第八单元 数学广角—找次品（易错题单元自检）数学人教版五年级下册

**基本信息** 聚焦“数学广角—找次品”单元核心，通过真实情境与梯度问题巩固逻辑推理，适配单元复习自检，培养学生运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|10/20|10-50个物品找次品次数|结合端午粽子、“冰墩墩”等文化与社会热点情境| |判断题|5/10|次品次数判断（如26枚金币称4次）|强化对最优策略的理解| |选择题|5/10|不同数量物品最少次数及分法|考查分法合理性（如6个球分法选择）| |解答题|10/60|复杂数量（823个零件）、逆向问题（已知次数求物品数量范围）|分层设计，从基础操作到创新应用，发展逻辑推理与模型意识|

第八单元 数学广角—找次品（易错题单元自检） 一、填空题（共20分） 1．（2分）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称（ ）次就能保证把轻的那袋找出来。 【答案】3 【分析】有10袋白糖，其中一袋比500g轻，根据寻找次品的最优策略，可以将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋三份进行称重，找出次品。 【解答】将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋。 第一次称量：在天平两端各放3袋白糖，平衡则次品在剩余4袋里面，如果不平衡则次品在轻的这边。 第二次称量：把3袋白糖平均分成3份，取两份分别放在天平两端，如果平衡，则剩余那袋为次品；如果不平衡，则轻的是次品；把4袋白糖平均分成2份，分别放在天平的两端，次品在轻的这边。 第三次称量：把2袋白糖分别放在天平的两端，则次品是轻的那一边。 所以用天平称至少称3次就能保证把轻的那袋找出来。 2．（2分）在10袋碘盐中有一袋的质量不够，但外观看起来都一样，若用天平来称，最少称（ ）次就一定能找出质量不够的那一袋。 【答案】3 【分析】由题意可知，次品比正品轻，把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上升的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【解答】分析可知： 由上可知，最少称3次就一定能找出质量不够的那一袋。 3．（2分）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称（ ）次才能保证找出次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成2份或3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【解答】有10件物品，其中有一件是次品，比其它略重。 第一次称重：先分成两份，天平两边各放5件，次品在较重的5件中； 第二次称重：把5件分成2件，2件和1件，天平两边各放2件，①若天平平衡，则次品就是剩下的1件；②若天平不平衡，次品就在较重的那2件中； 第三次称重：把较重的2件分成两份，天平两边各放1件，次品就是较重的1件。 10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称3次才能保证找出次品。 4．（2分）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称（ ）次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。据此解答。 【解答】将10盒牛奶片分为三组，分别为3盒、3盒和4盒。 第一次称重：选择两组各3盒的牛奶片进行称重。 情况A：如果两边平衡，则说明其中的6盒牛奶片都是正常的，少了4片的那盒牛奶片一定在未被称重的那组4盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少了4片的那盒牛奶片一定在较轻的那组3盒里。 第二次称重： ①对于情况A，从未称重的4盒牛奶片中分为两组各2盒，然后进行称重。较轻的那组2盒里就有少了4片的那盒牛奶片。 ②对于情况B，从已经确定包含次品的那组3盒牛奶片中取出2盒进行称重。如果两边平衡，说明未被称重的那1盒是少了4片的；如果不平衡，较轻的那1盒就是少了4片的。 第三次称重： ①对于情况A中确定的那组2盒牛奶片，再次将这两盒放在天平的两端，较轻的那一盒就是少了4片的。 因此，至少称3次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 5．（2分）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找到这个轻一些的粽子。 【答案】3 【分析】称第一次：把15个分成（5，5，5），天平两边各放5个，出现两种情况：平衡，轻一点的粽子在未称的5个里面；不平衡，轻一些的粽子在天平翘的高的那一端； 称第二次：把5个分成（2，2，1），天平两边各放2个，出现的情况：平衡，轻一些的粽子就是未称的粽子；不平衡，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端； 称第三次：把2个分成（1，1）天平两边各放一个，轻一些的粽子就在天平翘的高的那一端。 【解答】由分析可知：端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称3次才能保证找到这个轻一些的粽子。 6．（2分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的24个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【解答】把24个网球平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较重的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个网球分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品就是剩下的那2个；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个网球分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，次品就是较重的那1个，天平平衡，次品就是剩下的那一个。所以至少称3次保证能找出次品。 7．（2分）有8个小铅球（外观完全相同），其中7个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称（ ）次就一定能找出这个次品小铅球。 【答案】2 【分析】找次品时把物品数量分成尽可能平均的三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【解答】把8个小铅球分成3份，即（3，3，2）；第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的3个小铅球平均分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那个；如果天平平衡，次品就是剩下的那个；所以至少称2次就一定能找出这个次品小铅球。 8．（2分）“双减”之后体育器材需求增加，温州体育用品厂生产的15个羽毛球，有一个轻一些，用天平称，至少称（ ）次一定能把有问题的球找出来。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】经分析得： 将15个分成3份：5，5，5；第一次称重，在天平两边各放5个，手里留5个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5个分为2，2，1，在天平两边各放2个，手里留1个， ①如果天平平衡，则次品在手里1个中； ②如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的2个中。 接下来，将这2个分成2份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的5个中，将这5个分成三份：2，2，1，在天平两边各放2个，手里留1个， ①如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘的2个中， 接下来，将这2个分成2份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的1个中。 至少称3次一定能把有问题的球找出来。 【点睛】本题考查了找次品的问题，要注意尽可能的均分成3份。 9．（2分）有50个5角的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少（ ）次才能找出这个假币。 【答案】4 【分析】把50个硬币平均分成3组：16个，17个，17个，第一次称，天平两端各放17枚，如果天平不平衡，假币在较轻的17枚中，如果天平平衡，假币在没放上天平的16枚中；第2次把含有假币的17枚（或16枚）硬币分为6、6、5（或6、5、5）枚三组，把枚数相同的两组分别放天平两端，如果天平不平衡，假币在较轻的一端，如果天平平衡，假币在没放上天平的一组中；第3次把含有假币的6枚（或5枚）硬币分为2、2、2（或2、2、1）枚三组，天平两端各放2枚，如果天平不平衡，则假币在较轻的两枚中，如果天平平衡，则假币在没放上天平的2枚（或1枚）中；第4次把含有假币的2枚硬币分别放在天平的两端，较轻的一枚就是假币。 【解答】有50个5角的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少4次才能找出这个假币。 【点睛】本题考查找次品，解答本题的关键是掌握找次品的解答方法。 10．（2分）社区负责人李叔叔为了表彰八个抗疫小勇士，他买了八个“冰墩墩”分别编上了字母序号A～H送给他们。其中有6个“冰墩墩”都是重200克，另外两个“冰墩墩”都是重198克。李叔叔用天平称了三次，结果第一次A＋B比C＋D重；第二次E＋F比G＋H轻；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，那么重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为（ ）和（ ）。 【答案】D E 【分析】根据题意，第一次A＋B比C＋D重，说明C、D中有一个重198克的“冰墩墩”；第二次E＋F比G＋H轻，说明E、F中有一个重198克的“冰墩墩”；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，说明A、C、E和B、D、H两组中各有一个重198克的“冰墩墩”。结合前两次的推论，B、D、H三者中，D重198克，那么C重200克，则A、C、E中E重198克。 【解答】通过分析可知，重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为D和E。 【点睛】本题考查找次品问题。根据每次称重结果，确定重198克的“冰墩墩”编号所在的范围是解题的关键。 二、判断题（共10分） 11．（2分）有26枚金币，有一枚金币较轻，是次品，用天平至少称4次才能保证找出这枚次品金币。（ ） 【答案】× 【分析】把26枚金币平均分成3份，即（9，9，8）。第一次称，天平两边各放9枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的9枚中；如果天平平衡，次品在剩下的8枚中；考虑最不利因素，次品在数量多的里面，把有次品的9枚金币平均分成3份，每份是3枚，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的3枚中；最后把有次品的3枚金币分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1枚；如果天平平衡，次品就是剩下的那1枚。所以至少称3次保证能找出这枚次品金币。 【解答】 用天平至少称3次才能保证找出这枚次品金币。 原题说法错误。 故答案为：× 12．（2分）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。（ ） 【答案】× 【分析】把9瓶药平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就在天平翘起的3瓶中；如果天平平衡，较轻的药品在剩下的3瓶中；再把有较轻药品的3瓶药分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就是天平翘起的那一瓶；如果天平平衡，较轻的药品是剩下的那1瓶。所以至少称2次就能保证把这瓶找出来。 【解答】 有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称2次就能保证把这瓶找出来。 原题说法错误。 故答案为：× 13．（2分）有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。（ ） 【答案】√ 【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】将6个羽毛球分成（2，2，2），取其中两组各2个称量。无论平衡不平衡，都可确定次品在其中2个；将2个分成（1、1），再称一次即可确定次品，共2次，所以原题说法正确。 故答案为：√ 14．（2分）有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。（ ） 【答案】× 【分析】根据题意，由于只有1个质量稍轻的次品，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的都是正品，据此即可解答。 【解答】由分析得： 因为①＋②＜③＋④ 所以次品在①和②中，③④⑤都是正品。 因此根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查找次品的方法，根据天平作出判断是关键。 15．（2分）81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。（ ） 【答案】× 【分析】第一次：把81瓶口香糖分成（27、27、27）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品； 第二次：把有次品的27瓶分成（9、9、9）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品； 第三次：把含有次品的那一组再分为（3、3、3）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品； 第四次：把含有次品的那一组再分为（1、1、1）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平较高端的那一组里有次品。 【解答】由分析可知：要找出81瓶中那瓶略轻的口香糖，如果用天平称，至少称4次能保证找出这瓶略轻的口香糖。 故答案为：× 【点睛】本题考查找次品问题，明确把待测物品尽量平均分成三份是解题的关键。 三、选择题（共10分） 16．（2分）有4个大小、颜色均相同的球，其中只有一个是次品（质量不同）。小东称了3次，根据称球情况，可知次品球是（      ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 【答案】A 【分析】依据是：天平平衡时，两边物品质量相等；不平衡时，下沉一侧质量更大。我们可以根据三次称量的结果，逐步排除正品，锁定次品。 【解答】第一次称量：①号＋②号与③号＋④号不平衡。 由于不知道次品的轻重无法确定是上翘的是次品还是下沉的是次品，只能确定次品在①号和②号或者③号和④号中任意一个。 第二次称量：①号与②号不平衡。 说明次品在①号和②号中其中的一个。 第三次称量：③号与②号平衡。 说明②号和③号是正品，结合第二次的结论，①号也必然是次品。 综上，次品球是①号球 故答案为：A 【点睛】利用天平平衡原理，通过三次称量的结果逐步缩小范围，最终锁定次品。 17．（2分）有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称（    ）次才能保证找出这瓶维生素C。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】找次品的核心是尽可能平均分组，利用天平的平衡逻辑缩小范围： 第一次称：将19瓶分成6、6、7三组，称6和6。若平衡，次品在7瓶中；若不平衡，次品在轻的6瓶中。 第二次称：若次品在6瓶中：分成2、2、2三组，称其中两组，若不平衡，次品在轻的2瓶中，若平衡，次品在未称的2瓶中；若次品在7瓶中：分成2、2、3三组，称2和2，若不平衡，次品在轻的2瓶中，若平衡，次品在未称的3瓶中。 第三次称：若次品在2瓶中：称这2瓶，轻的是次品；若次品在3瓶中：称其中2瓶，平衡则剩下的是次品，不平衡则轻的是次品。 所以至少需要称3次才能保证找出这瓶维生素C。 【解答】有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称3次才能保证找出这瓶维生素C。 故答案为：C 18．（2分）有41瓶口香糖，其中有一瓶少4粒，要确保找出较轻的那一瓶口香糖，用天平至少要秤（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】第一次分组称量，把41瓶口香糖分成14瓶、14瓶、13瓶三份。把两份14瓶的分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那瓶在未取的13瓶中；若不平衡，则较轻的那瓶在天平秤较高端的14瓶中。 第二次分组称量，若较轻的在14瓶中，把14瓶分成5瓶、5瓶、4瓶三份。把两份5瓶的分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那瓶在未取的4瓶中；若不平衡，则较轻的那瓶在天平秤较高端的5瓶中。 若较轻的在13瓶中，把13瓶分成4瓶、4瓶、5瓶三份。把两份4瓶的分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的那瓶在未取的5瓶中；若不平衡，则较轻的那瓶在天平秤较高端的4瓶中。 第三次分组称量，若较轻的在5瓶中，把5瓶分成2瓶、2瓶、1瓶三份。把两份2瓶的分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取的那瓶就是较轻的；若不平衡，则较轻的那瓶在天平秤较高端的2瓶中，再称一次就能找出。 若较轻的在4瓶中，把4瓶分成2瓶、2瓶两份，放在天平秤两端，较轻的那瓶在天平秤较高端的2瓶中，再称一次就能找出。 【解答】第一次：分14瓶、14瓶、13瓶三份，称14瓶和14瓶，确定较轻的在哪一份14瓶或13瓶； 第二次：把有较轻的那份再分，如在14瓶中，则分成5瓶、5瓶、4瓶称，如在13瓶中，则分成4瓶、4瓶、5瓶称，称后缩小范围到4或5瓶； 第三次：如在4瓶中，分成2瓶、2瓶称，如在5瓶中，分成2瓶、2瓶、1瓶称； 第四次：能确定较轻的那瓶。 要确保找出较轻的那一瓶口香糖，用天平至少要秤4次。 故答案为：D 19．（2分）科学实验课上，老师带来6个外观完全相同的小球，其中一个质量稍轻（次品）。同学们用天平称，要保证2次能找出次品小球，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，（2，2，2） B．分成3份，（1，2，3） C．分成3份，（1，1，4） D．分成4份，（1，1，2，2） 【答案】A 【分析】根据找次品问题的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】把6个小球分成2、2、2三份。 第一次称：把其中两份分别放在天平秤两端，如果天平平衡，则次品在未取的那2个中；如果天平不平衡，则次品在天平轻的一端的2个中。第二次称：取有次品的那2个，分别放在天平秤两端，轻的一端就是次品。所以这种分法能保证2次找出次品。 故答案为：A 20．（2分）有16瓶饮料，其中有1瓶多装了4mL，用天平称，至少称（    ）次就能保证找出这瓶多4mL的饮料。 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】由题意可知，次品比正品重，把称重物品分成尽可能平均的三组，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平下沉的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程得出称重次数，据此解答。 【解答】 综上所述，至少称3次就能保证找出这瓶多4mL的饮料。 故答案为：D 四、解答题（共60分） 21．（6分）有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 【答案】7次 【分析】找次品时尽量把总数平均分成3份，如果不能平均分，也要使多或少的那份比其它的少1或多1；这样称1次就能把次品所在的范围缩小到最少。找出次品称的次数也会最少。此题数据较大，我们可以根据规律：当所测的物品的个数3n－1＋1≤物品的数量≤3n（n≥1）时，所称次数至少为n次。 【解答】因为36＝729，37＝2187 36＜823＜37 答：至少称7次就一定能找出这个次品。 22．（6分）某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 【答案】3次 【分析】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【解答】18分成（6，6，6），把任意两组的放在天平上称，考虑最不利原则，可找出有次品的一组；再把有次品的一组6分成（2，2，2）放在天平上称，可找出有次品的一组；再把2分成（1，1），放在天平上称，可找出次品；共需3次。 答：至少称3次能保证找出这人羽毛球。 23．（6分）有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你能用天平找出来吗？ 【答案】能 【分析】在3袋白糖中有2袋重量相同，称这两袋时天平平衡；剩下一袋不知道重还是轻但一定与另外两袋重量不相同，天平上有这袋时天平不平衡。 【解答】将3袋白糖分别编号①、②、③； 把①、②放在天平两端，若天平平衡，则③是重量不同的一袋； 若天平不平衡，则重量不同的一袋在①或②中； 再将①与③放在天平两端，若平衡，则②是重量不同的一袋； 若不平衡，则①是重量不同的一袋。 答：我能用天平找出来，方法如上。 24．（6分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 【答案】3次，过程见详解 【分析】找次品中，可将11个沙包分为4、4、3共3份，在天平上称相同数量的，如果平衡则在3个沙包一份，再重复上述操作直到天平不平衡时，向上的一端的沙包是轻的。如果第一次称天平不平衡，则较轻的沙包在向上的一端的四个沙包中；再将它分成2、2共两份，再进行上述操作，要进行三次称量得出。 【解答】至少需要称量3次； 过程：将11个分成3份：4，4，3；第一次称重，在天平两边各放4个，手里留3个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的3个分为1，1，1，在天平两边各放1个，手里留1个， a.如果天平平衡，则次品在手里； b.如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘中； （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的4个中，将这4个中的2个在天平两边各放1个，手里留2个， a.如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘中； b.如果天平平衡，则次品在手中的2个中，接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 故至少称3次能保证找出次品。 【点睛】本题主要考查的是找次品的方法，解题的关键是熟练掌握找次品的方法，进而得出答案。 25．（6分）在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？ 【答案】5次 【分析】根据找次品的方法，将玻璃球不断分堆称重，逐渐缩小次品所在的范围，直到找出超重的玻璃球。 【解答】第一次：将100个玻璃球分成3堆，前两堆各33个，后一堆34个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第二次：将含有超重球的34个球分成3堆，前两堆各11个，后一堆12个，将前两堆分别放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第三次：将含有超重球的12个球分成3堆，每堆4个，任选两堆放在天平两端，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第四次：将含有超重球的4个球平均分成两堆，每堆2个，如果平衡，那么超重的球在未称重的一堆中，如果不平衡，那么哪端较重哪端就含有超重球； 第五次：将含有超重球的2个球放在天平两端，哪端较重哪端就是超重的球。 答：最少称5次，就一定能把这个超重的球找出来。 【点睛】本题考查了找次品，会利用天平找次品是解题的关键。 26．（6分）已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 【答案】10个；27个 【分析】利用找次品的公式：当物品个数最多为时，n次即可找到这个次品，所以利用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数为（3²＋1）~3³个，据此解答即可。 【解答】3²＋1 ＝9＋1 ＝10（个）； 3³＝27（个）； 答：这堆物品最少有10个，最多有27个。 【点睛】熟记找次品的公式是解答本题的关键。 27．（6分）现有A、B、C、D四袋奶糖，A袋最重，C袋最轻．试用无砝码的天平称一次，将四袋奶糖按照从轻到重的顺序排一排，说说你是怎样称量的． 【答案】把B、D两袋奶糖放在天平上称一次，如果D袋比B袋轻，那么按照从轻到重的顺序排列依次为：C＜D＜B＜A；如果D袋比B袋重，那么按照从轻到重的顺序排列依次为：C＜B＜D＜A 【解答】略 28．（6分）有A、B、C三个金属球，它们的质量关系是：C＜B＜A．另外一个球D．试用没有砝码的天平秤几次就能确定这四个金属球的排序（A、B、C、D这四个球的质量没有相同的）？请说出你的称法． 【答案】2次．将D与B比较，如果比B轻，再将D与C比较即可知道四个金属球的排序；如果比B重，再将D与A比较也可知道四个金属球质量的排序． 【解答】略 29．（6分）有一盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平秤，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？ 【答案】9个（答案不唯一） 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。据此解答即可。 【解答】根据天平平衡原理， （1）如果有3个球，最少需要1次能够找出次品：把3分成1、1、1，在天平两边各放1个，平衡，剩下的是次品，不平衡，下降的一方是次品；如果此时再多出1个球则最少需要2次才能找出次品； （2）若有3×3＝9个球，则最少需要2次找出次品：把9分成3、3、3，在天平两边各放一份，平衡，剩下的一份中有次品；不平衡，次品在下降的一边，再按照上面（1）的方法进行二次测量即可；如果此时再多出1个球则最少需要3次才能找出次品。 综上，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球，乒乓球的个数可能是4~9之间的任意一个数，所以这盒乒乓球可能有9个。 答：这盒乒乓球可能有9个。（答案不唯一） 30．（6分）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【分析】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【解答】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【点睛】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角—找次品（易错题单元自检） 一、填空题（共20分） 1．（2分）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称（ ）次就能保证把轻的那袋找出来。 2．（2分）在10袋碘盐中有一袋的质量不够，但外观看起来都一样，若用天平来称，最少称（ ）次就一定能找出质量不够的那一袋。 3．（2分）10件物品，其中一件是次品（略重些），用天平称至少要称（ ）次才能保证找出次品。 4．（2分）小黄买了10盒牛奶片，其中1盒少了4片。至少要称（ ）次才能保证找出这盒质量不足的牛奶片。 5．（2分）端午节，是我国四大传统节日之一，也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕，小惠妈妈一共包了15个板栗肉粽，其中一个粽子没有放板栗，比其他粽子轻一些，如果用天平称，至少要称（ ）次才能保证找到这个轻一些的粽子。 6．（2分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的24个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品。 7．（2分）有8个小铅球（外观完全相同），其中7个质量相同，另有1个次品略轻一些，至少称（ ）次就一定能找出这个次品小铅球。 8．（2分）“双减”之后体育器材需求增加，温州体育用品厂生产的15个羽毛球，有一个轻一些，用天平称，至少称（ ）次一定能把有问题的球找出来。 9．（2分）有50个5角的硬币，其中有一枚是假币，它的质量比真币轻，如果用天平称，至少（ ）次才能找出这个假币。 10．（2分）社区负责人李叔叔为了表彰八个抗疫小勇士，他买了八个“冰墩墩”分别编上了字母序号A～H送给他们。其中有6个“冰墩墩”都是重200克，另外两个“冰墩墩”都是重198克。李叔叔用天平称了三次，结果第一次A＋B比C＋D重；第二次E＋F比G＋H轻；第三次A＋C＋E和B＋D＋H一样重，那么重198克的两个“冰墩墩”的字母编号分别为（ ）和（ ）。 二、判断题（共10分） 11．（2分）有26枚金币，有一枚金币较轻，是次品，用天平至少称4次才能保证找出这枚次品金币。（ ） 12．（2分）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。（ ） 13．（2分）有6个羽毛球（外观完全相同），其中5个质量相等，另外1个次品略重一些，至少称2次就一定能找出这个次品羽毛球。（ ） 14．（2分）有①、②、③、④、⑤5个零件，其中有1个质量稍轻的次品。根据下图可以推断出②③④⑤号零件一定不是次品。（ ） 15．（2分）81瓶口香糖中混有1瓶略轻的口香糖，用天平称，至少称5次一定可以找到那瓶略轻的口香糖。（ ） 三、选择题（共10分） 16．（2分）有4个大小、颜色均相同的球，其中只有一个是次品（质量不同）。小东称了3次，根据称球情况，可知次品球是（      ）。 A．1号球 B．2号球 C．3号球 D．4号球 17．（2分）有19瓶维生素C，其中18瓶质量相同，另有1瓶少了3粒。用天平称，至少需要称（    ）次才能保证找出这瓶维生素C。 A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2分）有41瓶口香糖，其中有一瓶少4粒，要确保找出较轻的那一瓶口香糖，用天平至少要秤（    ）次。 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2分）科学实验课上，老师带来6个外观完全相同的小球，其中一个质量稍轻（次品）。同学们用天平称，要保证2次能找出次品小球，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，（2，2，2） B．分成3份，（1，2，3） C．分成3份，（1，1，4） D．分成4份，（1，1，2，2） 20．（2分）有16瓶饮料，其中有1瓶多装了4mL，用天平称，至少称（    ）次就能保证找出这瓶多4mL的饮料。 A．6 B．5 C．4 D．3 四、解答题（共60分） 21．（6分）有823个零件，其中混进了一个比合格品轻一些的次品，如果给你一架天平，你至少称多少次就一定能找出这个次品？ 22．（6分）某工厂生产的18个羽毛球中有一个重一些，这样的球会影响运动员的比赛水平。用天平称，至少称几次能保证找出这个羽毛球？ 23．（6分）有3袋白糖，其中2袋每袋500克，另1袋不是500克，但不知道比500克重还是轻。你能用天平找出来吗？ 24．（6分）为了加强体育训练，五（1）班新购进了11个沙包，其中有一个沙包略轻。用天平至少称几次才能保证找出这个质量较轻的沙包？请你用合适的方法描述出过程。 25．（6分）在100个玻璃球中，有一个比其他的99个重，其他99个同样重。现有一架等臂天平，最少称多少次，就一定能把这个超重的球找出来？ 26．（6分）已知一堆物品中有1个次品（比正品轻），如果至少称3次就能保证找出这个次品，那么这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 27．（6分）现有A、B、C、D四袋奶糖，A袋最重，C袋最轻．试用无砝码的天平称一次，将四袋奶糖按照从轻到重的顺序排一排，说说你是怎样称量的． 28．（6分）有A、B、C三个金属球，它们的质量关系是：C＜B＜A．另外一个球D．试用没有砝码的天平秤几次就能确定这四个金属球的排序（A、B、C、D这四个球的质量没有相同的）？请说出你的称法． 29．（6分）有一盒乒乓球，其中有一个较重的是次品，用天平秤，保证称2次就能找出这个较重的乒乓球。这盒乒乓球可能有多少个？ 30．（6分）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $