精品解析：四川成都外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

成都外国语学校2025—2026学年度下期半考试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 2．本堂考试120分钟，满分150分； 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 2. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 15种 C. 22种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法原理在男队员与女队员各选一人即可得结论. 【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有5×6=30（种）. 故选：D. 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得所求切线的方程. 【详解】点在曲线上， 由题意，，切线斜率为， 因此，所求方程为，即． 故选：C． 5. 将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出圆锥的高，结合圆锥的体积公式计算即可求解. 【详解】由题意知，半圆的周长为，设圆锥底面圆的半径为， 则，解得，又母线长为4， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 6. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由前项和的定义及等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 解得或， 又因为，所以. 7. 如图，四边形中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，，过点作平面的垂线，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】取中点，连接，，易知为二面角的平面角， 所以，过点作平面的垂线， 以为原点，、、所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 从而，，所以. 所以直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法可求异面直线所成角的余弦值. 8. 已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复合函数和函数的奇偶性得到的单调性，再分的范围解不等式即可； 【详解】时，即， 在上单增， 又为奇函数， 为偶函数， 在上单减， ，故， 所以或时，当或时， 当时，，； 当时，，若则，， 若则，， 若则，，不符合题意； 综上，， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最大值 C. 在处取得最小值 D. 在上有三个不同的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，极值，以及函数的图象，即可判断选项. 【详解】，得或， ，解得或，，解得， 所以函数的单调递增区间是和，减区间是， 所以在上有两个极值点，取得极大值，，处取得极小值，， ， 当时，恒成立，且，， 所以处不能取得最大值，处取得最小值，故AC正确，B错误； ，即，，所以有2个零点，故D错误. 故选：AC 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题可知，数列首项，公差的等差数列，利用等差数列通项公式和前项和公式求得即可判断ABC选项，根据，利用裂项相消法可求. 【详解】，即， 所以数列首项，公差的等差数列， ，故A正确； ，，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； ， ，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若方程有两个实数根，则 D. 若，且，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导即可判断A，利用的单调性，结合分离参变量，可判断B，利用极值点偏移证明，即可判断C，利用同构函数，再消元转化到函数即可求最小值判断D. 【详解】求导得：， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以的最小值为； ， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以的最小值为； 恒等式：,, 当时，，， 所以在上是增函数，故A正确； 当时，，由，故， 由在递增，则， 令，求导得：，得 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以在处取最大值，故​，即正实数的最小值为，故B正确； 由在上单调递减，上单调递增，且最小值， 当有两个实数根，则，不妨设， 假设，则，因为在上单调递增， 所以，又因为， 所以，构造，， 求导得：， 所以在上单调递增， 即，故， 所以不成立，故假设不成立，故C错误； 由得：，且， 因为在上单调递增，故， 所以 ， 则原式化简：， 令，，求导得：， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以在处取最小值，故的最小值为，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 设是函数的导函数，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】先对函数求导，然后将代入计算即可. 【详解】因为 ，所以， 所以. 故答案为：2 13. 甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得， 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即，即， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 利用三角形内切圆的性质和椭圆的定义，得到，从而得到的值. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，所以. 综上，当时，函数的最小值为，最大值为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为直三棱柱，所以平面. 因为平面，所以. 因为，所以， 因为D是的中点，所以. 因为，平面，平面. 所以平面. 【小问2详解】 因为直三棱柱，所以平面， 平面，所以，， 因为，所以，，两两垂直，以C为原点，，，为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由，则，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为. 所以，即， 令，则，. 所以. 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由分析计算即可求解； （2）由累加法即可求解； （3）由错位相减法计算求解即可. 【小问1详解】 因为数列的前项和为， 所以当，； 当，； 显然满足， 所以. 【小问2详解】 因为数列满足，，， 所以， 数列的通项公式. 【小问3详解】 由（1）（2）得， 所以数列的前项和， 所以， 所以. 所以. 18. 已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解； （2）（i）利用求导法来求切线方程，再通过同构可得到切点弦方程，然后即可得到定点； （ii）利用联立方程组来求弦长和距离，通过面积公式即可求得函数最小值. 【小问1详解】 已知焦点（）到直线的距离为2， 根据抛物线的性质可知，若标准形式为，则， 解得，故抛物线的方程为： ； 【小问2详解】 （i）设切点，抛物线，求导得切线斜率， 切线方程为：， 同理切线方程为：，因为, 所以，， 因为都满足方程， 所以直线的方程为：， 当时，，故对任意的，直线恒过定点； （ii）将与联立，消去得：， 判别式， 则弦长， 点到直线的距离： 因此的面积： ， 由，当时，取得最小值. 故面积的最小值为. 19. 已知函数存在极值点． （1）当时，讨论的单调性； （2）求b的取值范围并证明； （3）若且，求a的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增. （2），证明见解析 （3） 【解析】 【小问1详解】 由题意，当时，，， 有，， 时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 【小问2详解】 由题意，，， 记，， 所以在单调递增，. 若，则，，无极值点，不符合题意， 若，则，取，则， 所以，使得，即， 且在上单调递减，在上单调递增. 所以 综上，b的取值范围为，并且有； 【小问3详解】 由（2），需， 设，有，则，， 函数，有，所以a关于t单调递增. 而， 即. （i）若，显然成立，此时， 则，即， （ii）若，则 设，则， 记，则，， 所以在单调递减，在单调递增， ， 所以，所以在定义域内单调递增， 所以只需求，使得，则， 即，即， 记，在上恒成立，在单调递增. 又，所以，所以， 所以，所以. 综上， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都外国语学校2025—2026学年度下期半考试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 2．本堂考试120分钟，满分150分； 3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂. 4．考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 的第9项是（ ） A. B. C. D. 以上均不对 2. 某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ） A. 11种 B. 15种 C. 22种 D. 30种 3. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等比数列，公比，前项和为，满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 7. 如图，四边形中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，现将沿折起，当二面角的平面角大小时，直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数的导函数为，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错或不选得0分. 9. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 在上有两个极值点 B. 在处取得最大值 C. 在处取得最小值 D. 在上有三个不同的零点 10. 已知数列中，，，，其前项和为，则（ ） A. B. C. 当取最小值时， D. 数列的前项和为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. ，不等式恒成立，则正实数的最小值为 C. 若方程有两个实数根，则 D. 若，且，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上. 12. 设是函数的导函数，若，则______． 13. 甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 14. 已知椭圆的左、右焦点分别是和，下顶点为点，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 16. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，数列满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 18. 已知抛物线C的顶点为原点，焦点（）到直线的距离为2． （1）求抛物线C的方程； （2）设为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线其中为切点． （i）证明：直线的方程为过定点； （ii）求面积的最小值． 19. 已知函数存在极值点． （1）当时，讨论的单调性； （2）求b的取值范围并证明； （3）若且，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $