精品解析：2025年山东省济南泉景中学九年级中考打靶测试数学试题

济南泉景中学九年级中考打靶测试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若a的相反数等于2，则a是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵a的相反数等于2， ∴， 故选：B． 2. 下面几何体是由4个小正方体搭成的，这个几何体从左面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，“从左面看得到的图形是左视图”是解题关键． 根据从左面看得到的图形是左视图，即可求解． 【详解】解：由题意，从左面看第一层是1个小正方形，第二层是一个小正方形，则可知A选项符合题意． 故选：A． 3. 2024中国甲辰（龙）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，成色，最大发行量枚，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，首先根据得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理． 【详解】∵， ∴ ∵ ∴． 故选：A． 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意可得：，再根据一元二次方程根判别式即可判定． 【详解】解：， ， 关于x的一元二次方程的根的情况为有两个实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 8. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及两瓶溶液恰好都变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有：，，共2种， 两瓶溶液恰好都变红色的概率为． 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 证明四边形是菱形，利用勾股定理即可得的长，求出菱形的面积,根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：C 10. 新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解题的关键；过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F，分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q，则可得，得；求出“永恒点”B及点P的坐标，从而可求得点E、F的坐标，则可求得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F， 则； 分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q， 则，， ∴， ∴， 即； 令，解得：， ∴； 当时，，即； ∴； 而抛物线的对称轴为直线， 当时，，即；当时，，即； ∴； ∴； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若分式的值为0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为0的条件．分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0．因此需要先解分子等于0的方程，再排除使分母为0的解． 【详解】解：分式的值为0， 且． 解得． 故答案为∶． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．据此求解即可． 【详解】解：由题意，和以原点O为位似中心，相似比为， ∵， ∴点A的对应点的坐标是或， 即或， 故答案为：或． 13. 如图，正六边形的边长为，以对角线为直径作圆．则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，，根据勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 六边形为正六边形， ，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留， 再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地的距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的关系式，一次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求一次函数的关系式是解答本题的关键． 利用待定系数法分别求出大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式、小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式，当两车相遇时，两函数值相等，据此列关于的方程并求解即可． 【详解】解：设大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：（为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得：， 大客车距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：， 由题意可知，当时，小轿车从乙地返回到达甲地， 设小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：（、为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得：， 小轿车从乙地返回甲地的过程中距甲地的距离与所用的时间的函数关系式为：， 当在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，得， 解得：， 在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则． 17. 解不等式组并写出它的所有非负整数解． 【答案】-2≤x<2，非负整数解为：0、1 【解析】 【分析】考查一元一次不等式组的解法，继而可得整数解。 详解】解：解不等式5x-13(x+1)得：x2, 解不等式 1得：x-2， 不等式组解集是-2x2, 原不等式组的所有非负整数解为：0、1 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，求得不等式组的解集是解题的关键． 18. 如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质及全等三角形的判定得出，，再结合菱形的性质即可得结论． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ， ， 在与中 ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了菱形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 19. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案； （2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出的值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度． 【小问1详解】 解：在中，， 答：此时的长约为5cm； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 在中，， ， ∴， 在中，， 答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆切线的判定、圆周角定理、解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 在中国共产主义青年团成立100周年时，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）被随机抽取的学生总人数是______； （2）直接将直方图补充完整； （3）“一般”对应的百分比______，“优秀”对应的百分比______； （4）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是______，众数是______； （5）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数． 【答案】（1）50 （2）15 （3）； （4）95，94 （5）约160人 【解析】 【分析】此题考查了频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数、用样本估计总体等知识， （1）用“较差”的人数除以其百分比，可求出被调查的总人数； （2）求出“一般”的人数，即可求解； （3）分别用“一般”、 “优秀”的人数除以被调查的总人数，即可求解； （4）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可； （5）用1000乘以优秀”的人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：被随机抽取的学生总人数是人； 故答案为：50． 【小问2详解】 解：“一般”的人数为人， 将直方图补充完整，如下： 【小问3详解】 解：“一般”对应的百分比； “优秀”对应的百分比； 故答案为：；． 【小问4详解】 解：将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100， 所以其中位数为， 出现次数最多的是94， 故众数为94， 故答案为：95，94； 【小问5详解】 解：人； 即该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数为160人． 22. 为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． （1）甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ （2）长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 【答案】（1）甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备，根据题意列出不等式，求出的解集，设污水处理设备占地的面积为，根据题意列出与的关系式，再利用一次函数的性质求出的最大值即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种污水处理设备每套万元，则乙种污水处理设备每套万元， 由题意得，， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， 则， 答：甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元． 【小问2详解】 解：设购买套甲种污水处理设备，则购买套乙种污水处理设备， 由题意得，， 解得：， 是整数， ， 设污水处理设备占地的面积为， 由题意得，， ， 中随着的增大而增大， 当时，有最大值， 答：安装这20套污水处理设备占地的最大面积是． 23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图1，过点的直线分别与轴，反比例函数的图象（）交于点，，且，连接，求的面积； （3）如图2，点在另一条反比例函数（）的图像上，点在轴正半轴上，连接交该反比例函数图像于点，且，再连接，，若此时四边形恰好为平行四边形，求的值． 【答案】（1）的函数表达式为，点B的坐标为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点A作轴交x轴于点H，交过点N垂直y轴的直线与点G，设直线与x轴交于点K，先根据平行线分线段成比例得到点N的纵坐标为代入求出点N的坐标，然后求出直线的解析式，解出与x轴交点M的坐标，然后根据解题即可； （3）根据平行设直线的解析式为，然后得到点C的坐标，由平移得到点D的坐标，然后利用相似三角形的判定和性质得到点E的坐标，然后根据题意列方程解题即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得，解得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得：或， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：过点A作轴交x轴于点H，交过点N垂直y轴的直线与点G，设直线与x轴交于点K， 则， ∴， ∵， ∴， ∴点N的纵坐标为 当，， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为：，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， 令，则，解得， ∴点M的坐标为， 令，则，解得， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵为平行四边形， ∴，， 设的解析式为， 令，则，解得：， ∴点C的坐标为， 根据平移可得点D的坐标为， 过点E作轴于点P，点D作轴于点Q， 则， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∴点E的坐标为， 又∵点D和点E在同一曲线上， ∴， 解得：，． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标． 【答案】（1）y＝−x2＋2x＋8；（2）存在，P（1，）或（1，−）或（1，16）或（1，）；（3）当△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）． 【解析】 【分析】（1）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）可设出P点坐标，则可表示出PC、PD和CD的长，分PD＝CD、PC＝CD、PD＝PC三种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标； （3）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出EF的长，可表示出△CBF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标． 【详解】解：（1）∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）在抛物线上，则 解得 ∴抛物线解析式为y＝−x2＋2x＋8； （2）存在，理由： ∵y＝−x2＋2x＋8＝−（x−1）2＋9， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∴D（1，0），且C（0，8）， ∴CD＝， ∵点P在对称轴上， ∴可设P（1，t）， ∴PD＝|t|，PC＝， ∵CD＝ ∴当PD＝CD时，则有|t|＝，解得t＝±， 此时P点坐标为（1，）或（1，−）； 当PC＝CD时，则有=解得t＝0（与D重合，舍去）或t＝16， 此时P点坐标为（1，16）； 当PD＝PC时，则有|t|=解得t＝， 此时P点坐标为（1，） 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，）或（1，−）或（1，16）或（1，）； （3）∵C（0，8），B（4，0） 设直线BC解析式为y＝kx＋s，由题意可得 解得 ∴直线BC解析式为y＝−2x＋8， ∵点E是线段BC上的一个动点， ∴可设E（m，−2m＋8），则F（m，−m2＋2m＋8）， ∴EF＝−m2＋2m＋8−（−2m＋8）＝−m2＋4m， ∴S△CBF＝×OB×EF＝×4×（−m2＋4m）=−2（m−2）2＋8， ∵−1＜0， ∴当m＝2时，S△CBF有最大值，最大值为8， 此时E（2，4）， ∴当△CBF的面积最大，最大面积为8，此时E点坐标为（2，4）． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出PC、PD、PC是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出△CBF的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 25. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①见解析②（2）（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①由证明，可得结论； ②先求出，利用全等得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由勾股定理建立方程即可求出答案． 【详解】（1）①证明：四边形正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； ②四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在为直径的圆上， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①当在线段上时，由（2）知：， ， ， M为斜边的中点， ， 由（2）知， ， ， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， ， 或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 济南泉景中学九年级中考打靶测试数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若a的相反数等于2，则a是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下面几何体是由4个小正方体搭成的，这个几何体从左面看到的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 2024中国甲辰（龙）年金银纪念币共13枚，其中15克圆形银质纪念币为精制币，成色，最大发行量枚，数字用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 4. 如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 30 5. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 当时，关于x的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 8. 通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸（呈酸性），B：硝酸钾溶液（呈中性），C：氢氧化钠溶液（呈碱性），D：氢氧化钾溶液（呈碱性）．小周将任选的两瓶溶液滴入酚酞溶液进行检测，则两瓶溶液恰好都变红色的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 10. 新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 若分式值为0，则______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的，则点A的对应点A′的坐标是________． 13. 如图，正六边形的边长为，以对角线为直径作圆．则图中阴影部分的面积为_________． 14. 一辆大客车和一辆小轿车同时从甲地出发去乙地，匀速而行，大客车到达乙地后停止，小轿车到达乙地后停留， 再按照原速从乙地出发返回甲地，小轿车返回甲地后停止，已知两车距甲地距离与所用的时间的关系如图所示．在小轿车从乙地返回甲地的过程中，当两车相遇时，两车出发了______． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出它的所有非负整数解． 18. 如图，四边形是菱形，于点E，于点F．求证：． 19. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 20. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：与相切； （2）若，求的面积． 21. 在中国共产主义青年团成立100周年时，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用表示），其中记为“较差”，记为“一般”，记为“良好”，记为“优秀”，绘制了如下不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 根据统计图提供的信息，回答如下问题： （1）被随机抽取的学生总人数是______； （2）直接将直方图补充完整； （3）“一般”对应的百分比______，“优秀”对应的百分比______； （4）已知这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是______，众数是______； （5）若该校共有1000人，估计该校学生对团史掌握程度达到“优秀”的人数． 22. 为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少，用360万元单独购买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地，一套乙种设备需占地． （1）甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？ （2）长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图1，过点的直线分别与轴，反比例函数的图象（）交于点，，且，连接，求的面积； （3）如图2，点在另一条反比例函数（）的图像上，点在轴正半轴上，连接交该反比例函数图像于点，且，再连接，，若此时四边形恰好为平行四边形，求的值． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）． （1）求抛物线解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求△CBF的最大面积及此时点E的坐标． 25. 综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$