第八单元 数学广角——找次品（高频常考易错题单元检测提升一）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第八单元 数学广角——找次品（高频常考易错题单元检测提升一） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 总分 评分 一、选择题（共16分） 1．（本题2分）有24袋糖果，其中有23袋质量相等，另有1袋质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这袋轻一些的糖果。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（本题2分）在21瓶口香糖中，20瓶的质量相同，只有1瓶比其他瓶少4粒。如果要确保找出轻的那一瓶口香糖，至少需要用天平称（    ）次。 A．2 B．3 C．4 D．1 3．（本题2分）有26瓶水，其中25瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题2分）一箱纯牛奶有24盒，其中有一盒是次品，比正品轻一些 ，用天平称，至少称（    ）次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶。 A．3 B．4 C．5 D．6 5．（本题2分）从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（    ）。 A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4） 6．（本题2分）有10个乒乓球，其中一个是略轻些的次品，用天平找次品时，（    ）分法比较合理。 A．（3，3，4） B．（2，3，5） C．（6，4，2） D．（4，4，2） 7．（本题2分）王师傅做了7个零件，其中有一个次品（比正品重一些）被混放在一起了，如果请你用没有砝码的天平来找这个次品。下面说法错误的是（    ）。 A．称1次可能会找到它 B．称1次保证能找到它 C．称2次可能会找到它 D．称2次保证能找到它 8．（本题2分）有4颗外观一模一样的玻璃珠子，其中有一颗玻璃珠子是次品（质量轻一些）。小明将这四颗玻璃珠子分别标上序号，用天平称一称找出了次品的玻璃珠子。小明把找次品的过程记录如下： 根据小明找次品的过程，可以知道次品的玻璃珠子是（    ）。 A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）有9盒饼干，其中有1盒少了几块，用天平至少称( )次能把这盒找出来。 10．（本题3分）用天平从6561件产品中找一件较轻的次品要( )次。 11．（本题3分）有13瓶木糖醇，其中1瓶少了3粒，用天平称，至少称( )次能保证找出少的这一瓶。 12．（本题3分）有15袋盐，其中14袋每袋500g，另1袋轻一些，假如用天平秤，至少秤( )次能保证找出这袋盐。 13．（本题3分）有8个外观相似的零件，只有一个是次品（次品重一些），用天平称（不用砝码），至少称_____次就一定能找出次品来。 14．（本题3分）在32个零件里有1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 15．（本题3分）有8盒饼干，其中7盒质量相同，另有一盒是次品，质量稍轻一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 16．（本题3分）有10盒饼干，其中9盒质量相同，另有1盒少了几块。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这盒饼干。 17．（本题3分）有20个羽毛球（外观完全相同），其中19个质量相同，另有一个次品略轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。 18．（本题3分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的24个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 三、判断题（共10分） 19．（本题2分）有5瓶口香糖，其中一瓶数量不够，用天平至少称4次才能保证找出这瓶口香糖。( ) 20．（本题2分）有20颗玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称20次才能保证找到它。( ) 21．（本题2分）有14个形状、大小一样的红球，其中有1个质量较轻是不合格产品，用天平称2次能保证找出不合格产品。( ) 22．（本题2分）8个形状大小相同的球，其中一个比较轻，用天平称，至少称3次才能保证找到这个较轻的球。( ) 23．（本题2分）一箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，1袋质量重一些，至少要称3次才能保证找出这袋糖果来。   ( ) 四、解答题（共44分） 24．（本题7分）某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 25．（本题7分）学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 26．（本题7分）张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程） 27．（本题7分）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？ 28．（本题8分）有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 29．（本题8分）有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八单元 数学广角——找次品（高频常考易错题单元检测提升一） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 总分 评分 一、选择题（共16分） 1．（本题2分）有24袋糖果，其中有23袋质量相等，另有1袋质量不足，轻一些。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这袋轻一些的糖果。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意，本题和找次品是同类型的题目，解题的关键是利用天平平衡原理来逐步进行排除，从而达到缩小范围的目的。 【详解】将24份糖果平均分成3份，每份8袋。 第一次把其中的两份8袋放在天平上称一称，如天平平衡，则这些称的糖果中没有轻的一袋，如天平不平衡，拿出轻一些的那8袋，继续称；          第二次把有1袋质量不足的8袋糖果分成3袋、3袋和2袋，把其中的两份3袋放在天平上称一称，如天平平衡，则没有称的2袋里有1袋质量不足，如天平不平衡，则拿出轻一些的那3袋继续称； 第三次根据最不利原则，假设轻一些的在那3袋中，把其中2袋放在天平上称一称，天平平衡，则没有称的1袋是质量不足的，天平不平衡，则轻一些的1袋是质量不足的。在上述描述中，找出那袋轻的糖果的规律为：2～3个物品，至少称1次；4～9个物品，至少称2次；10～27个物品，至少称3次；28～81个物品，至少称4次。 24在10～27这个范围内，至少称3次能保证找出这袋轻一些的糖果。 故答案为：B 2．（本题2分）在21瓶口香糖中，20瓶的质量相同，只有1瓶比其他瓶少4粒。如果要确保找出轻的那一瓶口香糖，至少需要用天平称（    ）次。 A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】把21瓶口香糖平均分成3份，即（7，7，7）；第一次称，天平两边各放7瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的7瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的7瓶中；把有次品的7瓶口香糖分成（2，2，3），第二次称，天平两边各放2瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的2瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的3瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3瓶口香糖分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一瓶；如果天平平衡，次品就是剩下的那一瓶。所以至少需要用天平称3次能找出轻的那一瓶口香糖。 【详解】 如果要确保找出轻的那一瓶口香糖，至少需要用天平称3次。 故答案为：B 3．（本题2分）有26瓶水，其中25瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。假如用天平称，至少称（    ）次能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】把26瓶分成9，9，8三份，第一次称确定次品在哪一份中；再把次品所在平均分成三份，第二次称确定次品在哪一份；把次品所在的那一份平均分成3份，第三次称，确定次品所在。 【详解】把25瓶水分成（9、9、8）三组； 第一次称天平两边各放9瓶，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那8瓶里有一瓶略重一些的；如果天平不平衡，则较重的那一端的9瓶里有一瓶略重一些的。 天平不平衡的情况下：第二次称把较重的9瓶分成（3、3、3）三组，天平两边各放3瓶，有两种情况： ①如果天平平衡则没称的3瓶里有一瓶略重一些的，第三次称把没称的3瓶分成（1、1、1）三组，天平不平衡，较重的那一端的1瓶是略重一些的；如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的； ②如果天平不平衡，则较重的那一端的3瓶里有一瓶略重一些的，第三次称把较重的3瓶分成（1、1、1）三组，天平两边各放1瓶，如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的，如果天平不平衡则较重的那一端的1瓶是略重一些的。 天平平衡的情况下：第二次称把没称的8瓶分成（3、3、2）三组，天平两边各放3瓶，如果天平平衡则没称的2瓶里有一瓶略重一些的，如果天平不平衡，则较重的那一端的3瓶里有一瓶略重一些的。第三次称把较重的3瓶或者没称的2瓶分成（1、1、1）三组，天平两边各放1瓶，如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的，如果天平不平衡则较重的那一端的1瓶是略重一些的。 所以至少称3次能保证找出这瓶盐水。 故答案为：B 4．（本题2分）一箱纯牛奶有24盒，其中有一盒是次品，比正品轻一些 ，用天平称，至少称（    ）次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】第一次：先把24盒牛奶分成（8，8，8），取8盒的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有次品的一份分成（3，3，2），取两个3盒一组的分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第三次，取含有次品的（2盒或3盒），取2盒分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的为次品，据此即可找到次品。 【详解】由分析可知： 至少称3次就能保证找出这盒不合格的纯牛奶； 故答案为：A 【点睛】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。 5．（本题2分）从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（    ）。 A．（3，3，2） B．（1，1，6） C．（2，2，4） D．（4，4） 【答案】A 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】从8袋盐中找到较轻的1袋，要保证2次能找到，最合理的分组方法是（3，3，2）。 故答案为：A 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 6．（本题2分）有10个乒乓球，其中一个是略轻些的次品，用天平找次品时，（    ）分法比较合理。 A．（3，3，4） B．（2，3，5） C．（6，4，2） D．（4，4，2） 【答案】A 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】A．（3，3，4），有相同的两份，且最多的与最少的相差4－3＝1，分法合理； B．（2，3，5），没有相同的两份，无法利用天平称重，分法不合理； C．（6，4，2），没有相同的两份，无法利用天平称重，分法不合理； D．（4，4，2），有相同的两份，但最多的与最少的相差4－2＝2，不符合“多的一份与少的一份只相差1”，分法不合理。 故答案为：A 【点睛】掌握找次品的最优策略是解题的关键。 7．（本题2分）王师傅做了7个零件，其中有一个次品（比正品重一些）被混放在一起了，如果请你用没有砝码的天平来找这个次品。下面说法错误的是（    ）。 A．称1次可能会找到它 B．称1次保证能找到它 C．称2次可能会找到它 D．称2次保证能找到它 【答案】B 【分析】第一次在已经调好的天平两边各放3个零件，如果天平平衡，则剩余的零件为次品；如果天平不平衡，次品在托盘偏低那边的三个里面，则需进行第二次称量； 第二次，将托盘偏低的托盘中的3个零件，分成1、1、1三组，在托盘中各放一个，如果天平平衡，则剩余的那个为次品；如果天平不平衡，次品在托盘偏低的那边。 【详解】根据分析得，称1次就可能找出次品；称2次就一定可以找出次品。 A．考虑最好的情况，称1次可能会找到它，所以原题说法正确； B．通过分析得，称1次并不能保证一定找到它，所以原题说法错误； C．通过分析得，称2次不仅可能找到它，也是一定能找到它，所以原题说法正确； D．通过分析得，称2次能保证一定找到它，所以原题说法正确； 故答案为：B 【点睛】可以利用天平平衡原理找出这个次品零件，将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找到次品。 8．（本题2分）有4颗外观一模一样的玻璃珠子，其中有一颗玻璃珠子是次品（质量轻一些）。小明将这四颗玻璃珠子分别标上序号，用天平称一称找出了次品的玻璃珠子。小明把找次品的过程记录如下： 根据小明找次品的过程，可以知道次品的玻璃珠子是（    ）。 A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【答案】B 【分析】根据小明找次品的过程，和题意次品质量轻一些，分析解答即可。 【详解】小明把这四颗玻璃珠子分别标上序号，第一次称：把四颗玻璃珠子平均分成了两份，每份2个，天平不平衡，次品在①和②中，第二次称，把①和②放在天平两端，天平不平衡，次品在较高端，即是②号。 故答案为：B 【点睛】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。 二、填空题（共30分） 9．（本题3分）有9盒饼干，其中有1盒少了几块，用天平至少称( )次能把这盒找出来。 【答案】2 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】第一次：把9盒饼干平均分成三份，每份3盒，任取2盒，放在天平两端，若天平平衡，则较轻的那盒在未取的3盒中，若天平不平衡，取较轻的一份继续称量； 第二次：从含有较轻的3盒中，任取2盒，分别放在天平两端，若天平平衡，未取的那盒即为较轻的，若天平不平衡，较高端那盒即为少了几块的。 所以用天平至少称2次能把这盒找出来。 10．（本题3分）用天平从6561件产品中找一件较轻的次品要( )次。 【答案】 8 【分析】把待称的物品分成三份，能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一分只相差1，据此解答。 【详解】将 6561 件分成三组，每组 2187 件。 称量其中两组：如果平衡，次品在第三组（2187 件）。如果不平衡，较轻的一组有次品（2187 件）。重复此过程，每次将问题组分成三等份并称量两组。 第二次：2187 件 → 每组 729 件，称量后问题组变为 729 件。 第三次：729 件 → 每组 243 件，称量后问题组变为 243 件。 第四次：243 件 → 每组 81 件，称量后问题组变为 81 件。 第五次：81 件 → 每组 27 件，称量后问题组变为 27 件。 第六次：27 件 → 每组 9 件，称量后问题组变为 9 件。 第七次：9 件 → 每组 3 件，称量后问题组变为 3 件。 第八次称量：只剩 3 件，称量其中两件：如果平衡，次品是第三件。如果不平衡，较轻的那件是次品。 所以，用天平从6561件产品中找一件较轻的次品要8次。 11．（本题3分）有13瓶木糖醇，其中1瓶少了3粒，用天平称，至少称( )次能保证找出少的这一瓶。 【答案】3 【分析】把所称物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么较轻的木糖醇在剩下一组里面；如果天平不平衡，那么较轻的木糖醇在天平上翘一组里面；据此逐步分析较轻的木糖醇所在的组，直到最后找出这盒较轻的木糖醇，根据分析过程准确找出所称次数，据此解答。 【详解】第一次称：将13瓶木糖醇分为（4，4，5），先称数量相同的两组，如果天平平衡，则轻的在5瓶木糖醇这组，若不平衡，则轻的在天平翘起来那组； 第二次称：若是5瓶的那组，则将其分为（1，1，3），先称数量相同的两组，如果天平平衡，则轻的在3瓶木糖醇这组，若不平衡，则轻的在天平翘起来那组；若是在4瓶组里面，则分为（1，1，2），先称数量相同的两组，如果天平平衡，则轻的在2瓶木糖醇这组，若不平衡，则轻的在天平翘起来那组； 第三次称：若轻的在3瓶的那组，则将其分为（1，1，1），先称数量相同的两组，如果天平平衡，则轻的在剩下的木糖醇这组，若不平衡，则轻的在天平翘起来那组；若轻的在2瓶的那组，则将其分为（1，1），则轻的在天平翘起来那组。 则至少称3次能保证找出少的这一瓶。 12．（本题3分）有15袋盐，其中14袋每袋500g，另1袋轻一些，假如用天平秤，至少秤( )次能保证找出这袋盐。 【答案】3 【分析】已知次品轻或重的找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【详解】有15袋盐，其中14袋每袋500g，另1袋轻一些，15在10～27之间，所以用天平秤，至少秤3次能保证找出这袋盐。 13．（本题3分）有8个外观相似的零件，只有一个是次品（次品重一些），用天平称（不用砝码），至少称_____次就一定能找出次品来。 【答案】2 【分析】把8个球分成（3，3，2）三组，把两个3个一组的放在天平上称，如平衡，则次品在2个的一组中，把这2个球分成（1，1），放在天平上称，上跷的是次品。如不平衡，则把上跷的一组3个球分成（1，1，1），任意两个放在天平上称，如平衡，没称的是次品，如不平衡，上跷的是次品。据此解答。 【详解】第一次称量：把8个零件分成3份，3、3、2，先把天平两边分别放3个，会有两种情况出现： 情况一：左右平衡，则次品在剩下的2个中，即可进行第二次称量：把剩下的2个，放在天平的两边一边1个，则托盘上升一边为次品； 情况二：若左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品； 综上所述，至少需要称2次，才能找到次品。 14．（本题3分）在32个零件里有1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 【答案】4 【分析】把32个零件分成三组，11个、11个、10个。先把两个11个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在10个的那一组中；如果不平衡，次品在较重的那一组中。 若在10个一组中，把10个分成3个、3个、4个。把两个3个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在4个的那一组中；如果不平衡，次品在较重的那一组中。 若在3个一组中，再称一次就可找出次品。 若在4个一组中，把4个分成1个、1个、2个。把两个1个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在2个的那一组中；再称一次就可找出次品。 若在11个一组中，把11个分成4个、4个、3个。把两个4个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在3个的那一组中；如果不平衡，次品在较重的那一组中。然后按照前面的方法继续称，最终可以找出次品。 【详解】把32个零件分成三组，11个、11个、10个。先把两个11个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在10个的那一组中；如果不平衡，次品在较重的那一组中。 （1）若在10个一组中，把10个分成3个、3个、4个。把两个3个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在4个的那一组中；如果不平衡，次品在较重的那一组中。 若在3个一组中，分成1、1、1，再称一次就可找出次品。 若在4个一组中，把4个分成1个、1个、2个。把两个1个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在2个的那一组中；再称一次就可找出次品。 （2）若在11个一组中，把11个分成4个、4个、3个。把两个4个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在3个的那一组中；如果不平衡，次品在较重的那一组中。 若在3个一组中，分成1、1、1，再称一次就可找出次品。 若在4个一组中，把4个分成1个、1个、2个。把两个1个一组的放在天平上称，如果平衡，次品就在2个的那一组中；再称一次就可找出次品。 综上可知：在32个零件里有1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称4次就一定能找出次品。 15．（本题3分）有8盒饼干，其中7盒质量相同，另有一盒是次品，质量稍轻一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出次品。 【答案】2 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】第一次：将8盒饼干分成3堆，其中，2堆各3袋，另1堆2袋，将前两堆放在天平的两端，如果平衡，则末称重的一堆含有次品，如果不平衡，较轻的一边含有次品； 第二次：将含有次品的一堆，取2袋分别放在天平的两端，如果平衡，则未称重的1袋是次品，如果不平衡，较轻的一边是次品； 所以，至少称2次就一定找出次品来。 16．（本题3分）有10盒饼干，其中9盒质量相同，另有1盒少了几块。假如用天平称，至少称( )次能保证找出这盒饼干。 【答案】3 【分析】少了几块的1盒质量较轻。先将10盒饼干尽可能平均分成3份（或2份），任取两份放在天平两端，找出质量稍轻1盒在哪一份里面。将这一份在尽可能平均分成3份（或2份），以此类推，直到找出这盒饼干。 【详解】第一次：将10盒饼干分成（3，3，4），将前两份放在天平两端，如果平衡则质量稍轻的1盒饼干在第三份中，如果不平衡，哪边较轻，哪边就含次品。 第二次：①将4盒饼干分成（2，2），放在天平两端，哪边轻哪边就含有次品； ②将3盒饼干分成（1，1，1），将前两份放在天平两端，如果平衡，则第三份是次品，如果不平衡，哪边轻哪边是次品。 第三次：将2盒饼干分成（1，1），放在天平两端，哪边轻哪边是次品。 所以，假如用天平称，至少称3次能保证找出这盒饼干。 17．（本题3分）有20个羽毛球（外观完全相同），其中19个质量相同，另有一个次品略轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次就一定能找出这个次品羽毛球。 【答案】3 【分析】找次品时把物品数量分成尽可能平均的三组，先称其中的两组，分天平平衡和不平衡两种情况依次称重找出次品所在的组，称到只剩下2个物品时即可找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【详解】第一次：把20个羽毛球，分成（7，7，6），天平两边各放7个，若平衡，则次品的在6个里面；若不平衡，则次品的在上升的那边；第二次，如果是在6个里面，分成（2，2，2）；若是在7个里面分成2个，2个，3个，天平一边2个，把次品的范围缩小到3个或者2个里面；第三次如果是在2个里面，天平一边一个，可以找出，在3个里面也是天平一边一个，也可以找出质量轻的。所以至少称3次就一定能找出这个次品羽毛球。 18．（本题3分）技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的24个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【分析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【详解】把24个网球平均分成3份，每份8个，即（8，8，8），第一次称，天平两边各放8个，如果天平不平衡，次品就在较重的8个中；如果天平平衡，次品在剩下的8个中；把有次品的8个网球分成3份，即（3，3，2），第二次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较重的3个中；如果天平平衡，次品就是剩下的那2个；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，最后把有次品的3个网球分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1个，天平不平衡，次品就是较重的那1个，天平平衡，次品就是剩下的那一个。所以至少称3次保证能找出次品。 三、判断题（共10分） 19．（本题2分）有5瓶口香糖，其中一瓶数量不够，用天平至少称4次才能保证找出这瓶口香糖。( ) 【答案】× 【分析】将5分成2、2、1，如果两个2平衡，那一瓶就是次品，如果两个2不平衡，轻的有次品，再称一次即可。 【详解】有5瓶口香糖，其中一瓶数量不够，用天平至少称2次就能保证找出这瓶口香糖，所以原题说法错误。 【点睛】本题考查了找次品，一般把待分物品分成3份。 20．（本题2分）有20颗玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称20次才能保证找到它。( ) 【答案】× 【分析】将20颗玻璃珠分成7、7、6，如果两个7平衡，在6颗里，不平衡在轻的7颗里，1、如果在6颗里，将6分成2、2、2，再称两次即可；2、如果在7颗里，将7分成3、3、2，再称两次即可。 【详解】有20颗玻璃珠，其中一个略轻一些，用天平称，至少称3次才能保证找到它，所以原题说法错误。 【点睛】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 21．（本题2分）有14个形状、大小一样的红球，其中有1个质量较轻是不合格产品，用天平称2次能保证找出不合格产品。( ) 【答案】× 【分析】将14个球分成5、5、4，如果两个5平衡，次品在4个中，再称两次即可；如果两个5不平衡，次品在较轻的5个中，再分成2、2、1，称两次能保证找出次品。 【详解】有14个形状、大小一样的红球，其中有1个质量较轻是不合格产品，用天平称3次能保证找出不合格产品。 故答案为：× 【点睛】本题考查了找次品，每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 22．（本题2分）8个形状大小相同的球，其中一个比较轻，用天平称，至少称3次才能保证找到这个较轻的球。( ) 【答案】× 【详解】8个球分成3、3、2，进行天平称量，先把是3个球的两组放在天平上称量， ①如果平衡，较轻的球就在2个球的那组，然后把2个球放在天平上，找出较轻的； 如果不平衡，找出较轻的一组； ②然后拿出较轻组其中的两个进行称量，如果平衡，剩下的一个就是较轻的球，如果不平衡，位置较高的一个就是较轻的球。 故答案为：×。 23．（本题2分）一箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，1袋质量重一些，至少要称3次才能保证找出这袋糖果来。   ( ) 【答案】× 【分析】把8袋糖果分成3份，3袋、3袋、2袋，第一次：把其中3袋的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，再把剩余2袋分别放在天平秤两端，较低端的即为重一些的；若天平秤不平，看哪边重，第二次：从天平秤较低端的3袋糖果中任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，未取的那袋即为较重的，若不平衡，较低端即为较重的，据此即可解答。 【详解】由分析可知，一箱糖果有8袋，其中7袋质量相同，1袋质量重一些，至少要称2次才能保证找出这袋糖果来。原题说法错误。 故答案为：× 四、解答题（共44分） 24．（本题7分）某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 【答案】3次 【分析】根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【详解】把11个机器零件分成三份（4，4，3）； 第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况： ①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品； ②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品； 第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中； 第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。 答：用天平把次品找出来，最少称3次。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。 25．（本题7分）学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 【答案】2次 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【详解】将8袋盐分成3份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋，手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 26．（本题7分）张叔叔加工了25个形状、大小完全一样的零件，其中有一个质量较轻的不合格产品，你能用天平只称3次帮他找出这个不合格产品吗？（请写出简要过程） 【答案】能；过程见详解 【分析】要达到3次找到这个不合格产品，需要将25个零件尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止，据此答题即可。 【详解】至少称3次能保证找出这个不合格的零件来。 将25个零件分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8个，手里留9个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9个分为3，3，3，在天平两边各放3个，手里留3个， ①如果天平平衡，则次品在手里3个中，接下来，将这3个分为1，1，1，取两份分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3个中。 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8个中，将这8个分成三份：3，3，2，在天平两边各放3个，手里留2个， ①如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3个中， 接下来，将这3个分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1个，手里留1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的2个中。 接下来，将这2个分成三份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次能找出这个不合格产品。 【点睛】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 27．（本题7分）爸爸买来13本信笺，这13本信笺的质量相同，淘气的小强从一本信笺中撕了几页，你能用天平把这本被撕过的信笺找出来吗？至少需要几次？ 【答案】能；3次 【分析】根据题意可知，一本被撕了几页的信笺质量就比原来信笺的质量轻，由于信笺数大于3本，考虑将其分为三组（6，6，1），接下来将前两组称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将信笺平均分成两组进行称重，即可解答。 【详解】将这13本信笺分成3组（6，6，1）； 第一次称量：在天平两边各放6本，可能出现两种情况：（把少的那本看做被撕过的） ①如果天平平衡，则次品是剩余的那本； ②如果天平不平衡，则次品在托盘上升那边6本里； 第二次称量：取托盘上升的6本，在左、有盘中分别放3本，上升部分有次品； 第三次称量：取托盘上升的3本中的2本，分别放在天平的左、右盘中，如果天平平衡，说明剩下的一个是次品，如果不平衡，则上升是次品。 答：能用天平把这本被斯过的信笺找出来，至少需要3次。 【点睛】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的一本是被撕过的信笺。 28．（本题8分）有15块外表相同的积木，其中有一块是次品，次品比正品稍轻一点，用天平至少几次才能保证一定找出次品？你是怎样称的？ 【答案】3次；过程见详解 【分析】第一次：把15个零件分成（5、5、5）三组，称量任意两组，若天平平衡，则另外的那一组里有次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第二次：把有次品的5个零件分成（2、2、1）三组，先称量（2、2）两组，若天平平衡，则另外的那1个是次品；若天平不平衡，则天平上翘的那一组里有次品； 第三次：把天平上翘的那一组再分为（1、1）两组，则天平上翘的那一端即为次品；据此解答。 【详解】用天平秤，至少3次就一定能找出次品。 【点睛】解答本题的关键是将零件进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 29．（本题8分）有12袋饼干，其中只有一袋里有奖品，它比其他11袋都要略重一些，至少称几次才能保证找到这袋有奖品的饼干？怎么称？ 【答案】3次；过程见解析 【分析】找次品的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【详解】第一次：把12袋饼干平均分成三份，每份4袋，任取2袋，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较重的即在未取的4袋中（按照下面方法操作），若天平秤不平衡； 第二次：把天平秤较低端的4袋分成两份，每份2袋，分别放在天平秤两端； 第三次：把在天平秤较低端的2袋分别放在天平秤两端，较低端的那袋即为较重的。 答：至少称3次才能保证找到这袋有奖品的饼干。 【点睛】本题主要考查学生运用天平秤平衡原理解决问题的能力。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $