精品解析：四川资中县龙结中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

结中高2027届高二(下)半期考试数学 出题人：张西挺 审题人：代明德 一、单选题(每小题5分，共40分) 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】因为数列为等比数列，且，， 所以， 又因为， 所以. 2. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图象，即可得到答案． 【详解】根据的图象可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 3. 某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】由题意可知，将与捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序， 因此不同的排法种数为种. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 5. 函数在处取得极小值，则（  ） A. B. 1 C. 或 D. 1或3 【答案】B 【解析】 【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【详解】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 6. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（ ） A. 32 B. 64 C. 512 D. 1024 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 7. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性的关系得到不等式，结合参数分离及均值不等式求解参数范围． 【详解】函数的定义域为，. 由函数在上单调递增，得对任意恒成立． 即恒成立， 即恒成立． 由知，所以， 当且仅当，即等号成立. 因此的最小值为． 要使恒成立，则，即． 8. 若数列满足对于，恒有成立，则称为“数列”．已知“数列”的各项都是整数，且，若，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，令，得到数列为严格递减数列，求得，得到，再由，利用累加法，求得，结合，求得的范围，即可得到答案. 【详解】由，可得，则， 令，则数列为严格递减数列，且各项为整数， 因为数列为 “数列”，各项都是整数，且， 可得， 因为为严格递减数列，且各项为整数，所以， 又因为，即， 可得， 即， 所以， 要使，则，整理得， 解得， 因为，可得， 又因为，所以， 经验证：，， 所以，满足的最大的值为. 二、多选题(每小题6分，共18分) 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则对选项逐一检验即得. 【详解】对于A，因是常数，故，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，故D错误. 故选：BC. 10. 设数列的前项和为，且．则（ ） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等比数列，则 D. 若为等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等比和等差数列的性质和前项和的性质逐项分析可解. 【详解】对于A，若为等差数列，则，故A正确； 对于B，若为等差数列，则公差，则， 于是，故B正确； 对于C，若为等比数列，则，由于等比数列的偶数项同号，则，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，所以， 若，则；若，则，故D错误． 11. 已知函数，则（ ） A. B. 恰有2个极值点 C. 的最大值为 D. 的图象与轴有且仅有1个交点 【答案】AC 【解析】 【详解】求导得：，定义域， 代入得：，解得，A正确； 因此，， 当时，，当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减， 即在时取到极大值，无极小值，故B错误; 因此最大值为，C正确； 因为最大值，且时， ，时，， 即在和各存在一个唯一零点， 故与轴有2个交点，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理，先安首位数字，再安第二、三位的数字，即可求解. 【详解】由题意，从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数， 根据分步计数原理，先安首位数字，再安第二、三位的数字，可得. 故答案为：. 13. 直线是曲线的切线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可将切点的坐标用表示，然后将切点坐标代入切线方程，可得出的值. 【详解】对函数求导得，令可得， 将代入得，故切点坐标为， 将切点坐标代入切线方程得，解得. 14. 已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 四、解答题(第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分) 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的极值. 【答案】（1） （2）极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）直接求导即可； （2）令导函数为0，再列表即可得到极值 【小问1详解】 【小问2详解】 定义域：，令，则， 的变化表格如下： 0 所以当时，函数有极小值，无极大值. 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上有解，求的取值范围； （3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 【答案】（1） （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）根据不等式有解，转化为求函数的最小值，利用二次函数求最小值即可得解； （3）利用导数求出函数的对称中心，根据对称中心的性质求值 . 【小问1详解】 因为 所以所求切线的斜率，又因为切点为 所以所求的切线方程为. 【小问2详解】 因为，所以. 因为在上有解， 所以不小于在区间上的最小值. 因为时，， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以. 令可得，所以函数的对称中心为， 所以当时，有， 所以. 19. 已知函数. （1）若，求函数在的最值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为. （2）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值； （2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性； （3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定的取值范围. 【小问1详解】 ，则 ； ，即在内单调递减. ， ； 即函数在时的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 ，则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即 ，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值； 即 有2个零点， ，即. 令，则； 在上单调递增. 又 ， 时，； ，得； 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 结中高2027届高二(下)半期考试数学 出题人：张西挺 审题人：代明德 一、单选题(每小题5分，共40分) 1. 在等比数列中，，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8 2. 已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 3. 某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 5. 函数在处取得极小值，则（  ） A. B. 1 C. 或 D. 1或3 6. 等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（ ） A. 32 B. 64 C. 512 D. 1024 7. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足对于，恒有成立，则称为“数列”．已知“数列”的各项都是整数，且，若，则的最大值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题(每小题6分，共18分) 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设数列的前项和为，且．则（ ） A. 若为等差数列，则 B. 若为等差数列，则 C. 若为等比数列，则 D. 若为等比数列，则 11. 已知函数，则（ ） A. B. 恰有2个极值点 C. 的最大值为 D. 的图象与轴有且仅有1个交点 三、填空题(每小题5分，共15分) 12. 从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为______． 13. 直线是曲线的切线，则________． 14. 已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 四、解答题(第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分) 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数的极值. 16. 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 17. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若在上有解，求的取值范围； （3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值. 19. 已知函数. （1）若，求函数在的最值； （2）讨论的单调性； （3）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $