6.2 第3课时 组合与组合数 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2　排列与组合 第3课时　组合与组合数 目 标 素 养 1.通过实例,理解组合的概念;正确认识排列与组合的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系,掌握组合数公式,并能运用公式进行计算. 3.通过本节学习,提升数学抽象与数学建模的核心素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.组合 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为 一组 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.  微思考1 (1)取“甲乙”和“乙甲”是同一个组合吗? (2)如何区分一个具体问题是排列问题还是组合问题? 提示:(1)是. (2) 排列问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响,则是排列问题,即排列问题与选取的顺序有关 组合问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,即组合问题与选取的顺序无关 2.组合数的概念、公式 微思考2 如何理解组合与组合数这两个概念? 提示:类比“排列”与“排列数”,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3. 答案:(1)15　(2)1 3.组合数的性质 答案:(1)18　(2)C 课堂·重难突破 一 组合的概念 典例剖析 1.(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题: ①设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个? ②某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价(假设来回的票价相同)? ③元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有多少张? (2)已知a,b,c,d,e五个元素,写出每次取出3个元素的所有组合. 解:(1)①问题与元素顺序无关,故是组合问题. ②因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题. ③甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,因为与顺序有关,所以是排列问题. (2)可按ab→ac→ad→bc →bd→cd顺序写出,即 所有组合为abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde. 规律总结 1.区分一个具体问题是排列问题还是组合问题,关键是看结果与顺序有无关系,有关系就是排列问题,无关系就是组合问题. 2.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,再按照顺序用图示的方法逐一将各个组合表示出来,这样做既直观明了,又能避免重复和遗漏. 学以致用 1.(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题: ①把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法? ②从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数? ③从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法? (2)从甲、乙、丙、丁四人中,选出2人组成科技小组,有多少种不同的组合?请写出来. 解:(1)①是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关. ②是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的. ③是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序. (2)可按甲→乙→丙→丁顺序写出,即 所有组合为甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,共6种. 二 组合数公式的应用 典例剖析 答案:D 解析:分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小的为n, A.3 B.4 C.5 D.6 答案:D ∴n-2≤3,即n≤5. ∴3≤n≤5且n∈N*. ∴n的取值可以是3或4或5.故选D. 规律总结 关于组合数公式的选取技巧 学以致用 A.7 B.6 C.5 D.4 答案:B 化简整理,得n2-3n-54=0,解得n=9或n=-6(舍去),即n=9. 整理,得n2-11n-12<0,∴-1<n<12, 又n≥5且n∈N*,∴n=5,6,7,8,9,10,11. 三 简单的组合问题 典例剖析 3.一个不透明的口袋内装有除颜色外其他完全相同的7个白球和1个黑球. (1)从该口袋内取出3个球,有多少种不同的取法? (2)从该口袋内取出3个球,其中含有1个黑球,有多少种不同的取法? (3)从该口袋内取出3个球,其中不含黑球,有多少种不同的取法? 解:(1)从不透明的口袋内的8个球中取出3个球, 取法种数是=56. (2)先从不透明的口袋内取1个黑球即,再从7个白球中取出2个白球即,因此取法种数是=21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是=35. 互动探究 (变条件,变问法)若将条件中“1个黑球改成2个黑球”, (1)从该口袋内取出3个球,其中恰好含有1个黑球,有多少种不同的取法? (2)从该口袋内取出3个球,其中至少含有1个黑球,有多少种不同的取法? 解:(1)分两步:第1步,先选特殊元素黑球有种取法;第2步,再选其余白球有种取法. 由分步乘法计数原理知共有=42种取法. (2)(方法一)(直接法)　分两类:第1类,恰有1个黑球有=42种方法;第2类,恰有2个黑球有=7种方法. 根据分类加法计数原理,共有42+7=49种方法. (方法二)(间接法)　从不透明的口袋内取出3个球,所有取法有种方法,全是白球有种方法,故有=49种方法. 规律总结 解简单的组合应用题的策略 (1)首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关,只要元素相同即可. (2)注意两个计数原理的运用,即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时,一定要避免重复或遗漏. 学以致用 3.有10名教师,其中6名男教师,4名女教师. (1)现要从中选2名去参加会议,有　　　　　种不同的选法; (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有　　　　　种不同的选法;  (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有　　　种不同的选法.  答案:(1)45　(2)21　(3)90 解析:(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数, 即共有45种不同的选法. (2)分两类: 谢谢大家 $