学易金卷：八年级数学下学期5月学情自测卷01（新教材北师大版，范围：八年级下册第1～5章）

**基本信息** 聚焦北师大版八年级下册1-5章核心内容，以手机支架角度计算、滑动变阻器购买等真实情境为载体，通过动态几何、配方法应用等探究题，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式、中心对称图形、不等式运算|第5题结合手机支架情境考查角度计算，体现几何直观| |填空题|6/18|因式分解、函数图像、旋转坐标规律|第15题通过直线旋转规律考查空间观念| |解答题|9/72|图形变换、应用题、动态几何综合|20题滑动变阻器购买问题培养模型意识，25题动态几何综合题发展推理能力|

2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I小 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1AJIBIICIIDI 5.IAJIBIICIIDI 9.ABIICIDI 2.[AJIB][CIID] 6.[A][B][CJID] 10.A]B][C1ID1 3.[AJIBI[CIID] 7AJIBIICIID] 4.[AIIBIICIIDI 8.[A]IBIICIIDI 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11 12 14. 16 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) y O 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 0 E G 22.(8分) 23(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) D 25.(12分) B(D) D B F C(E) A E 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第1~5章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 2．下列花瓣图案中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．如图，在中，，，．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 8．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．如图，两个形状、大小完全相同的三角形和三角形重叠在一起，固定三角形不动，将三角形向右平移，连接，在点和点重合前这个过程中，图中四边形面积的变化情况是（   ） A．始终呈增大趋势 B．始终呈减小趋势 C．先减小，后增大 D．始终保持不变 10．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：________ 12．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 13．如果代数式有意义，则的取值范围是___________ 14．是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 15．如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 16．若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．解不等式组、解方程： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点都在网格点上且坐标分别是． (1)把先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)用无刻度的直尺在所给的网格图中确定点，使得与关于点中心对称． 20．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 21．如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 22．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 23．对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 24．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 25．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第1~5章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】形如（A、B为整式，B中含有字母且）的式子是分式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，，都是单项式，都属于整式，的分母是含字母的整式，所以它是分式． 2．下列花瓣图案中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 3．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【详解】解：A、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A运算正确； B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B运算正确； C、题中未说明的取值，当时，，当时，由可得，因此不一定成立，C运算不一定正确； D、∵，∴，又∵，∴，∴，D运算正确． 4．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质和因式分解逐一判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变， 对各选项逐一判断： A选项，变形为不符合分式基本性质，例如时，左边为，右边为，左右不相等，A错误. B选项，原式有意义则，且， ，B错误， C选项，原式有意义则， ，变形正确，C正确， D选项，当时，，此时右侧分母为，无意义，变形未保证所乘整式不为，不符合分式基本性质，D错误． 5．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 6．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 7．如图，在中，，，．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】由作图可知：垂直平分，则有，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 8．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】图象法求不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 9．如图，两个形状、大小完全相同的三角形和三角形重叠在一起，固定三角形不动，将三角形向右平移，连接，在点和点重合前这个过程中，图中四边形面积的变化情况是（   ） A．始终呈增大趋势 B．始终呈减小趋势 C．先减小，后增大 D．始终保持不变 【答案】D 【分析】过点A作于点H，由平移的性质可得：，，求出，根据，得到，从而得到在整个平移过程中，四边形面积大小情况是一直不变． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 由平移的性质可得：，， ， 和是形状、大小完全相同的三角形， ， ， 在整个平移过程中，四边形面积大小情况是一直不变． 10．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：________ 【答案】 【详解】解：原式． 12．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 13．如果代数式有意义，则的取值范围是___________ 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的定义，列出关于x的不等式，再解不等式即可解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且，即且． 14．是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得一次项系数为正，常数项为正，列出不等式组解答即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是． 15．如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先依次求出的坐标，以此发现规律为4次一循环，而第2027次后点B的坐标与重合，即可求解． 【详解】解：对于，当，时，，解得， ∴， ∴第一次旋转后，根据旋转的不变性得，即， 第二次旋转后，即， 第三次旋转后，即， 第四次旋转后与点B重合，， 发现4次一循环，而， ∴第2027次旋转结束后，点与点重合， ∴， 16．若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据“只有 3个偶数解”确定参数的取值范围；解分式方程，结合“有整数解”且“分母不为 0”的条件，筛选符合要求的整数a；对筛选出的整数求和，需同时满足不等式组和分式方程的双重限制． 【详解】解：不等式组的解集为， 不等式组有且只有三个偶数解， 不等式组的偶数解为0，2，4， ， ， 为整数， 的取值为，，，，，， 解分式方程得， 由题意可知， ，即， ， 分式方程有整数解 ，y为整数， 是3的倍数， 在上述取值中只能取，， 经检验，时，；时，， 符合条件的整数解为，， 符合条件的所有整数的和为． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．解不等式组、解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到不等式组的解集； （2）解分式方程先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为； （2）解：， 将方程变形为 ， 方程两边同乘，得， 移项合并得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 18．先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 【答案】，当时，原式；（答案不唯一，或当时，原式） 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再从，，0，1，2中选取一个使原分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解：原式， 根据分式有意义的条件可得，， 当时，原式． 当时，原式． 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点都在网格点上且坐标分别是． (1)把先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)用无刻度的直尺在所给的网格图中确定点，使得与关于点中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接交于点P，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求． 20．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个 (2)最少可以购买40个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得， 解得， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器． 21．如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平移的性质及线段垂直平分线的判定与性质． （1）由等边三角形性质得出，再由E是的中点，根据等边三角形三线合一得出平分，从而求得结果； （2）由，结合得出的度数，再利用平移性质得到平行关系，紧接着证明，结合得垂直平分，从而求出的度数，最后证明的三个角均为，从而得证结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由平移性质可得：， ∴，， ∴，， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 23．对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①，；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：8； （2）解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． 24．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）仿照题干计算得出，再结合题干所给式子计算即可得出结果； （3）设，则，表示出四边形面积，从而即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，， ∴； （3）解：设，则， ∴四边形面积， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为． 25．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【分析】（1）先利用勾股定理求出直角三角形边长，再根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． 【详解】（1）解：在中，， 运动秒后，，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； （2）解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：当时，过点作于点， 在图①中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（6分） 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（8分） 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册第1~5章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．下列式子中，属于分式的是 （    ） A． B． C． D． 2．下列花瓣图案中，既是中心对称图形、又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式运算不一定正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．下列等式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 6．已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．如图，在中，，，．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以点，为圆心，以大于长度为半径作两弧，两弧交于点，连接交于点．则的长为（   ） A． B． C．1 D． 8．已知一次函数和在同一坐标系中的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D．无法确定 9．如图，两个形状、大小完全相同的三角形和三角形重叠在一起，固定三角形不动，将三角形向右平移，连接，在点和点重合前这个过程中，图中四边形面积的变化情况是（   ） A．始终呈增大趋势 B．始终呈减小趋势 C．先减小，后增大 D．始终保持不变 10．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．因式分解：________ 12．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 13．如果代数式有意义，则的取值范围是___________ 14．是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 15．如图所示，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，绕点A顺时针旋转后得到，按此规律继续旋转，则第2027次旋转结束后，点的坐标为_____． 16．若关于的不等式组有且只有3个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为_____． 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17．解不等式组、解方程： (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中a从，，0，1，2中选取一个合适的数． 19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系的顶点都在网格点上且坐标分别是． (1)把先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到对应的，请画出平移后的； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)用无刻度的直尺在所给的网格图中确定点，使得与关于点中心对称． 20．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 21．如图，是等边三角形，，垂足为C，E是的中点，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 22．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 23．对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 24．综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即 (1)题干中，因式分解的最后结果是： ； (2)【项目解决】运用配方法解决：若，，求的值； (3)【项目解决】如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为 ． 25．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C & 8 D B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.aa+2)(a-2 12.9 13.x>2且x≠4 14.k>2 15.(1,-4) 16.-5 三、解答题：本题共9小题，共72分。其中：17-20每题6分，21-23题每题8分，24-25题每题12分。 17. 4x>3x-1)① 【详解】(1)解： 2x+1② x< 3 解不等式①得x>-3, 解不等式②得x<1, 。原不等式组的解集为-3<x<1;3分 (2)解：2x1+,3 x-3 3-x’ 将方程变形为 2x=1-3 x-3x-3 方程两边同乘x-3),得2x=(x-3)-3, 移项合并得x=-6, 检验：当x=-6时，x-3=-9≠0， :原分式方程的解为x=-6.6分 18. 【详解】解：原式=a+1-2 .a_(a-1)'.aa-1. 0a+川a-可aa+1l(a-可+'3分 1/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 根据分式有意义的条件可得a≠0，±1， 当a=2时，原式=2-1{ 2+13 当a=-2时，原式=名=3.…6分 -2+1 19. 【详解】(1)解：如图，△AB,C即为所求； B2 A 末…2分 B (2)解：如图，△4，B,C,即为所求；4分 (3)解：如图，点P即为所求.6分 20. 【详解】(1)解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得2.1620、3600 xx+5’ 解得x=45, 经检验：x=45是原方程的根，并符合题意， 45+5=50元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个；3分 (2)解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得45m+50(100-m)≤4800， 解得m240, 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器.…6分 21. 【详解】(1)解：：ABC是等边三角形， 2/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.∠ACB=60°， :E是AB的中点， .CE平分∠ACB, .LBCE=∠ACE=30°.4分 (2)证明：：CD⊥BC, .∠BCD=90°， .∠ECD=∠BCD-∠BCE=60°， 由平移性质可得：FD∥EC, ∠DAC=∠ACE=30°，∠ACD=90°-∠ACB=30°， AD=DC,∠ADC=180°-2∠DAC=120°， 又：BA=BC, .BD垂直平分AC, ZBDC行ADC=60 ∠DGC=180°-∠BDC-∠ECD=60°， .∠DGC=∠BDC=LECD=60°， △CDG是等边三角形.8分 22. 111 【详解】1)解：nn+nn+1' 故答案为：11 nn+132分 111 (2)解：原式=1×22x33x4+4 n(n+l) 11111 22334 nn 1 11 n+1 n+155分 1 1 (3)解：x-2xxx+2(x+2x+4 十…十 (x+2024)(x+2026)x+2026' 11-1+11++ 1 1 2x-2 xxx+2 x+2024x+2026x+2026 1(11） 1 2x-2x+2026x+2026 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得：x=1016, 经检验，x=1016是原方程的解， ·原方程的解是x=1016.8分 23. 【详解】(1)解：由题意得：S(2,2)=2×2+3×2-2=4+6-2=8, 故答案为：8；2分 (2)解：①已知S(x,y)=ax+by-3, 把S(3,3)=6和S(2,-1)=-3分别代入可得方程组： [3a+3b-3=6 2a-b-3=-3' a=1 解得 b=24分 ②由①知a=1,，b=2, 所以S(x,y)=x+2y-3, Sm,4-2m)≤5」 则不等式组 ”可化为： S(m,3-m>k m+2(4-2m)-3≤5 m+2(3-m)-3>k’ 解第一个不等式： m+8-4m-3≤5， -3m+5≤5， -3m≤0， m≥0， 解第二个不等式： m+6-2m-3>k, -m+3>k, m<3-k, 所以不等式组的解集为0≤m<3-k, 4/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0,1,2，则2<3-k≤3， 解2<3-k得k<1; 解3-k≤3得k≥0， 所以0≤k<1, 又因为n=S(m,2m-1=m+22m-1-3=m+4m-2-3=5m-5, 由0≤m<3-k且0≤k<1,可得0≤m<3, 当m=0时，n=5×0-5=-5; 当m=3时，n=5×3-5=10(取不到). 所以-5≤n<10, 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是-5≤n<10.8分 24. 【详解】(1)解：m2+2m-3 =m2+2m+1-4 =(m+1)2-2 =(m+1+2)(m+1-2】 =(m+3)(m-1;.4分 (2)解：a2-4ab+3b2 =a2-4ab+4b2-b =(a-2b)2-b2 =(a-2b+b)(a-2b-b =(a-b)(a-3b, :a-b=2,a2-4ab+3b2=5, a-动38分 (3)解：设AC=x,则BD=8-x, :四边形8cD面积=8-列=+4=x-4+8, 2 :(x-4≥0， 5/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -2x-4≤0， 1 x--8s8. .四边形ABCD面积的最大值为8.12分 25. 【详解】(1)解：在Rt△ABC中，AB=VAC2-BC2=20(cm), 运动t秒后，CE=t(cm),CF=CE+EF=t+9(cm),AF=AC-CF=16-t(cm), DF垂直平分4C时，CF-4C=125cm, 即1+9=12.5， 解得：1 2:3分 (2)解：如图，连接CM, D B M :点M在∠ACB的平分线上， E 图② ∠MCF=∠MCB, 在△MCF和△MCB中， ∠B=∠MFC=90° ∠MCF=∠MCB, CM=CM .aMCF≌AMCB(AAS), .CF BC =15(cm), 1=15,-9=6:6分 1 (3)解：如图，连接BE, 6/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B E 由平移的性质可得DE∥BC, :∠ABC=90°，即AB⊥BC, .DE⊥AB, :点N为AB的中点， DE垂直平分AB, ∴.AE=BE, ∠EAB=∠EBA, :∠EAB+∠C=∠EBA+∠EBC=90°， .∠EBC=∠C, :BE CE, :.CE=AE=4C=12.5(cm), 2 12.525 .t= 12；9分 (4)解：当BF=BC时，过点B作BG⊥AC于点G, D B EG 在图①中，：∠BFC=90°， .BF⊥AC, :BG=DF 由平移的性质得DE=BC, .DE=BF, 在RtABGF和Rt△DFE中， (BG=DF DE=BF 7/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :RtABGF≌RtADFE(HL), :FG=EF, ·点E和点G重合， :BF=BC,BG⊥AC, .CG=FG=EF=9cm), ∴.t=9; 当CP=CB=15cm时，t=15-9=6: 1 D B M 当BF=CF时，则点F在BC的垂直平分线上， DλB E C 同理可得，AF=CF=4C=12.5(cm), 1=12.5-9=2' 7 综上所达，的值为7或6或9.…2分 8/8