精品解析：甘肃徽县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年徽县第一中学高一下学期 期中考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据乘法运算法则，化简整理，结合纯虚数的定义，即可得答案. 【详解】复数， 因为是纯虚数，所以，解得. 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的共线结论可得. 【详解】因为，，所以，， 由，所以，解得． 3. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于复数，其共轭复数为 ， 故. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的关系求出线段之间的关系，设，则，，再由双曲线的定义可得，，再由数量积为可得直线的垂直，分别在两个直角三角形中由余弦定理可得，的关系，可求出离心率． 【详解】，设，则，， 由双曲线的定义可得，， 因为， 在中，由余弦定理有， 即，① 在中，由余弦定理有， 即，② 由②可得，代入①可得，即. 所以C的离心率为：， 故选：A. 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 6. 在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算计算即可. 【详解】是的中点，， 又， 从而得到，进而可知. 7. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设有， 故，故，即. 8. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　) A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等 【答案】D 【解析】 【详解】正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A. B. 复数对应的点在第二象限 C. D. 复数是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数模公式，共轭复数概念，复数乘法，复数对应点坐标，复数方程根逐项分析即可. 【详解】对于A，因为复数，所以，故A正确； 对于B，因为复数， 所以对应的点为位于第四象限，故B错误； 对于C，因为复数， 所以，故C正确； 对于D，因为复数， 所以，故D正确. 10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的数量积以及向量运算逐项验证即可求解. 【详解】由题意得，所以， 所以，故A错误； 由，所以，故B正确； 又， 所以，所以， ，故C错误； ， 当时，，所以的最小值为，故D正确. 11. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ） A. 正三棱锥与圆柱的体积的比值为 B. 正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于 C. 正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D. 正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 【答案】BC 【解析】 【分析】分别计算正三棱锥和圆柱的体积、侧面积，求解判断A、B；分别计算正三棱锥和圆柱的外接球、内切球的体积和半径，求解判断C、D. 【详解】如图，设点在底面ABC内的射影为点，连接CH，则， 则. 正三棱锥的侧面积为. 设正三棱锥的外接球的球心为，外接球的半径为，则在直线SH上， 由，得.设正三棱锥内切球的半径为，则. 对于A：圆柱的体积为，A错误； 对于B：圆柱的侧面积为，B正确； 对于C：圆柱外接球的半径，C正确； 对于D：圆柱内切球的半径，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________． 【答案】2 【解析】 【详解】设，. ，，即. . 13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】的内角的对边分别为. ， 利用正弦定理可得， 由于， 所以， 所以，则或 由于，故为锐角，所以， 由，得，解得， 所以. 14. 平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】以为圆心，为半径画圆，观察能使平面凸四边形有且只有1个的点个数，再求解 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，是直角三角形，， ， ， 如下图，设点到的距离为，，要想构成平面凸四边形，必有， 当，满足条件的平面凸四边形恰好只有1个， 如下图，当，满足条件的平面凸四边形有且只有2个，舍去， ③如下图，延长交于，由图可知， ， 由正弦定理得： 计算得， ， ， 综上所述：的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，（）． （1）当时，求函数的对称中心； （2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的性质求出； （2）先求出的解析式，再利用辅助角公式化简，再将问题转化为求的最值即可； （3）先求出的解析式，求出值域，再将问题转化为对任意的，都有，令，得出对任意的恒成立，再利用参变分离求出即可. 【小问1详解】 当时，， 令，得， 故函数的对称中心为； 【小问2详解】 因为为偶函数，所以， 因为，所以，则， 则 ， 若，则，则， 因为不等式在上恒成立， 所以，， 得， 故实数m的取值范围为； 【小问3详解】 因为过点，所以， 因为，所以，则，得， 即， 因为，所以，则， 因为对任意的，，都有， 所以， 则对任意的，都有， 则， 令，则对任意的恒成立， 若，则恒成立； 若，则， 因为在上单调递减， 所以，则，即； 若，则， 因为在上单调递减， 所以，则， 即； 综上，实数a的取值范围是. 16. 如图，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）若点是线段上的动点（含端点），当时，求的取值范围； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量坐标运算法则计算可得结果； （2）以，为基底表示出，再由向量数量积的运算律计算可得结果； （3）将不等式 转化为关于的二次函数形式，利用判别式即可求出的取值范围，可得其最大值. 【小问1详解】 由，，可得 ；； 【小问2详解】 若，则， 设，， ， ， ； ，． 【小问3详解】 由 对恒成立，即恒成立； ， 对恒成立， 即对恒成立， ， 即 ，所以的最大值为. 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，与点重合 【解析】 【分析】(1)利用线面垂直证明线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值为时点的位置. 【小问1详解】 如图：取中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为中点，所以. 又为正三角形，所以 平面，所以平面 又平面，所以 【小问2详解】 设中点为，连接，则， 又侧面底面，侧面底面侧面， 所以底面 又底面，所以 又，所以两两垂直， 故可以为原点，所在的直线分别为轴建立如图空间直角坐标系. 因为三棱台两底面间的距离为，即， 又三角形为正三角形，且， 则，设， 则 设平面的法向量为，则， 可取 设直线与平面所成的角为， 则 由 所以，故或（因为，故舍去），此时与点重合， 所以当与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 若，是两个非零向量，求证：当时， 最小. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】当与垂直时， ，即， 又，是两个非零向量， 所以； 所以 ， 所以当时， 取得最小值， 所以时， 的值最小. 19. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年徽县第一中学高一下学期 期中考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 2. 已知，，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 0 D. 4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的左、右支分别交于点P、Q.若，且，则C的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 5. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知向量满足，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　) A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ） A. B. 复数对应的点在第二象限 C. D. 复数是方程的一个根 10. 已知为两个互相垂直的单位向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 11. 已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，则（ ） A. 正三棱锥与圆柱的体积的比值为 B. 正三棱锥与圆柱的侧面积的比值小于 C. 正三棱锥外接球的体积与圆柱外接球的体积相等 D. 正三棱锥的内切球与圆柱的内切球的半径的比值小于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________． 13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________. 14. 平面凸四边形中，，，，，若满足上述条件的平面凸四边形有且只有1个，则的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，（）． （1）当时，求函数的对称中心； （2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 16. 如图，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）若点是线段上的动点（含端点），当时，求的取值范围； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 17. 如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且，设为棱上的点. （1）若为棱的中点，求证； （2）若三棱台两底面间的距离为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 18. 若，是两个非零向量，求证：当时， 最小. 19. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $