八年级数学下学期5月学情自测（新教材北师大版第一章～第五章，高效培优）

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测 参考答案 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D D A A D D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.a(m+1)(m-1 12.x<-1 13.2cm 14.2 15.2 16 三、解答题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 17.1)2b(a-22 (2)160 【详解】(1)解：原式=2b(a2-4a+4) =2b(a-22; --3分 (2)解：原式=（50.8+49.2×50.8-49.2) =100×1.6 =160. --6分 18.-2≤x<2,数轴见解析 x-2<0① 【详解】解： 2(x-1≥x-4②' 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解不等式①，得x<2, 解不等式②，得x≥-2， --2分 不等式组的解集在数轴上表示如下： 32-1012345→4分 :.不等式组的解集为-2≤x<2. ---6分 19.-1 【详解】解：原式=m.m+2mn+n2 m+n =m(m+n)2 m+n m =m+n. :m+n+1=0, .m+n=-1. “原式=-1. -6分 20.x=4 【详解】解：1-x-2=5 x+3x2-9’ 等号两边同时乘以(x+3(x-3),可得x2-9-(x-2)(x-3=5, 去括号，得x2-9-x2+5x-6=5, 移项、合并同类项，得5x=20, 系数化为1，得x=4, 检验：当x=4时，x+3)x-3)≠0， .x=4是原分式方程的解. ----6分 21.(1)见详解 (2)28 【详解】(1)证明：：在RIAABC中，AB=AC,AD⊥BC, .LBAC=90°，AD平分∠BAC,LACB=LABC=45°， .∠BAD=45°=∠ACB, .CE=AF,AB=AC, 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABF≌aCAE(SAS); ---4分 (2):∠ACB=45°，∠AED=62°， .∠EAC=∠AED-∠ACB=17°， :△ABF≌△CAE, .∠ABF=LEAC=17°， LABC=45°， .∠DBF=∠ABC-∠ABF=45°-17°=28°. --8分 22.(1)有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3)m=10 【详解】(1)解：特产红枣的单价为x元，则有机小米的单价为x-20)元， 根据题意得， 3000_4000 x-20x 解得x=80, 经检验x=80是方程的解， 则x-20=60, 答：有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元；--2分 (2)解：购买特产红枣a件，则有机小米(150-a件， 150-a≥2a 根据题意得， (100-60)×(150-a+130-80)a≥6480' a≤50 解得 a≥481 :a为正整数， .a=48或a=49或a=50, 则方案一购买特产红枣48件，则有机小米102件； 方案二购买特产红枣49件，则有机小米101件； 方案三购买特产红枣50件，则有机小米100件； 故商品共有三种购买方案； -5分 (3)解：设商品总获利为y元， 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=(100-60+m×(150-a+(130-80a =(40+m)150-a+50a =6000-40a+150m-ma+50a =6000+150m+(10-ma, :所有进货方案获利都相同， ·y的取值与a无关，则a的系数为0， .m=10, 即答案为：m=10 --8分 23.(1)点B的坐标为-2,1)，点C的坐标为-1,3) (2)答案见解析 (3)△A4,B,的面积为11 【详解】(1)解：如下图， -4-3-2-11234x 由点A(-4,5,确定坐标原点O, 所以点B的坐标为-2,1，点C的坐标为-1,3)；---3分 (2)如(1)图，作∠B0B,=90°，且OB=OB,得到B,同理可得：A,C,连接A,B,C,△A,B,C即 为所求； ---6分 (3)如(1)图，连接AB,AA, 5g=5em-5m-5e-5m-[5-4]x3-×5x3-×4x2-x1x9=27-5-4}-1. 2 2 2 2 -8分 24.(1)(a-b)a2+ab+b2） ---2分 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2(x-y)月 (3)①11；②(a+b)(a2+ab+b2,1519 【详解】(1)解：：a3+b3=(a+b)a2-ab+b2), 将a3-b转化为a3+(-b),代入和的立方公式得： a3+(-b)月 =[a+(-b][a2-a-b)+(-b] =(a-b)(a2+ab+b2）. (2)解：x3-3x2y+3xy2-y =(x3-y）-3xy(x-y) =(x-y)(x2+xy+y)-3xv(x-y) =(x-y)(x2+xy+y2-3xy) =(x-y(x2-2xy+y2)】 =(x-y(x-y)2 =(x-y)3. -6分 (3)解：①设直角三角形的短直角边为a,长直角边为b,则大正方形ABCD的边长为a+b,面积 S,=(a+b)2；小正方形MWPQ的边长为b-a,面积S,=(b-a,三角形的面积为5ab, s=a+b创2-4×b=d2+6, :S,+S2+S3=33, (a+b)2+a2+b2+(b-a2=33, 整理得：a2+b2=11, .CF2=11即S2=11. ②a3+2a2b+2ab2+b =a3+b3+2a2b+2ab2 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(a3+b）+2ab(a+b) =(a+b)(a2-ab+b2)+2ab(a+b) =(a+b)(a2-ab+b2+2ab) =(a+b)a2+ab+b2）, :S=(b-a2=3,S,+S2+S=33,S2=11,S,=3, .S1=19, .S=(a+b)=19, .a+b>0, a+b=9, a2+b2=11, (a+b)2+a2+b2+3=33, a2+2ab+b2+a2+b2=30,即2a2+2ab+2b2=30, ∴.a2+ab+b2=15, .原式=19x15=15V19. --12分 25.(1)DE BD+CE ----2分 (②)成立，理由见解析 -3分 65s (4)FD=FE,且FD与FE夹角为60°. 【详解】(I)解：猜想DE=BD+CE,理由如下： .∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， .∠BAD+∠EAC=LBAD+∠DBA=90°， .∠DBA=LEAC, AB=AC, △DBA≌△EAC(AAS, .AD=CE,BD=AE, .DE=AD AE BD +CE; 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：(1)中结论仍然成立；理由如下： :∠BDA=∠BAC=a, ∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-a, .∠CAE=∠ABD, ∠ABD=∠CAE 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠CEA, AB=AC △ADB≌△CEA(AAS, :AE BD,AD CE, :DE AE AD BD +CE ;---6 (3)解：同理(2)得△ABD≌aCAE(AAS), SAABD SACAE 设ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上的高为h, .5.wec-5,5.m 2 BC =3BF 1 .S△ABF=3 S, 5r=5m+5m=5m+54-5, △FBD与aCE4的面积之和为写S.--9分 (4)解：∠BDA=∠BAC=∠AEC=120°， .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-120°=60°， .∠DBA=LEAC, AB=AC, .△DBA≌△EAC(AAS, BD=AE,LABD=∠CAE, :△ABF为等边三角形， ∠FBA=∠FAB=LBFA=60°，FB=FA. =120°， 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠FAC=∠BAC-∠FAB=60°， :ZFAC Z FBA, :∠FAC+LCAE=∠FBA+LABD. 即∠FBD=∠FAE. FB=FA 在△FBD和△FAE中， ∠FBD=∠FAE, BD=AE △FBD≌△FAE(SAS), ∴.FD=FE,∠BFD=∠AFE, .∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°. FD=FE,且FD与FE夹角为60°.----12分 8/8 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一章~第五章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 4．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 5．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 7．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 10．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．分解因式：______． 12．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 13．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 14．已知，则____________________． 15．当_________时，分式的值为0． 16．如图，在中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为_______． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 18．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 19．已知，且，求代数式的值． 20．解方程：． 21．如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 22．某电商助农平台为推广地方特色农产品，计划购进“A县有机小米（甲商品）”和“B县特产红枣（乙商品）”两种产品．已知A县有机小米的单价比B县特产红枣的单价少20元，用3000元购进有机小米的数量与用4000元购进特产红枣的数量相同．平台将有机小米定价为每件100元，特产红枣定价为每件130元． (1)求有机小米、特产红枣的购进单价各是多少元？ (2)平台计划购进两种商品共150件，其中有机小米的数量不低于特产红枣数量的2倍，且全部售出后总利润不低于6480元，问平台有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，平台决定对有机小米进行促销价格调整，每件变动元（可正可负），特产红枣售价不变．若要使所有可行的进货方案获利都相同，请直接写出的值． 23．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标为(-4,5)． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出； (3)连接，则的面积为___________． 24．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 25．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题．点在直线上，，点、为直线上的动点，且． 【特殊化探究】 (1)如图①，当时，猜想、、之间的数量关系为______； 【一般化推理】 (2)如图②，若为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【综合应用】 (3)如图③，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请用表示与的面积之和； 【深化探究】 (4)如图④，，为等边三角形，求与的数量关系和夹角度数． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期5月学情自测 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级下册第一章~第五章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据定义判断每个图形的对称性，再筛选出同时满足“轴对称”和“中心对称”两个条件的选项． 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，也是中心对称图形； 选项：是中心对称图形，不是轴对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形． 2．某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示如下： 3．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先求解原分式方程，再根据关于x的分式方程有增根得到的值，求解即可． 【详解】解：解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：． 4．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 5．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 6．如图，在中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．4.8 【答案】A 【分析】先作垂直交于点M，再作，根据角平分线的性质即可找到动点M和N，进而求得的最小值． 【详解】解：如图所示： 过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N， ∵平分， ∴， ∴． 由垂线段最短知，此时有最小值，为的长． ∵在中，，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为2.4． 7．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“实际总阅读时间原计划总阅读时间多花的10天”这一等量关系，分别表示出各段时间即可列出方程． 【详解】解：∵设总页数为，原计划每天读页， ∴原计划总阅读时间为天． ∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半， ∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天． ∵ 实际比原计划多花天读完， ∴可得方程． 因此A选项正确． 8．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据图形平移的性质得出，，根据得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴． 9．在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，结合条件逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ， 是直角三角形，故A不符合题意； B、， ， 是直角三角形，故B不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形，故C不符合题意； D、， 设，则 ，， 由三角形内角和定理得， 解得，三角形最大角不是， 不是直角三角形，故D符合题意． 10．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 12．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到正比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集是． 13．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，先求出，再求出，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，的面积为， ∴，即， ∴， ∵平分，且，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长度最小，最小值为． 14．已知，则____________________． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 15．当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 16．如图，在中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为_______． 【答案】 【分析】根据为线段的垂直平分线，得到，再通过等量代换可得，设，则，然后根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴在中，， 即，解得， ∴． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）将原式提取公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，再确定公共部分即可. 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为． 19．已知，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】先把分式化简，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【详解】解：原式 ． ， ． 原式． 20．解方程：． 【答案】 【详解】解：， 等号两边同时乘以，可得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 21．如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识． （1）根据等腰直角三角形的性质确定出，即可证明； （2）根据三角形外角的性质先求出的角度，再根据（1）中的全等即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．某电商助农平台为推广地方特色农产品，计划购进“A县有机小米（甲商品）”和“B县特产红枣（乙商品）”两种产品．已知A县有机小米的单价比B县特产红枣的单价少20元，用3000元购进有机小米的数量与用4000元购进特产红枣的数量相同．平台将有机小米定价为每件100元，特产红枣定价为每件130元． (1)求有机小米、特产红枣的购进单价各是多少元？ (2)平台计划购进两种商品共150件，其中有机小米的数量不低于特产红枣数量的2倍，且全部售出后总利润不低于6480元，问平台有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，平台决定对有机小米进行促销价格调整，每件变动元（可正可负），特产红枣售价不变．若要使所有可行的进货方案获利都相同，请直接写出的值． 【答案】(1)有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元 (2)有三种购买方案 (3) 【分析】（1）特产红枣的单价为元，则有机小米的单价为元，列出分式方程进行计算即可； （2）购买特产红枣件，则有机小米件，根据题意列出一元一次不等式组，求出或或，即可得到答案； （3）设商品总获利为元，列出式子得到的取值与无关，则的系数为0，即可得到答案． 【详解】（1）解：特产红枣的单价为元，则有机小米的单价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验是方程的解， 则， 答：有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元； （2）解：购买特产红枣件，则有机小米件， 根据题意得，， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买特产红枣48件，则有机小米102件； 方案二购买特产红枣49件，则有机小米101件； 方案三购买特产红枣50件，则有机小米100件； 故商品共有三种购买方案； （3）解：设商品总获利为元， ， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关，则的系数为0， ， 即答案为： 23．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标为(-4,5)． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________； (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出； (3)连接，则的面积为___________． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)答案见解析 (3)的面积为11 【分析】（1）先确定坐标原点，即可得答案； （2）根据旋转作图的方法，确定，最后连接即可； （3）确定，计算即可． 【详解】（1）解：如下图， 由点，确定坐标原点O， 所以点B的坐标为，点C的坐标为； （2）如（1）图，作，且，得到，同理可得：，，连接，即为所求； （3）如（1）图，连接 ， ． 24．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 25．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题．点在直线上，，点、为直线上的动点，且． 【特殊化探究】 (1)如图①，当时，猜想、、之间的数量关系为______； 【一般化推理】 (2)如图②，若为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； 【综合应用】 (3)如图③，是钝角，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请用表示与的面积之和； 【深化探究】 (4)如图④，，为等边三角形，求与的数量关系和夹角度数． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) (4)，且与夹角为． 【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由，得到，推出，同理（1）证明，即可得出结论； （3）同理（2）得，得到，设的底边上的高为，则的底边上的高为，求出 ，根据 ，即可求解； （4）证明，可得，，由为等边三角形，证明，得到，，即可解答． 【详解】（1）解：猜想，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论仍然成立；理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， ； （3）解：同理（2）得， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为． （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， 为等边三角形， ，． ， ， ， ． 即． 在和中，， ， ，， ． ，且与夹角为． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $