2026年山东济南市初中学业水平数学考试第三次全真模拟考试测试卷

**基本信息** 2026年济南初三数学三模卷，以石墨烯材料、正五边形阴影面积等真实情境为载体，融合代数、几何、统计知识，通过折叠问题、二次函数综合题等设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、三视图、科学记数法、众数|结合科技情境（石墨烯键长）考查数感与空间观念| |填空题|5/20|因式分解、韦达定理、扇形面积、行程问题|以正五边形阴影面积计算体现几何直观与运算能力| |解答题|10/90|平行四边形证明、圆切线、二次函数综合、动态几何|25题三问递进设计，从基础推理到创新应用，发展推理能力与创新意识|

2026年山东省济南市初中学业水平数学考试第三次全真模拟考试测试卷 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共7页，25小题考试时间120分钟，满分150分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 3．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（    ） A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 6．若，，则以，为根的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 7．如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，连接，若，，则正方形的边长为（    ）； A． B． C． D． 8．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 9．如图1，已知四边形是正方形，将分别沿向内折叠得到图2，此时与重合（A，C都落在G点），若，则的长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线，下列结论： ①；②；③；④若且时，则． 正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．分解因式：_____． 12．设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 13．如图，正五边形的边长为6，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为__________． 14．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 15．如图，正方形和正方形的顶点，，，，在长方形的边上．已知，，则长方形的周长为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16．（本小题满分7分）计算：． 17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出满足条件的正整数解． 18．（本小题满分7分）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 19．（本小题满分8分）如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 20．（本小题满分8分）如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 21．（本小题满分9分）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答以下问题； (1)本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整； (2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分； (3)若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人： (4)A等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 22．（本小题满分10分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． (1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象回答，当时，的取值范围为______； (3)轴上有一点，当以点、、、为顶点的四边形的面积为时，求点的坐标． 24．（本小题满分12分）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 25．（本小题满分12分）（1）如图1，在与中，，，连结，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点，点在边上，，求的值． （3）如图3，若，，，，当的值最大时，求的值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A A B C C B 二、填空题 11． 12．2026 13． 14． 15．52 三、解答题 16．【详解】解： ． 17．【详解】解： 解不等式①，得：x＞﹣1， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为＜， 则不等式组的正整数解为1，2． 18．【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 19．【详解】（1）解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 20．【详解】（1）证明：连接 ，并延长交 于 ． ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 是 的半径．， 是 的切线； （2）解：由（1）得 ，，． 四边形 是矩形， ， 在 中，， ， ， ，即 ， 在 中，， 即 ， 解得 的半径 ． 21．【详解】（1）本次抽取的学生人数是（人）， 扇形统计图中A所对应扇形圆心角的度数是， 故答案为40人、36°； B等级人数为（人）， 补全条形图如下： （2）由条形统计图可知众数为：70 由A、B、C的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70 平均数为： （3）等级达到优秀的人数大约有（人）； （4）画树状图为： ∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况， ∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为． 22．【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了， ∴（元） 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球． 23．【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 把，代入得，， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：设， 由得，当时，，当时，， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 24．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 25．【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 即， 故； （2）连接，如图， 设，则， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）以为边在上方作，且，，连接，，，，如图所示， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴当点A，E，D三点共线时，的值最大，最大值为， 在中，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $