2026年山东济南市初中学业水平数学考试第二次全真模拟考试押题卷

**基本信息** 2026年济南中考数学全真模拟押题卷，以文化传承（如《九章算术》凫雁相遇问题）、现实应用（如电商助农进货、电子限速检测）为情境，融合抽象能力、推理意识与数据意识，全面覆盖初中数学核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、图形变换、三视图、方程应用|第4题结合《九章算术》考查相遇问题，体现文化传承| |填空题|5/20|因式分解、根与系数关系、正六边形性质、扇形面积、菱形动点最值|第15题以菱形动点探究最小值，培养几何直观| |解答题|10/90|统计与概率、函数综合、圆的切线、二次函数与几何、正方形折叠|第25题通过折叠问题的观察猜想-类比探究-拓展应用，发展创新意识与推理能力|

2026年山东省济南市初中学业水平数学考试第二次全真模拟考试押题卷 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共25小题，考试时间120分钟，满分150分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．如图，数轴上点表示的数的相反数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 3．如图所示几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 5．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（   ） A．130° B．140° C．150° D．160° 6．“五·一”节假日，小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座．若由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（   ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（　　）灯． A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 8．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 10．如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③是钝角三角形；④若方程的两根为、，则，．其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．分解因式：_____． 12．已知α，β是一元二次方程的两根，则的值是____． 13．如图，蜂巢的横截面由边长都相等的正六边形组成，为顶点，则的值为_______． 14．如图，扇形中，，点C，D分别在和弧上，连接，，若点D是点O关于直线的对称点，，则图中阴影部分的面积为______． 15．如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______． 三、解答题（本大题共10小题，共计90分，解答题要有必要的文字说明） 16．（本小题满分7分）计算：． 17．（本小题满分7分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．（本小题满分7分）如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、． 求证：． 19．（本小题满分8分）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）． (1)求电线杆的高度； (2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：） 20．（本小题满分8分）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 21．（本小题满分9分）横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 22．（本小题满分10分）某电商助农平台为推广地方特色农产品，计划购进“A县有机小米（甲商品）”和“B县特产红枣（乙商品）”两种产品．已知A县有机小米的单价比B县特产红枣的单价少20元，用3000元购进有机小米的数量与用4000元购进特产红枣的数量相同．平台将有机小米定价为每件100元，特产红枣定价为每件130元． (1)求有机小米、特产红枣的购进单价各是多少元？ (2)平台计划购进两种商品共150件，其中有机小米的数量不低于特产红枣数量的2倍，且全部售出后总利润不低于6480元，问平台有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，平台决定对有机小米进行促销价格调整，每件变动元（可正可负），特产红枣售价不变．若要使所有可行的进货方案获利都相同，请直接写出的值． 23．（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求出反比例函数的表达式和点的坐标； (2)取第二象限内反比例函数上一点（点在点右侧、直线上方），连接，当的面积为30时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，点为第四象限内反比例函数图象上的一个动点．连接，其中与轴、轴分别交于点M、P，与轴、轴分别交于点N、Q．试问是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 24．（本小题满分12分）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 25．（本小题满分12分）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3） 在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A C B B D B D 二、填空题 11． 12．0 13． 14． 15． 三、解答题 16．【详解】解： ； 17．【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有正整数解为． 18．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠ADC=∠ABC， ∴∠CDF=∠CBE， 在△BEC和△DFC中， ， ∴△BEC≌△DFC（SAS）， ∴CE=CF． 19．【详解】（1）解：由题意知， ∴， 在中，， 答：电线杆的高度为8米； （2）解：不超速，理由如下 过D作于F，于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设， ∵坡比， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得，即， ∴ ∴， 而， 所以该汽车不超速． 20．【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ． 21．【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）补全频数分布直方图如下： （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 22．【详解】（1）解：特产红枣的单价为元，则有机小米的单价为元， 根据题意得，， 解得， 经检验是方程的解， 则， 答：有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元； （2）解：购买特产红枣件，则有机小米件， 根据题意得，， 解得， 为正整数， 或或， 则方案一购买特产红枣48件，则有机小米102件； 方案二购买特产红枣49件，则有机小米101件； 方案三购买特产红枣50件，则有机小米100件； 故商品共有三种购买方案； （3）解：设商品总获利为元， ， 所有进货方案获利都相同， 的取值与无关，则的系数为0， ， 即答案为： 23．【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将C、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令，则 解得， 即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 24．【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 25．【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司 $