精品解析：北京市西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校2025-2026学年 七年级下学期期中数学试卷

北师大二附中西城实验学校2025—2026学年度第二学期期中试卷 七年级数学 注意事项 1．本试卷共7页，共三道大题，26道小题，满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． Ⅰ正卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，第一象限点的坐标特征是，第二象限点的坐标特征是，第三象限点的坐标特征是，第四象限点的坐标特征是． 【详解】解：点的横坐标是正数，纵坐标是负数， 点位于第四象限． 故选：D． 2. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，包含有限小数和无限循环小数． 【详解】解：∵ ，是整数，属于有理数， 是无限循环小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数． 3. 如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE=50°，则∠AOC等于（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出∠BOD=40°，然后利用对顶角性质得出∠AOC度数即可. 【详解】∵OE⊥AB，且∠DOE=50°， ∴∠BOD=40°， ∵∠AOC与∠BOD为对顶角， ∴∠AOC=40°， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了角度的计算，熟练掌握相关概念是解题关键. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可求解． 【详解】解： A. ∵，∴，故该选项正确，符合题意； B. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； D. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号方向改变． 5. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 相等的角是对顶角 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解析】 【分析】根据对顶角定义，垂线的性质，平行线的相关概念，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，原命题是真命题，该选项符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，该选项不符合题意； C、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题，该选项不符合题意； D、同一平面内，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，该选项不符合题意． 7. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ） A. 54 B. 50 C. 43 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 8. 如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，根据题意总结出点的坐标变换规律是解题的关键． 根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可． 【详解】解：，，，，，，，，， ∴总结规律得：（为正整数）， ， 的坐标是， 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. “x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目描述的数量关系即可列出对应的不等式． 【详解】解：根据题意可得，的倍为，与的差为，差小于， 因此列出不等式为． 10. 比较大小：______4（填＞，＜或＝） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查实数的估值，根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：＞ 11. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，则_____． 【答案】40° 【解析】 【分析】先根据三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=50°，得出∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠2的度数． 【详解】解：如图，∵三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=50°， ∴∠3=90°-50°=40°， 又∵AB∥CD， ∴∠2=∠3=40°， 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 12. 将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角互补 【解析】 【详解】解：命题“邻补角互补”的题设为：两个角是邻补角，结论为：这两个角互补， 因此改写为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 13. 已知，则的值为__________． 【答案】4或 【解析】 【分析】方程利用平方根定义开方即可求出x的值． 【详解】解：∵（x-1）2=9， ∴x-1=±3， 解得：x=4或x=-2， 故答案为4或． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 14. 五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋的坐标为，黑棋的坐标为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对表示点的坐标，先根据白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，建立平面直角坐标系，再结合图象即可得解，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：∵白棋A的位置为，黑棋B的位置为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是， 故答案为：． 15. 如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有4个整数解可以是，，，，即可得到，解得即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有4个整数解， 这4个整数解是，，，， ， 解得：． 16. 如图，面积为的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1．将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S． ①当正方形向右移动1时，移动后的正方形与原正方形ABCD重叠部分图形的面积为______； ②当时，数轴上点表示的数是______（用含a的代数式表示）． 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】①当正方形向右移动1时，如图1，求出即可算出重叠部分的面积； ②平移可分为两种情况，向右平移和向左平移，根据面积求出边长，求出平移的距离，即可得出答案． 【详解】①当正方形向右移动1时，如图1， ∵正方形的面积为， ∴， ∴， ∴重叠部分图形的面积， 故答案是． ②当向右移动时，如图2， ∵重叠部分图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是； 当向左移动时，如图3， ∵重叠部分图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数是； 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示实数，解题的关键是求出点与原点间的距离． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18题7分，第19题5分，第20题8分，第21题9分，第22题11分，第23题8分，第24题10分） 17. 计算、解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得， 将代入①，得，解得， ∴方程组的解为． 18. 解不等式组，在数轴上表示解集并写出它的所有整数解． 【答案】，在数轴上表示见解析，整数解为，0，1，2，3 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 在数轴上表示如图， 它的所有整数解为，0，1，2，3． 19. 如图，已知点P在的边上． （1）过点P作边的垂线l； （2）过点P作边的垂线段； （3）过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3），垂线段最短 【解析】 【分析】此题考查了垂直的定义，垂线段最短的性质， （1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）根据垂线段最短判断三条线段的大小即可． 【小问1详解】 如图，直线l即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 理由是：垂线段最短． 20. 如图，已知． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，平分，试求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键， （1）先证明，进而证明，得出结论； （2）先求出，进而求出，即可求出结论． 【小问1详解】 解：， 理由：，， ， ， 又， ， ， 【小问2详解】 解：，， ， 又平分， ， ， 又， ． 21. 某市在创建全国文明城市过程中，决定购买A、B两种树苗对某路段进行绿化改造．已知购买一棵A种树苗的价格比一棵B种树苗的价格贵30元，买5 棵A种树苗和10 棵 B种树苗共需用1050元． （1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，该市需要购进A、B 两种树苗共120 棵，总费用不超过8160元，并且根据需求，要求购进B种树苗的数量必须低于A 种树苗数量的3倍，问有哪几种购买方案？所需费用最低是多少元？ 【答案】（1）A种树苗每棵90元，B种树苗每棵60元； （2）购买的方案有购进A种树苗31棵，B种树苗89棵；购进A种树苗32棵，B种树苗88棵；所需费用最低是元． 【解析】 【分析】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元”列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据“总费用不超过8160元，要求购进B种树苗的数量必须低于A 种树苗数量的3倍，”列出相应的一元一次不等式组，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：A种树苗每棵90元，B种树苗每棵60元； 【小问2详解】 解：设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意，得： ， 解得：， 所以购买的方案有两种： 购进A种树苗31棵，B种树苗89棵，所需费用为（元）； 购进A种树苗32棵，B种树苗88棵；所需费用为（元）． ∵， ∴所需费用最低是元． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程组或不等式组． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． （1）在图中画出三角形； （2）求三角形的面积； （3）若三角形内一点P经过上述平移后的对应点为，点P的坐标为______（用含m，n的式子表示）． （4）若点N在y轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点N的坐标． （5）已知点．连接，当轴，m的值为______；若三角形的面积是9，m的值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） （4）点N的坐标为或； （5）3；或． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质找到的位置，顺次连接即可得； （2）利用割补法进行计算即可得； （3）根据三角形内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，即可得； （4）设点N的坐标为，求得，根据，列式计算即可求解； （5）利用平行线的性质求得m的值为3；再分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列式求解即可． 【小问1详解】 解：三角形如图所示， ； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：∵三角形内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到， ∴； 【小问4详解】 解：设点N的坐标为，∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点N的坐标为或； 【小问5详解】 解：当轴，∵，∴m的值为3； 当点在第一象限内时，， 解得； 当点在第三象限内时， ， 解得； 综上，m的值为或． 23. 综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 如图，设“帅”位于点，“相”位于点． （1）图中“马”所在的点的坐标为_________； （2）在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A． B． C． D． （3）“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；马走到C的最短路线有______种； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）C； （3）①能，2；②能，需要走1352步． 【解析】 【分析】（1）根据“帅”，“相”的位置确定“马”的位置； （2）由于马走“日”，因此马的平移向量左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移向量左或右平移2，则相应的上或下平移1，由此可判断所给平移量； （3）①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； ②设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次，则马沿着平移量移动；走到点时，向右移动2029，向上移动2027，可得，；求解即可． 【小问1详解】 解：由“帅”位于点，“相”位于点， ∴“马”的坐标为； 【小问2详解】 解：由于马走“日”，因此马的平移量为左或右平移1，则相应的上或下平移2；平移量向左或右平移2，则相应的上或下平移1， ∴A、B、D是“马”的一步“平移量”，C不是“马”的一步“平移量”， 故选：C． 【小问3详解】 解：①马可以先走到，再走到；也可以先走到，再走到； 则马走到C的最短路线有2种； 故答案为：能；2； ②由题意可知“马”的走法只有两种平移量或， 设马沿着平移量移动次，沿着平移量移动次， 则马沿着平移量移动， 马的初始位置是， 走到点时，向右移动2029，马向上移动2027， ，， ，， ∴马沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次，走到点 马能走到； 马由点，沿着平移量移动677次，沿着平移量移动675次． ∴共移动（步）． 24. 综合与实践 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，． （1）①如图1，直接写出______°； ②如图1，若，求的大小； （2）如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小（用的代数式表示）； （3）王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和，交直线于点R，交直线于点Q，和交于点H，求的大小．（要求：在备用图中画出图形，写出过程） 【答案】（1）①；② （2）或或 （3）或 【解析】 【分析】（1）①过点P作，根据平行线的性质求出，，根据，求出结果即可； ②根据①可得：，根据，列出方程，解方程即可； （2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分两种情况讨论：向右移动时，向左移动时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①过点P作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴； ②根据①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：当时，如图所示： 则， 根据解析（1）可知：， ∴； 当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴； 当时，如图所示： 则， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴； 综上分析可知：或或． 【小问3详解】 解：向右移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， 根据解析（1）可知： ； 向左移动时，如图所示： ∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， 根据解析（1）可知： ； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类讨论． Ⅱ附加卷 四、附加题（共10分，25题5分，26题5分） 25. 定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：20，33，84中，“迥异数”为______；②计算：_______． （2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b． （3）如果一个“迥异数”c，满足，请求出所有满足条件的c的值． 【答案】（1）①84；②8 （2）38 （3）81或91或92 【解析】 【分析】（1）①根据定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零“，可以确定84是“迥异数”，而20和33不是． ②根据所给定义代入并运算就可以求得f（32）的值． （2）根据“迥异数”的定义代入可得f（b）的值为3k+2=11，可求得k=3，再出b的值为38． （3）先设c的个位为n，十位为m，可以代入求得f（c）的值为m+n．再根据c-5f（c）＞35，可求得关于m和n的不等式，再对m、n进行讨论就可以求得c的值． 【小问1详解】 解：①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，20，33，不符合定义 ，对调个位数字与十位数字得到新两位数48，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． “迥异数”为84． ②f（35）=（35+53）÷11=8． 故答案为：84，8． 【小问2详解】 ∵这个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1）， ∴b=10×k+2（k+1）=12k+2． 将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k=21k+20， ∴f（b）=（12k+2+21k+20）÷11=3k+2， 又f（b）=11， ∴3k+2=11， ∴k=3． 故这个“迥异数”b=12k+2=38． 【小问3详解】 设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m，n均为大于1小于10的正整数． 则c=10m+n，调换个位和十位后为：10n+m， 故f（c）=（10m+n+10n+m）÷11=m+n， ∵c-5f（c）＞35， ∴10m+n-5（m+n）＞35． 整理得：5m-4n＞35， ∴m＞， 又∵m≤9， ∴＜9， 解得：n＜2.5， 又n为正整数， 故n=1或2， 当n=1时，m=8或9，此时c=81或91； 当n=2时，m=9，此时c=92； 故所有满足条件的c有：81或91或92． 【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解和运用，还考查了列代数式和解不等式的知识，最后一问需要讨论不等式的整数解，是本题的难点． 26. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”． ①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点，则_________；_________； （2）若点在第一象限，且．求点B的坐标； （3）①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图一中画出图形W； ②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）3；5 （2）或 （3）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）根据和的定义，进行计算即可； （2）分或两种情况讨论求解即可； （3）①根据，分四种情况讨论即可求解； ②分和两种情况，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴；； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴或， ∵B点在第一象限， ∴或， ∴或，即或； 【小问3详解】 解：①∵， 当，， ∴， ∴图形是过的一段线段； 当，， ∴， ∴图形是过的一段线段； 当，， ∴， ∴图形是过的一段线段； 当，， ∴， ∴图形是过的一段线段； 如图1所示： ②设：， ∵点E在线段上， 则：，， ∵且， 当时，当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往右移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且， 当时：当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 当时，，， 此时：点和点重合时，正好满足：且， 再往左移动，不满足题意； ∴当时，在线段上存在点E，使得点E满足且， 综上：或时，在线段MN上存在点E，使得点E满足且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大二附中西城实验学校2025—2026学年度第二学期期中试卷 七年级数学 注意事项 1．本试卷共7页，共三道大题，26道小题，满分110分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将考试材料一并交回． Ⅰ正卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在实数，，，中，无理数是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线AB交CD于O，OE⊥AB，且∠DOE=50°，则∠AOC等于（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 相等的角是对顶角 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 7. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ） A. 54 B. 50 C. 43 D. 34 8. 如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（共16分，每题2分） 9. “x的3倍与2的差小于”所对应的不等式是______． 10. 比较大小：______4（填＞，＜或＝） 11. 如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，，则_____． 12. 将“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式为______． 13. 已知，则的值为__________． 14. 五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋的坐标为，黑棋的坐标为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是_____． 15. 如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是______． 16. 如图，面积为的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1．将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S． ①当正方形向右移动1时，移动后的正方形与原正方形ABCD重叠部分图形的面积为______； ②当时，数轴上点表示的数是______（用含a的代数式表示）． 三、解答题（共68分，第17题10分，第18题7分，第19题5分，第20题8分，第21题9分，第22题11分，第23题8分，第24题10分） 17. 计算、解方程组： （1）； （2）． 18. 解不等式组，在数轴上表示解集并写出它的所有整数解． 19. 如图，已知点P在的边上． （1）过点P作边的垂线l； （2）过点P作边的垂线段； （3）过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ． 20. 如图，已知． （1）判断与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，平分，试求的度数． 21. 某市在创建全国文明城市过程中，决定购买A、B两种树苗对某路段进行绿化改造．已知购买一棵A种树苗的价格比一棵B种树苗的价格贵30元，买5 棵A种树苗和10 棵 B种树苗共需用1050元． （1）求购买A、B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，该市需要购进A、B 两种树苗共120 棵，总费用不超过8160元，并且根据需求，要求购进B种树苗的数量必须低于A 种树苗数量的3倍，问有哪几种购买方案？所需费用最低是多少元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点． （1）在图中画出三角形； （2）求三角形的面积； （3）若三角形内一点P经过上述平移后的对应点为，点P的坐标为______（用含m，n的式子表示）． （4）若点N在y轴上，三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点N的坐标． （5）已知点．连接，当轴，m的值为______；若三角形的面积是9，m的值为______． 23. 综合与实践． 【材料一】如图，象棋棋子“马”每步走“日”字形，“马”所在位置可以直接走到点A，B处． 【材料二】若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫作这一平移的平移量．平移量与平移量的加法运算法则为． 如图，设“帅”位于点，“相”位于点． （1）图中“马”所在的点的坐标为_________； （2）在整个平面直角坐标系中，不是棋子“马”的一步平移量的是___________（填选项）； A． B． C． D． （3）“马”的初始位置如图，现在命令“马”每一步只能向右和向上前进，在整个坐标系中， ①“马”___________走到点C（填“能”或“不能”）；马走到C的最短路线有______种； ②“马”能否走到点？若能，则需要走几步；若不能，请说明理由． 24. 综合与实践 平移是一种重要的几何图形变换，在数学学习和实际应用中具有重要作用，它不仅帮助我们理解图形的运动变化规律，还在建筑、工程、设计等领域有广泛的应用，某班数学兴趣小组在学习平移的课程中，将直角三角形放在两条平行线间，运用平移的变化规律，计算角度的大小，如图，，张华将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，点M，N分别在直线，上，，，． （1）①如图1，直接写出______°； ②如图1，若，求的大小； （2）如图2所示，李明将一个含，角的直角三角形的顶点G与点M重合，点E落在直线上，顶点G固定不动，将点E在直线上向左平移，同时始终保持直角三角形形状不变，即，，保持不变，直角三角尺固定不动，且，当点E运动到点N重合时停止（如图3所示），问在运动过程中，三角形的一边与三角尺的一边平行时，请直接写出的大小（用的代数式表示）； （3）王芳将直角三角形从图3位置沿两条平行线平移，始终保持，分别作和的角平分线和，交直线于点R，交直线于点Q，和交于点H，求的大小．（要求：在备用图中画出图形，写出过程） Ⅱ附加卷 四、附加题（共10分，25题5分，26题5分） 25. 定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：20，33，84中，“迥异数”为______；②计算：_______． （2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是，且，请求出“迥异数”b． （3）如果一个“迥异数”c，满足，请求出所有满足条件的c的值． 26. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”． ①当时，为点与点的“远距离”，即；当时，为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： （1）已知点，则_________；_________； （2）若点在第一象限，且．求点B的坐标； （3）①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形W，请在图一中画出图形W； ②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $