精品解析：甘肃天水市第二中学等校2025-2026学年高一第二学期期中检测数学试题

2025—2026学年度第二学期期中检测试卷 高一数学 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本期共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 5. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. z在复平面内对应的点位于第一象限 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______. 13. 若，则__________. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 16. 设，，，为平面内的四点，已知，，. （1）若四边形为平行四边形，求点的坐标； （2）若，，三点共线，，求点的坐标. 17. 已知，，且． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 19. 已知，，． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． （3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中检测试卷 高一数学 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本期共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果. 【详解】 ，∴z的虚部为：2 故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 3. 已知，，且，则等于（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的充要条件即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选：C. 4. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得， 解得（舍去），故选D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！ 5. 如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算结合条件即可得答案. 【详解】由已知得 . 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，代入即可求解. 【详解】因为， 由. 故选：D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式化简，再根据特殊角的三角函数值判断的大致范围选择即可 【详解】根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故 故选：B 8. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出. 【详解】在中，，为直角，则， 在中，，，则， 由正弦定理，可得， 在中，，，. 故选：A. 【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（为虚数单位），则（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. z在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对复数分母进行实数化，得到 ，再根据共轭复数、复数的模和复数的几何意义判断选项. 【详解】先对复数进行实数化，则： ，那么 对于选项A：复数的虚部为，故A正确； 对于选项B， 的共轭复数为 ，故B错误； 对于选项C， ，故C正确； 对于选项D，在复平面内对应的点为，横、纵坐标均为正，属于第一象限，故D正确. 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】平方后利用二倍角公式可得 【详解】，， 解得. 故答案为：. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积公式求解作答. 【详解】在中，令，，则， 所以， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求向量与向量的夹角. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解； （2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； （3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 则. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且，且. 可得. 【小问3详解】 设向量与向量的夹角为， 可得， 因为，可得，所以向量与向量的夹角为. 16. 设，，，为平面内的四点，已知，，. （1）若四边形为平行四边形，求点的坐标； （2）若，，三点共线，，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用，可求点的坐标； （2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标. 【小问1详解】 因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 【小问2详解】 因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 17. 已知，，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值； （2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 故， ， 所以． 18. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 19. 已知，，． （1）求函数的解析式； （2）求在上的最大值和最小值． （3）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）最大值，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算规则计算得到展开式，再利用二倍角公式、辅助角公式化简整理，即可得到的解析式； （2）由求出的取值范围，结合正弦函数的性质，即可计算出的最大、最小值； （3）先由​结合B的范围求出角B，再利用余弦定理得到边的关系，结合基本不等式求最大值，进而得到周长最大值. 【详解】（1）由， 则. （2）当时，. 则当（即）时，取得的最大值为1； 当（即）时，取得的最小值为. 故的最大值为，最小值为. （3），即， 为的内角，. 故. . 则. 又，由余弦定理， 得，即 . 由均值不等式得： ， 即 ，从而， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形． 周长最大值：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $