精品解析：广西壮族自治区玉林市北流市2025-2026学年下学期期中模拟试卷 九年级 数学

2026年春季期期中模拟试卷 九年级数学 （满分120分，完成时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中，比2小的数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可． 本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 【详解】解： A、 ，不符合条件． B、 ，不符合条件． C、 ，不符合条件． D、 ，符合条件． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 6，8，10 D. 5，15，8 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形． C．，能组成三角形． D．，不能组成三角形． 3. 2026年9月平陆运河将正式通航，该项目总投资约727亿元．数据“727亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 4. 科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革．以下四款人工智能软件图标是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、该图形中找不到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项A不符合题意； B、该图形中找不到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项B不符合题意； C、该图形能找到一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以该图形是轴对称图形，故选项C符合题意 D、该图形中找不到这样一条直线，沿该直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以选项D不符合题意． 故选：C． 5. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解的定义把代入关于的方程，得到关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得：． 6. 如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵， ∴． 7. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可． 【详解】解：设点表示的数为，由图可知：， ∵，即：，故选项A不符合题意； ∵，即：，故选项B不符合题意； ∵，即：，故选项C符合题意； ∵，即：，故选项D不符合题意； 故选C． 8. 为了解广西新能源汽车的普及情况，某调查组随机调查了10个家庭，拥有新能源汽车的数量（单位：辆）分别为：0，1，1，1，2，2，2，3，3，4．则这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵总共有个数据，是偶数， ∵第个数是，第个数是， ∴中位数为． 9. 若一个立体图形的主视图、左视图都是长方形，俯视图为圆形，则这个图形可能是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 长方体 D. 圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据不同几何体的三视图特征，结合题目条件判断即可． 【详解】解：A. 圆柱竖直放置时，主视图和左视图都是长方形，俯视图为圆形，符合题意； B.球的三个视图都是圆形，不符合题意； C.长方体的俯视图为长方形，不是圆形，不符合题意； D.圆锥的主视图和左视图都是三角形，俯视图为带圆心的圆形，不符合题意． 10. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 11. 2025年9月东博会，迈越翻译眼镜爆火，截至11月销量突破2万副，预计2027年销量达到4.5万副，设年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵2025年销量为2万副，年平均增长率为， ∴2026年销量为万副， ∴2027年销量为万副， 又∵2027年销量为4.5万副， ∴可列方程为． 12. 如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（ ） A. 钓鱼线的拉力 B. 鱼受到的浮力 C. 水面高度 D. 钓鱼者对鱼竿的作用力 【答案】A 【解析】 【详解】解：当鱼还在水中时，钓鱼线的拉力不变； 随着鱼上浮，钓鱼线的拉力逐渐变大； 当鱼浮出水面时，钓鱼线的拉力不变． ∴钓鱼线的拉力与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 0的相反数是_________． 【答案】0 【解析】 【详解】解：的相反数是． 14. 已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∴写出一个符合要求的实数a，则（答案不唯一）． 15. 我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意作出树状图，再根据概率公式即可求解. 【详解】根据题意画树形图： 共有6种等情况数，其中“A口进E口出”有一种情况， 从“A口进E口出”的概率为； 故答案为． 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是依题意画出树状图. 16. 如图，四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若，则菱形的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的坐标，再利用勾股定理求出的长，由菱形面积底乘高即可求得． 【详解】解：∵函数的图象经过点，轴，， ∴点的纵坐标为2，代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 三、解答题（共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点B经过的路径的长（结果保留π）． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质及弧长公式． （1）将点A、B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可； （2）根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图知，，， ∴点B在旋转过程中所走过的路径长． 19. 某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类．在“读书月”活动中，为了了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅进行了统计，表和图是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题： 各种图书 频数 频率 自然科学 400 0.20 文学艺术 1000 0.5 社会百科 500 0.25 数学 m n （1），，并且补全统计图； （2）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适？ （3）根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议． 【答案】（1）100，0.05，见解析 （2）估算“数学”类图书应采购500册较合适 （3）鼓励学生多借阅数学类的书（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）根据图表信息求出各种图书的总数，然后计算n和m的值即可；根据数学的数量作图即可； （2）根据“数学”类图书的频率计算即可； （3）根据统计图提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：借阅数学的频率为， 本月各类图书的借阅总数为， 借阅数学的频数为， 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：（册）， 即估算“数学”类图书应采购500册较合适； 【小问3详解】 解：∵“数学”类图书的借阅量最少， ∴鼓励学生多借阅数学类的书．（答案不唯一，合理即可） 20. 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某工厂生产甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知生产一个乙型玩偶的成本是生产一个甲型玩偶的成本的2倍，若用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个． （1）求甲、乙两种型号一个玩偶的生产成本各是多少元？ （2）某玩偶生产厂，于2026年3月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了2个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 【答案】（1）一个甲型玩偶的生产成本为50元，则一个乙型玩偶的生产成本是100元 （2）一组的工作效率更高 【解析】 【分析】（1）设一个甲型玩偶的生产成本为x元，则一个乙型玩偶的生产成本是元，根据“用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个”列方程求解； （2）设总工作量为单位1，二组单独完成全部工作需要x个月，根据题意求出一组和二组的月效率，然后比较求解即可． 【小问1详解】 解：设一个甲型玩偶的生产成本为x元，则一个乙型玩偶的生产成本是元， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解且符合实际意义． （元）． 答：一个甲型玩偶的生产成本为50元，则一个乙型玩偶的生产成本是100元． 【小问2详解】 解：设总工作量为单位1，二组单独完成全部工作需要x个月， ∴二组的月工作效率为， 根据题意得： 解得：， 经检验是分式方程的解且符合实际意义， 二组单独完成工作需要8个月，月效率为． 一组月效率为，二组月效率为， ∵， ∴一组的工作效率更高． 21. 如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 22. 【综合与实践】 在综合与实践课上，小明所在的综合实践小组对一款新型太阳能充电宝的充电和放电特性进行了研究． 【实验操作】 实验一：探究充电宝在给手机供电过程中剩余电量e（）与使用时间t（分钟）的关系，记录数据如下： 使用时间t（分钟） 0 30 60 90 剩余电量e（） 100 85 70 55 实验二：探究充电宝在充电过程中增加的电量y（）与充电时间x（分钟）的关系，发现y与x之间满足函数关系式，且当时，． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求e与t之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）根据实验二的数据，求电量增加y与充电时间x之间的函数表达式； （3）某同学使用该充电宝给手机供电，从满电状态开始使用．使用90分钟后，结束给手机充电，他开始给充电宝充电．若他希望在充电结束后，充电宝的总使用时间（包括已使用的90分钟）能达到240分钟，且最终剩余电量不低于20（），则他至少需要充电多长时间？ 【答案】（1）；（2）；（3）32分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意求出对应的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出使用充电宝90分钟后剩余的电量，再求出使用充电宝150分钟的用电量，再根据使用充电宝90分钟后剩余的电量加上充电的电量减去使用充电宝150分钟的用电量后的剩余电量不低于建立不等式求解即可． 【详解】解：（1）设e与t之间的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴； （2）∵y与x之间满足函数关系式，且当时，， ∴， ∴， ∴； （3）在中，当时，， 在中，当时，， ∴使用充电宝150分钟时，耗电量为， ∴， 解得 ∵，即同时要满足充电量小于最多充电量（）， ∴x的最小值为32， 答：他至少需要充电多长时间32分钟． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，，相交于点． （1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与无关，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质． （1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，得出的关系即可求解． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值与无关． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期期中模拟试卷 九年级数学 （满分120分，完成时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试卷答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列实数中，比2小的数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，6 C. 6，8，10 D. 5，15，8 3. 2026年9月平陆运河将正式通航，该项目总投资约727亿元．数据“727亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革．以下四款人工智能软件图标是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在A，B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东．若A，B两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 为了解广西新能源汽车的普及情况，某调查组随机调查了10个家庭，拥有新能源汽车的数量（单位：辆）分别为：0，1，1，1，2，2，2，3，3，4．则这组数据的中位数是（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 9. 若一个立体图形的主视图、左视图都是长方形，俯视图为圆形，则这个图形可能是（ ） A. 圆柱 B. 球 C. 长方体 D. 圆锥 10. 如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 11. 2025年9月东博会，迈越翻译眼镜爆火，截至11月销量突破2万副，预计2027年销量达到4.5万副，设年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图①，钓鱼爱好者将挂在鱼钩上的鱼（可视为密度大于水的物体）从水中匀速提起，直至鱼完全离开水面停留在空中（不计空气阻力）．则以下物理量：钓鱼线的拉力、鱼受到的浮力、水面高度、钓鱼者对鱼竿的作用力，其中某个量与自变量时间t的关系大致可以用图②来描述，这个量是（ ） A. 钓鱼线的拉力 B. 鱼受到的浮力 C. 水面高度 D. 钓鱼者对鱼竿的作用力 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 0的相反数是_________． 14. 已知二次函数的图象开口向上，请写出一个符合要求的实数a，则_________． 15. 我市博览馆有A，B，C三个入口和D，E两个出口，小明入馆游览，他从A口进E口出的概率是____． 16. 如图，四边形是菱形，轴，垂足为D，函数的图象经过点C，若，则菱形的面积为_________． 三、解答题（共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕点O顺时针旋转到，点A旋转后的对应点为． （1）画出旋转后的图形，并写出点的坐标； （2）求点B经过的路径的长（结果保留π）． 19. 某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类．在“读书月”活动中，为了了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅进行了统计，表和图是图书管理员通过采集数据后，绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息，解答以下问题： 各种图书 频数 频率 自然科学 400 0.20 文学艺术 1000 0.5 社会百科 500 0.25 数学 m n （1），，并且补全统计图； （2）若该学校打算采购一万册图书，请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适？ （3）根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议． 20. 2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某工厂生产甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知生产一个乙型玩偶的成本是生产一个甲型玩偶的成本的2倍，若用400元生产甲型玩偶的数量比用300元生产乙型玩偶的数量多5个． （1）求甲、乙两种型号一个玩偶的生产成本各是多少元？ （2）某玩偶生产厂，于2026年3月份接到一项新订单，已知一组单独制作1个月，完成了总量的，为按时交付，二组加入支援，两组又共同工作了2个月，总订单全部完成，请应用所学的方程知识说明哪个组的工作效率高． 21. 如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的度数． 22. 【综合与实践】 在综合与实践课上，小明所在的综合实践小组对一款新型太阳能充电宝的充电和放电特性进行了研究． 【实验操作】 实验一：探究充电宝在给手机供电过程中剩余电量e（）与使用时间t（分钟）的关系，记录数据如下： 使用时间t（分钟） 0 30 60 90 剩余电量e（） 100 85 70 55 实验二：探究充电宝在充电过程中增加的电量y（）与充电时间x（分钟）的关系，发现y与x之间满足函数关系式，且当时，． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求e与t之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）根据实验二的数据，求电量增加y与充电时间x之间的函数表达式； （3）某同学使用该充电宝给手机供电，从满电状态开始使用．使用90分钟后，结束给手机充电，他开始给充电宝充电．若他希望在充电结束后，充电宝的总使用时间（包括已使用的90分钟）能达到240分钟，且最终剩余电量不低于20（），则他至少需要充电多长时间？ 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，，相交于点． （1）如图1，可以看成是绕点逆时针旋转并放大倍得到，此时旋转角的度数为 ，的值为 ； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上，求的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，是的垂直平分线与的交点，将绕点逆时针旋转，旋转角为，并放缩得到（点，的对应点分别为点，），使得点落在上，点落在上．猜想的值是否与有关，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $