四川成都市金牛区成都七中万达集团学校2025-2026学年高二下学期5月期中联考数学试题

**基本信息** 成都七中万达学校高2024级半期数学试卷，以数列、函数、导数等核心知识为载体，通过航天基地涂色（13题）、蜂房爬行路线（11题）等情境，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，非选择题注重知识综合与素养落地。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|排列、数列递推、导数几何意义|基础概念辨析，如第3题切线垂直考查导数应用| |多选|3/18|等差数列性质、函数极值|多维度分析，如第11题蜂房路线结合递推关系| |填空|3/15|函数求导、涂色计数、等比数列|情境化设计，如13题航天基地涂色考查计数原理| |解答|5/77|立体几何证明、导数应用、数列求和与证明、抛物线综合、函数与数列证明|综合性强，如17题数列证明与求和，19题函数性质证数列不等式，体现逻辑推理与数学表达|

成都七中万达学校2025-2026学年下期高2024级半期考试 数学试卷 满 分: 150分 时 间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．乘积展开后共有（    ）项. A．9 B．14 C．18 D．24 2．已知数列满足，，则（    ）． A．1 B．2 C．4 D． 3．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 4．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．22 5．已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 8．若函数有唯一极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最小 10．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 11．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角，由于受了伤，只能爬行，假设只能向右（包括右上，右下，不允许往回走）从一间蜂房爬到与之相邻的蜂房中去，这只蜜蜂从蜂房出发，想爬到第号蜂房，记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（    ）      A． B． C． D． 第Ⅱ卷（综合题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12．已知函数满足，则___________． 13．小明周末打开了一款航天基地主题的游戏，看着屏幕上熟悉的平面布局，他突然意识到沉迷游戏不如用数学探索世界.于是他将基地平面图转化为涂色问题：中央中控楼不涂色，周围五个功能区域如图所示。现用红、黄、蓝、绿四种颜色给这五个区域涂色，要求相邻区域不同色（其中四种颜色可以用完，也可以不需用完）。则不同的涂色方法有__________种（用数字作答）. 14．数列满足，，则是等比数列，则__________，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．如图，在直三棱柱中，，分别是的中点．已知，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 16．已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 17．已知数列中，，，. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和； (3)记，数列的前n项和为，判断与的大小关系，并说明理由. 18．已知抛物线：（），过点的直线交于，两点，为坐标原点，当与轴垂直时，. (1)求抛物线的解析式； (2)若，过轴上一点作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且满足，，三点共线. （ⅰ）求直线的方程；（ⅱ）求点的坐标. 19． 已知函数，的图像与轴相切. (1)求的值； (2)设正项数列满足，. （i）证明：； （ii）证明：. ( 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $成都七中万达学校高2024级半期考试 数学试题参考答案及评分意见 写在前面，下面是本次期末考试试卷出题的想法来源。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 1.教材第37页第1题； 2.教材第6页例题5； 3.教材第82页第11题； 4.双练一测第93页第9题； 5.双练一测第127页第7题； 6.双练一测第128页第11题； 7.双练一测第99页第7题以及104页13题的综合； 8.双练一测第130页第11题； 9.双练一测第94页11题以及第141页第8题； 10.双练一测第132页第12题以及双练一测153页第9题；11.双练一测第86页第14题、88页15题以及教材10-11页的综合； 12.教材81页第6题； 13.双练一测87页第9题以及教材27页17题； 14.教材56页第10题以及双练一测109页第7题、双练一测145页第11题； 15.模仿的2022级以及2023级零诊出第一问证明线面平行，第二问很容易建系求线面角或者面面角； 16.第（1）问教材95页例题7以及双练一测157页15题，第（2）问双练一测132页14题； 17.第（1）问教材41页11题，第（2）问错位相减很常见，和周考基本一样，第（3）问双练一测104页12题D选项； 18.模仿的2022级以及2023级零诊出一个抛物线的题目，且含有根据特定条件求直线； 19.第（1）问教材81页第7题，第（2）问教材99页12题，第（3）问模仿的2022级以及2023级零诊出一个导数与数列结合的题目；此类型在2017年浙江卷中也考过类似。 一、单项选择题：（每小题5分，共40分）. 1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 二、多项选择题：（每小题6分，共18分）. 9．ACD 10．AB 11．ACD 三、填空题：(每小题5分，共15分). 12． 13．168 14．，（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：(共77分). 15．解：连结，交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，平面平面，所以平面； （2）因为，，由，可得，如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， 于是， 设平面的法向量为，所以，故可取，设平面的法向量为，所以，故可取，设平面与平面所成角为， 则， 则平面与平面所成角的余弦值． 16．解：（1）函数的定义域为；当时，，则； 令，即，解得；当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 的递增区间为，递减区间为，极大值为，无极小值. （2）由，得；令，即，解得； ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. ①当，即时，函数在区间上单调递减，此时的最小值为； ②当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减； ，， 当时，，此时最小值为； 当时，，此时最小值为. ③当，即时，函数在区间上单调递增，此时的最小值为； 综上所述，当时，在区间上的最小值是；当时，在区间上的最小值是. 17．解：（1）因为数列中， ，，两边同时取倒数，可得，， 两边同时减去，可得，即， 因为，所以，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列； （2） 由（1）知，所以， ① 所以② 两式相减可得.所以. （2）因为，所以，所以，所以， 因，所以，因为，所以，所以. 18．解：（1）当与轴垂直时，，则，解得：，即：. （2）（ⅰ）由与抛物线交于，两点知直线斜率不为0，可设：，，， 联立方程组：，得到：，由韦达定理：，， 则，， 因为， 代入可知：，解得：，即：或：； （ⅱ）由对称性，不妨取：，由于，故：， 因为，设，所以：，联立解得：，同理有：，所以， 由（2）得：，，代入可知：，故：， 由于，故，则，即：，因为，所以：，联立解得：，因为，，三点共线，所以在直线上，代入得：，解得：，故的坐标为. 19．解：（1）函数，则设的图像与轴相切于点，则，，所以； （2）（i）由于，则，又因为，则，证明等价于证明，令，则，令，得，则时，，则函数单调递减，时，，则函数单调递增，所以当时，函数取得最小值为 即，，则，也即是得证. （ii）由（i）知，所以， 则，所以，则， 由（i）知，时，，，所以，则， 所以，所以. $