精品解析：青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025～2026学年高一第二学期期中教学质量检测数学试题

大通县第二中学2025~2026学年第二学期期中教学质量检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为2. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示方法，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为， 可得，解得. 故选：C. 3. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理，得. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 6. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据的周期性可知，，， 所以， 所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限. 7. 已知为单位向量，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可知，，， 所以，解得， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影向量的坐标为. 8. 如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，，利用正弦定理可得结果. 【详解】在中，则，即． 在中，则，， 由正弦定理得，，所以． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项. 【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误； 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确； 四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误. 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】对于A，设复数，则， 则，为实数，故A正确； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，若，不妨取，则不成立，故C错误； 对于D，，则 ， ，则 ， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据余弦定理和正弦定理和面积公式，判断选项. 【详解】对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以A正确； 对于B，由正弦定理得，所以，所以C为锐角，但A，B可能为钝角，不能确定为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，，，根据正弦定理可知，解得，所以无解，C错误； 对于D，若的面积为S，因为，则，所以，则，由于，则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定信息，利用向量减法的坐标运算求解. 【详解】相对于的位移为. 故答案为： 13. 已知为虚数单位，且，则______. 【答案】-1 【解析】 【详解】由得，即， 所以解得，所以. 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）求与垂直的单位向量的坐标． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）首先求向量的坐标，再代入模的坐标公式； （2）首先求向量的坐标，再根据垂直和模长公式，列方程组求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以． 【小问2详解】 由题意知， 设与垂直的单位向量的坐标为，所以 解得，或，， 即与垂直的单位向量的坐标为或. 16. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 17. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案； （2）由可得答案. 【小问1详解】 将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥， 所以所得几何体的体积； 【小问2详解】 易知圆锥的母线为，所以， ， 所得几何体的表面积. 18. 设锐角的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系，将已知条件化为，即可得； （2）应用余弦定理求得，再应用三角形面积公式求面积； （3）应用正弦定理、三角形内角的性质、三角恒等变换，得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 由正弦边角关系得，所以，又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，解得， 故的面积为. 【小问3详解】 由，得，所以， 因为，所以， 则 因为为锐角三角形，所以，则， 所以，故， 因此的取值范围为. 19. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. （1）用向量，表示，. （2）若，，求的值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算求解； （2）利用向量共线定理求解； （3）将相关向量表示出来，求出向量的模，再利用二次函数性质求最值. 【小问1详解】 由题意可知，， . 【小问2详解】 若，，， 设，，， 则，， ， 因为，不共线，所以，解得， 所以，所以. 【小问3详解】 由题意可知， 若，则， ， 当时，， 则， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县第二中学2025~2026学年第二学期期中教学质量检测 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第3节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 3. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 6. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知为单位向量，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为了测量某楼的高度，测量人员选取了与该楼AB在同一铅垂面内的楼CD，B，C在同一水平直线上，现测得，在楼底B点处测得楼CD的顶点D的仰角为，在点D处测得楼AB的顶点A的仰角为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 正四棱柱的侧面都是正方形 B. 棱台的侧棱延长后交于一点 C. 正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D. 四面体的每个侧面都是等边三角形 10. 已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 为实数 B. C. 若，则 D. 11. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则有两解 D. 若的面积为S，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______. 13. 已知为虚数单位，且，则______. 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，． （1）求； （2）求与垂直的单位向量的坐标． 16. 已知复数，. （1）若复数是纯虚数，求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求的值. 17. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 18. 设锐角的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积； （3）若，求的取值范围. 19. 如图，在等腰梯形中，，，满足，，其中，，与交于点. （1）用向量，表示，. （2）若，，求的值； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $