是“频率”？两种情况读法不同; (5)补全时比例失调：补画的条形高度要与已知条形成比例，不可随意估算; (6)条件遗漏：题目中可能有多个条件，需要全部满足，不要遗漏任何一个. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：P170练习第2题 习题12.2第7题. 探究性作业：P178信息技术应用. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 12.2.2 直方图（第2课时：直方图的应用） 探究点1：用直方图解决实际问题 探究点2：条形图和直方图的特点 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $