河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期中模拟考试（三）

**基本信息** 高一年级下学期期中数学模拟卷，聚焦三角函数、向量、解三角形核心内容，通过基础辨析与综合探究的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及应用能力，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|三角函数定义、扇形面积、向量运算、三角形解的个数|基础概念与空间想象结合，如第6题矩形中点向量表示| |填空题|3题15分|重心向量关系、三角函数单调性、向量数量积|知识交汇，如第12题重心与三点共线结合| |解答题|5题77分|向量线性运算、三角函数图像变换、解三角形综合|分层设计，如第19题从求角到中线最值再到范围探究，考查逻辑推理与数学表达|

方城县第一高级中学2026年高一年级下学期期中模拟考试（三） 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若点在角的终边上，则（   ） A． B． C． D． 2．已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 4．已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 5．已知在中,内角所对的边分别为,,若此三角形有且只有一个,则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．如图，在矩形中，分别为中点，为线段上的一点，且，若，则（   ） A． B． C．2 D． 7．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 10．已知函数（其中）的部分图象如图所示，图像经过点，关于直线对称，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．直线与图象的所有交点的横坐标之和为 11．如图，在直角梯形中，，，，为上靠近的三等分点，交于，为线段上的一个动点，设，则下列说法正确的是（       ） A．和表示 B． C．向量在方向上的投影向量为 D．的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知点是的重心，点满足，若三点共线，则___________． 13．已知（）满足，，且在上单调，则的最大值为________. 14．如图，在中，已知，点分别在边上，且，点为中点，则的值为_________________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 16．（15分）已知函数，先将函数的图象所有的点纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象． (1)求函数的解析式； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 17．（15分）（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 18．（17分）在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 19．（17分）在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. (1)求角； (2)，求边上的中线的最小值； (3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 1．A 【分析】利用三角函数的定义可求得结果. 【详解】由三角函数定义可得. 故选：A. 2．C 【分析】根据扇形弧长公式和面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 因为扇形的圆心角为，弧长为， 所以，解得. 所以该扇形的面积为. 故选：C. 3．B 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 4．C 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 5．C 【分析】根据题意求出,然后数形结合可得a的范围． 【详解】由,正弦定理可得； ∵这样的三角形有且只有一个,∴或； 故选C． 【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形解的情况,考查特殊角的三角函数值,属于基础题． 6．B 【详解】由题意得， ， 又， 则由平面向量基本定理可知，，得， 则. 7．D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 8．A 【分析】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点．设，所以，设，结合图形得出，由条件结合平面向量基本定理可得出与的关系，进而可得结果． 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 9．ABD 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 10．BD 【分析】根据函数的周期性和最小值可求得，利用函数的对称性，单调性和图象性质即可求解. 【详解】由图可知，， 因为解得，所以， 又因为， 所以,解得， 因为，所以，所以， ，所以的图象不关于点中心对称，A错误； 解得, 所以当时，，所以在区间上单调递增，B正确； ，所以的图象不关于直线对称，C错误； 令即， 所以或， 即或， 因为，所以满足条件的所有的值为 所以所有交点的横坐标之和为，D正确， 故选:BD. 11．AC 【分析】利用平面向量的线性运算和基本定理，结合投影向量定义、二次函数性质求解即可. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，因OM交AC于N，设， 则由选项A知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即，B错误； 对于C，设， ， 又有， 所以向量在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，由已知， 因D是线段BC上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为，即， 因为在上单调递增， 所以当时，，当时， 所以的取值范围是，D错误． 12．/ 【分析】利用重心向量公式结合向量的线性运算将用表示，利用向量共线的性质列式求解. 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，， 所以， 又若三点共线，则，解得. 故答案为：. 13． 【分析】由，得到，再由函数在区间上单调，求出的取值范围，即可求出的取值集合，从而求出的最大值； 【详解】满足， ，即， ， 在上单调， ，即， 当时最大，最大值为 故答案为： 14．4 【详解】试题分析： 考点：向量数量积 15．(1)； (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据图象变换规律得到的解析式； （2）作出在上的图象，借助图象求出的范围. 【详解】（1）将函数的图象的点纵坐标伸长为原来的两倍，得， 再把横坐标缩短为原来的，得， 再向右平移个单位长度，得， 则. （2）函数，当时， ，， 函数的图象如下： 要使方程在区间上恰有两个实数根， 等价于函数在区间的图象与函数的图象有两个交点， 由图可知． 17．（1）或；（2） 【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解； （2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值. 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 18．（1）；（2） 【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出，再由是锐角三角形，即可算出角的大小； （2）由余弦定理的式子，结合题意化简得，与联解得到的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得的面积． 【详解】解：（1）中，， 根据正弦定理，得， 锐角中，， 是锐角的内角，； （2），， 由余弦定理，得， 化简得， ，平方得， 两式相减，得，可得． 因此，的面积． 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角； （2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值； （3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解； 【详解】（1）在中，据正弦定理可将题设条件化为： 即，又据余弦定理： 可知， 又，故. （2）是的中点, ; 当且仅当时取等号，故. 所以边的中线的最小值是. （3）依题可知，； ，，共线，，，共线，则有， ； 两式对比可得； 故； 点为三角形的重心， 则； 又因的面积为，故； 则可得； 可得， ， 因为是锐角三角形，则为锐角， 故有， 可得， 同理为锐角，故有，可得， 可得， 设，则， 则有，当时，易知该对勾函数单调递增， 则，故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $