6.1 课时3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦分类加法与分步乘法计数原理的综合应用，通过复习两原理异同点导入，以家庭电路路径、程序测试等情景问题为支架，引导学生分析“完成一件事”的分类或分步方式，衔接旧知与综合应用。 其亮点是以现实情景（如QQ号位数、汽车号牌编号）为载体，培养学生用数学眼光观察现实问题，通过问题分析表格训练数学思维的条理性，借助实例建模发展数学语言表达能力。方法归纳明确解题步骤，教师可利用情景实例提升教学生动性，学生能增强知识应用意识。

6.1 课时3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合 1 联系 复习回顾： 区别 注意 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 区别 注意 两个计数原理的异同点 都是用来计算“完成一件事”的不同方法种数的问题 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘 任何一类中的任何一种方法都能独立完成这件事 只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事（每步中的每一种方法不能独立完成这件事） 2 A • 主卧 客卧 书房 餐厅 卫生间 情景1：如图是某同学的家庭电路图，如果要使阳台灯亮，你有哪些方法？ 【问题1】一共有多少条路径可以使阳台灯亮？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 使阳台灯亮 从入户开关到点A电路通电，再使点A到阳台灯电路通电 类类不容 步步相依 A • 主卧 客卧 书房 餐厅 卫生间 4 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 使阳台灯亮 从入户开关到点A电路通电，再使点A到阳台灯电路通电 类类不容 步步相依 A • 主卧 客卧 书房 餐厅 卫生间 【问题2】如果变成下图这样，一共有多少条路径可以使阳台灯亮？ 5 A • 主卧 客卧 书房 餐厅 卫生间 【问题3】如果需要检查家庭电路是否有问题，应该如何开展工作？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 使家庭电路处处通电 使每个房间均通电，再使房间之间的电路通电 类类不容 步步相依 该家庭电路有问题吗？ 6 情景2：计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多少条执行路径（程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成. （1）左图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？ （2）为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？ 7 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 研究从开始到结束的执行路径 从开始执行到A点，再从A点执行到结束 类类不容 步步相依 问题1：这个程序模块有多少条执行路径？ 8 【问题2】要减少测试次数，可以如何执行这个程序？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 用较少的次数测试执行路径 分别测试每个模块的执行路径，再测试模块之间的执行路径 类类不容 步步相依 18+45+28+38+43+3×2=178 9 情景3： 腾讯QQ的发展史：1999年2月正式推出的第一个即时通信软件，用户由最初的2人到现在已经发展上亿用户了，QQ号由最初的5位、6位、7位数字发展到现在的11位、12位，为什么QQ号越来越长了？ （1）你知道QQ号9位的用户最多有多少人吗？（QQ号由首位不为0的数字组成） 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 研究9位QQ号个数 从10个阿拉伯数字中选9位数字编号（首位不能为0） 类类不容 步步相依 9×10×10×10×10×10×10×10×10=900000000 10 情景3：腾讯QQ的发展史：1999年2月正式推出的第一个即时通信软件，用户由最初的2人到现在已经发展上亿用户了，QQ号由最初的5位、6位、7位数字发展到现在的11位、12位，为什么QQ号越来越长了？你知道QQ号9位的用户最多有多少人吗？（QQ号由首位不为0的数字组成） 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 研究9位QQ号个数 从10个阿拉伯数字中选9位数字编号（首位不能为0） 类类不容 步步相依 9×10×10×10×10×10×10×10×10=900000000 （2）如果想增加QQ号9位的用户，你还有什么办法吗？ 11 情景4：通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示. 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O， 之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 12 其中，序号的编码规则为： （1）由10个阿拉伯数字和除O， 之外的24个英文字母组成； （2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？ 问题分析 具体问题 要做一件什么事情 怎么去做这件事情 每类能否单独完成 每步能否单独完成 如何计数 确定发放汽车号牌的张数 类类不容 步步相依 10个阿拉伯数字和除O， 之外的24个英文字母（最多两个英文字母）中选5位序号编码 当没有字母时号牌张数为10×10×10×10×10=100000 当有1个字母时号牌张数为5×24×10×10×10×10=1200000 当有2个字母时号牌张数为10×24×24×10×10×10=5760000 汽车号牌张数为100000+1200000+5760000=7060000 13 【方法归纳】 用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步. 分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数. 分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数. 14 请同学们查阅一下身份证的号码中数字的含义，你可以用学过的知识来计算一下在中国同一个地区同一天出生的人数最多有多少吗？ 练一练 15 本节课你学到了哪些知识？ $