精品解析：福建泉州七中金山校区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025～2026学年第二学期八年级数学期中考试 一．选择题（本题共10小题，每小题，共40分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当是矩形时， B. 当是菱形时， C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 7. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 8. 如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 4 9. 已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10. 如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每小题，共2） 11. 在函数中，自变量的取值范围_________． 12. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为_____________． 13. 已知点在x轴上，则_______． 14. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点M，点N为的中点，连接，若，则的长为_________． 15. 一次函数无论k取何值，它的图象总是过一个定点，此点坐标为_________． 16. 如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. “歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 22. 按要求完成下列各题． （1）已知一次函数当时，当时． ①求这个一次函数的解析式； ②当 时，函数值y的取值范围是_______． （2）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，y随x的增大而增大．它的函数图象从左向右上升．我们可以证明这一性质的正确性．我们知道，要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确． 请根据这一事实，补充完以下对上述结论中，当时，y随x的增大而增大的结论的证明． 证：设一次函数，当自变量x分别取x1、x2，且时，对应的函数值分别为， ．………… 23. 某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． （1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作平行于，交于点； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作平行于，过点作平行于，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求，请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图．最终的分割线用实线，其他用虚线）． 24. 探究通过维修路段的最短时长，素材1：如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）． 素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为，，，它的路程y（m）与时间t（s）的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是． 素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段． 【任务1】求段的总路程和甲车经过段的速度． 【任务2】在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y（m）与时间t（s）之间的函数图像． 【任务3】丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？ 25. 如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，E是边上的一点，连接交于K点，的面积等于面积的． （1）求点E的坐标； （2）过A点作于F点，交于Q点，求Q点的坐标； （3）在（2）的条件下，第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期八年级数学期中考试 一．选择题（本题共10小题，每小题，共40分） 1. 下列代数式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，据此可得答案． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中，只有式子是分式， 故选：C． 2. 如图，在中，对角线与相交于点O，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 故A，B，D正确，不符合题意； ∵与不一定相等，故C错误，符合题意． 故选：C． 3. 下列图象中，可以表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，函数值都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A．对于任意一个值，可能有多个值与之对应，故不是函数图象； B．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； C．对于任意一个值，可能有两个值与之对应，故不是函数图象； D．对于任意一个值，有唯一确定的值与之对应，故是函数图象． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点．根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特点：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限进行判断． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， ∴点P在第一象限． 故选：A． 5. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当是矩形时， B. 当是菱形时， C. 当是正方形时， D. 当是菱形时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键． 【详解】解：当是矩形时，，正确，故A不符合题意； 当是菱形时，，正确，故B不符合题意； 当是正方形时，，正确，故C不符合题意； 当是菱形时，，故D符合题意； 故选：D． 6. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小3倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到x，y扩大3倍后的分式，利用分式的基本性质化简，与原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将x和y都扩大3倍后，得到新分式为， 对分子提取公因式，可得， 根据分式的基本性质，约去分子分母的公因子3，得到，与原分式相等，因此分式的值不变． 7. 《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的溶解度（单位：g）与温度（单位：℃）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ） A. 硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 B. 随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低 C. 时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大 D. 溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度低 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意； B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意； C、时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度大，故原说法正确，符合题意； D、溶解度为时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法错误，不符合题意． 8. 如图，菱形中，交于O，于E，连接，若，菱形周长为20，则的长为（    ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，理解题意是解决本题的关键． 由菱形的性质可得，，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：在菱形中，其周长为20，， ，，，， ， ，， ． 故选：C． 9. 已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 10. 如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上， 此时，通过比较可得答案． 【详解】解：设点到的距离为， ∵的面积始终等于长方形面积的，，， ∴，，，， ∴， ∴，点到的距离为， 若点在长方形内， 如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长， 在中，； 若点在长方形外，则点在的延长线上， ∴， ∴， 此时； ∵， ∴最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键． 二．填空题（本题共6小题，每小题，共2） 11. 在函数中，自变量的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分母不为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：， 解得：． 12. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．苔花的花粉直径约为， 用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知点在x轴上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点在坐标轴上的特征， 解一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 点A在x轴上，其纵坐标必为0，因此，即可求出a的值． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴其纵坐标， 解得． 故答案为． 14. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，，连接交于点M，点N为的中点，连接，若，则的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，，证明，得到，由三角形中位线定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 15. 一次函数无论k取何值，它的图象总是过一个定点，此点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将一次函数解析式整理为关于的等式，根据无论取何值等式恒成立，令的系数为零，即可求解得到定点坐标． 【详解】解：对进行整理得， ∵无论取何值，等式恒成立， ∴令， 解得， 将代入解析式，得 因此该定点坐标为． 故答案为：． 16. 如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合，此时与的比是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设纸的边长为a，利用矩形的边长关系和折叠性质，推导第二次折叠后各线段的表达式．因为要求与的比，所以需要用设定的参数表示出的长度，再通过比例运算得出结果，可能用到勾股定理建立线段间的等量关系． 【详解】设矩形中，， 第一次折叠后点B落在上的处，，且， ∴四边形是正方形， ∴． 第二次折叠后点E与D重合，， ∴， ∴． 设， 则， ∴． 在中，， ∴ ， 代入得  ， 展开整理得， 解得． ∴ ， ∴． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根、零指数幂（）、负整数指数幂（）的运算，熟练掌握这些幂的运算性质是解题的关键． 分别计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，原方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，化简得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ． 把代入，得． 20. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 21. “歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【解析】 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 22. 按要求完成下列各题． （1）已知一次函数当时，当时． ①求这个一次函数的解析式； ②当 时，函数值y的取值范围是_______． （2）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，y随x的增大而增大．它的函数图象从左向右上升．我们可以证明这一性质的正确性．我们知道，要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确． 请根据这一事实，补充完以下对上述结论中，当时，y随x的增大而增大的结论的证明． 证：设一次函数，当自变量x分别取x1、x2，且时，对应的函数值分别为， ．………… 【答案】（1）①；② （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①一次函数的一般形式为，将已知的两组值代入，即可解出； ②由①得函数，其中，根据一次函数性质，y随x的增大而增大，因此只需计算区间端点对应的y值，再结合不等号方向即可得到取值范围； （2）根据题目给出的 “作差法”，计算，通过判断差的符号来比较的大小，从而证明单调性． 【小问1详解】 解：①设一次函数的解析式为，得：， 解得：， ； ②由①得函数，其中，根据一次函数性质，y随x的增大而增大，因此只需计算区间端点对应的y值， 故 时，函数值y的取值范围为． 【小问2详解】 解：设一次函数， 当自变量x分别取x1、x2，且时，对应的函数值分别为， ， ， ， ， 当时， ，即， ， y随x的增大而增大． 23. 某校有一块草坪，其四角上各有一棵树（如图1），现校方想让这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，使扩大后的草坪为平行四边形，校总务处让八年级某班的数学兴趣小组出一套设计方案，该数学兴趣小组回忆了八年级的相关知识：①三角形中线平分面积，②两条平行线之间的任何两条平行线段都相等． （1）现将相关知识①②转化成图形语言，请用尺规在图中作出中线，图中过点作平行于，交于点； （2）根据相关知识，数学兴趣小组给出以下设计方案：如图2，连接，过点作平行于，过点作平行于，分别交于点，延长线于点，并截取，连接，则四边形即为所求，请证明该方案的可行性． （3）该校还有一块三角形花坛（如图3），现规划要将三角形花坛从点处画一条线段将其均分为两块面积相等的区域，种上不同的花，请画出图形（无需尺规作图．最终的分割线用实线，其他用虚线）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、平行四边形的判定与性质以及面积转化： （1）以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线交于点，连接，即为中线；以为圆心，适当长为半径画弧交于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于两点，连接点与该点，此时直线交于点，即所求． （2）利用平行线间的距离相等进行面积转化，证明是平行四边形，得到即可求； （3）取的中点，连接，过点作平行于，交于点，连接，即为分割线． 【小问1详解】 解：如图，线段，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且点在上， ， ， ， 则四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如图，分割线即为所求． 过程如下 ：取的中点，连接，过点作平行于，交于点，连接， 设的高为， 则、的高均为， ， ， 同理： 平行于， （同底等高）， ， ， 即线段将的面积分为面积相等的两块． 24. 探究通过维修路段的最短时长，素材1：如图1，某路段（段）需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通（仅设置红灯与绿灯）． 素材2：甲车先由通行，乙车再由通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为，，，它的路程y（m）与时间t（s）的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是． 素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段． 【任务1】求段的总路程和甲车经过段的速度． 【任务2】在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y（m）与时间t（s）之间的函数图像． 【任务3】丙车沿方向行驶，经段的车速与乙车经过时的速度相同，在段等红灯的车辆开始行驶后速度为，等红灯时车流长度每秒增加，问丙车在段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？ 【答案】任务1：总路程：千米，速度：； 任务2：补全函数图象如图． 任务3：47秒 【解析】 【分析】（1）根据函数图象（图2）中的数据，即可作答； （2）根据函数图象（图2）中的数据，得出、、的路程，再结合图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间，进而求出经过、、时的时间，即可作图； （3）设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒，记车在DN段等待红灯至离开点A需要y秒，则，根据一次函数的增减性即可作答． 【详解】任务1：由图2可知：总的路程为：千米； 段的路程为：（千米）， 甲车经过段的时间为：（秒）， 则甲车经过段的速度为：， 故答案为：千米，； 任务2：根据函数图象（图2）中的数据，可知：、、， 根据图3中的红绿灯时间得出乙车行驶的总时间为：， 乙车经过段的时间为：， 甲车经过段的速度为：， 则乙车经过段的速度为， 即乙车经过段的时间为：， ∴乙车经过段的时间为：， 任务3：设红绿灯2由绿灯变成红灯后x秒丙车到达，则丙车需等待秒， 记车在段等待红灯至离开点A需要y秒， 则， ∵随x的增大而减小，， ∴当时，y取得最小值，最小值为秒， 即丙车在段等待红灯至离开点A至少需要47秒钟． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用、一次函数的性质，理清题意，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数是解题关键． 25. 如图，平面直角坐标系中，正方形的四个顶点都在坐标轴上，直线的解析式为，E是边上的一点，连接交于K点，的面积等于面积的． （1）求点E的坐标； （2）过A点作于F点，交于Q点，求Q点的坐标； （3）在（2）的条件下，第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点P坐标或 【解析】 【分析】（1）先求得、求得，根据正方形的性质得到，即，如图：过E作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，再根据的面积等于面积的求得，进而得到，从而确定点E的坐标； （2）如图：过Q作于G，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，即可确定点Q的坐标； （3）①当，，过P作轴于M；②当，，过P作平行于y轴的中线，过A作于M，过Q作于N，延长交y轴于G，则轴，四边形是矩形；③当时，，分别根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：在中，令，则，令，则， ∴、， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 如图：过E作于H， ，， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积等于面积的， ，即， ∴， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：如图：过Q作于G， ∵四边形是正方形， ，， ∵， ， ， ， ， ∴，， ， ， ，， ， ， ，, ， ， ∴． 【小问3详解】 解：存在， ①当，，过P作轴于M； ， ， ， ， ， ，， ∴， ∴； ②当，，过P作平行于y轴的直线，过A作于M，过Q作于N，延长交y轴于G，则轴，四边形是矩形， ，， 同理，， ， ， ，， ． ③当时，，如图，这种情况不符合题意， 综上，存在点P，使为等腰直角三角形，点P坐标或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $