2026届高考数学押题预测密卷（二）

**基本信息** 聚焦高考三轮冲刺，以函数、数列、概率等核心知识为载体，通过游戏情境、立体几何翻折、导数拐点等创新设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数、向量、数列、概率|基础与能力梯度分布，如第5题区域分配考查计数原理| |多选|3/18|统计、椭圆、导数|结合生活情境，如第9题复习效果检测考查数据特征| |填空|3/15|二项式、椭圆离心率、函数计数|创新设问，如第14题集合函数计数考查逻辑推理| |解答|5/77|数列、立体几何翻折、概率游戏、函数导数、等比数列与双曲线综合|综合性强，如第17题游戏奖金期望考查数学建模，第19题跨知识综合考查数学眼光|

2026届高考数学押题预测密卷（二） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，则， 所以， 所以． 故选：D． 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得，所以， 所以． 4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 【答案】D 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 5．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 【答案】C 【详解】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲， 剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲， 剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：； 故共有种方法. 6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ） A．，互斥 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，，故B，D均正确； 因为，故C错误.故选：C. 7．函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 【答案】C 【详解】由解得，所以的定义域是. 由两边平方并化简得， 即，所以表示以为圆心，半径为的半圆.由得，的零点，也即与半圆的交点的横坐标， 与半圆的图象都关于直线对称， 画出与半圆的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称， 所以的零点和为. 故选：C    8．在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 设，由得，化简得， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆，在中，，， 由余弦定理得， 又因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以， 因为在上单调递减，所以当时， 最大，此时，由 可得，所以是直角三角形，且， 所以，可得的外接圆的圆心即为的中点， 所以，圆的方程为， 由得，或， 即， 所以. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（   ） A．函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B．三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C．数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D．立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 【答案】AC 【详解】对于选项A，假设函数内容有一道题失分大于等于8分， 则由极差为4可知，函数内容失分最少的题的失分数据大于等于4， 则失分记录的中位数不可能为3，与题设中位数为3矛盾，故假设不成立， 所以函数内容每一道题失分都不超过7分， 故函数内容为“复习效果达标内容”，所以A正确； 对于选项B，设三角内容这10道题失分记录为0，0，1，1，2，2，2，2，8， 满足题设失分记录的平均数为2，众数为2的条件， 由定义知三角内容不是“复习效果达标内容”，所以B错误； 对于选项C，设数列内容这10道题失分记录从小到大依次为 ， 则由平均数为3，方差为2.4可知，， 从而，若，则， 所以，故数列内容为“复习效果达标内容”，所以C正确； 对于选项D，设立几内容这10道题失分记录为0，0，0，0，0，0，6，6，6，12， 满足题设平均数为3，第65百分位数为6的条件， 由定义知立几内容不是“复习效果达标内容”，所以D错误； 故选：AC 10．已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上， 对于A，当在左右顶点时，最小，为0，当在上下顶点时，最大， 此时，则，而， 因此不存在点，使得，故A错误； 对于B，设，为弦的中点，有 两点在椭圆上，有，两式相减得， 可得，， 所以直线的斜率为，B选项正确； 对于C，设的内切圆半径为，则， 则当最大时，最大，又，， 所以，则， 所以内切圆半径的最大值为，C选项正确； 由椭圆的定义知，，得， 点在椭圆内，有， 所以， 当三点共线且在之间时等号成立，所以D选项错误. 故选：BC 11．已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C．点是曲线的对称中心 D．若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【详解】由函数，可得，且， 对于A：当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 且当时，，当时，， 所以函数的值域为，所以A正确； 对于B，函数在单调递减，在单调递增，所以B错误； 对于C，令，可得，解得，且， 所以点是曲线的对称中心，所以C正确； 对于D，由在单调递增，在单调递减，在上单调递增， 所以函数的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，， 要使方程有三个不同实根，即方程有三个不同实根， 即函数与的图像有三个不同的交点，所以， 所以实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13．已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________ 【答案】 【详解】如图：延长交直线于．由题可知， ，则，， 因为，，所以，则.，故答案为：. 14．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 【答案】 【详解】由可知，函数的值域中的任何元素y都满足.因为值域非空，所以1必在值域中，即.若仅有，则对任意，有. 此时对于，令，则.而，这与仅有的假设矛盾. 故中至少有一个元素的函数值为1. 具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1，又，则另外4个中应有3个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，又，则另外4个中应有2个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，又，则另外4个中应有1个函数值为1有种， 如，依题意都只能取2，有1种情况，此时有种情况； 综上所述，这样的函数的个数共有个. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求； (2)记数列的前n项和为，且．若对，，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据条件得 ， 化简得： ① 根据条件得： ， 化简得：​ ② 联立①②解得： ， 因此： ； （2）由题意，， 当时，, 当时，， 计算得： ，， 时，，符合， 故 原不等式整理得： ， 化简左边： ，由于， 不等式等价于： ， 令​， 设 ， 求导得， 可知时，，单调递增， 当​时，，单调递减， 故对数列， ，，当时递减，因此的最大值为， 故，即的取值范围是 . 16．如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【详解】（1）如图，取中点为E，连接，， 因为，，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）因为为等腰三角形，，即， 所以，因为为等边三角形， 所以，故，， 因为，则，即，又，， 所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系, 则，，， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，得， 设，所以，则，故， 设平面的法向量为，， 则，即，取，得， 所以， 令，则，所以， 因为时，，所以， 所以. 17．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 【详解】（1）由题意知，游戏Ⅰ第局获胜的概率. （2）易知, 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，则第局和第局均未获胜的概率为， 因此可知, 随机变量的分布列为 0 1 2 3 随机变量的期望或. （3）应该参加游戏Ⅱ，理由如下： 记分别为一次参加游戏Ⅰ,Ⅱ所获奖金总额， 游戏Ⅰ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 游戏Ⅱ第局获胜的概率为，第局获胜的概率为，第局获胜的概率为， , 从奖金期望角度来看，应选择参加游戏Ⅱ. 18．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 【详解】（1）当时，函数，求导可得， 则有, 则在处的切线方程为，即. （2）易知， 当时，，故恒成立，在上单调递增； 当时，令，解得, 当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可知时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）不等式即为， 即对任意的恒成立，设，易知，令，则，因为，所以, 因此，因此在上单调递增； 又， 当时，即时，，即在上恒成立， 因此在上单调递增，所以恒成立，满足题意； 当时，，由可得； 此时， 易知当时，， 即在上单调递减，所以存在，这与对任意的恒成立矛盾， 综上可得的取值范围为. 19．已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． (1)求的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 【详解】（1）因双曲线的离心率为2，故， 即，故公比． 在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长）， 得是的一个焦点，故，即，解得， 故． （2） 由（1）知，， 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 将代入中整理得，， 且，，． 的平分线垂直于轴，， 得，即， 将，，和代入整理得，， 或（舍，此时直线过），． （3） 直线的方程为，到直线的距离， ， 的面积， 或（舍），， ，，， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学押题预测密卷（二） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 5．高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（    ） A．108 B．120 C．126 D．144 6．甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ） A．，互斥 B． C． D． 7．函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 8．在中，已知，．记点的运动轨迹为曲线，的外接圆与曲线交于两点．当取最大值时，（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．天道酬勤，主动学习方能追求卓越.高三年级的小艾同学决定对函数、三角、数列、立几这四个内容的复习效果进行一次自我检测，每个内容各准备了10道典型题目.做完后对照答案记录每道题的失分（均为非负整数）情况，若某内容每道题失分都不超过7分，则认定该内容为“复习效果达标内容”，已知四个内容失分情况的相关数据信息如下，则一定为“复习效果达标内容”的是（   ） A．函数内容的10道题失分记录的中位数为3，极差为4 B．三角内容的10道题失分记录的平均数为2，众数为2 C．数列内容的10道题失分记录的平均数为3，方差为2.4 D．立几内容的10道题失分记录的平均数为3，第65百分位数为6 10．已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 11．已知有如下定义：设是的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称点，为函数的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.若三次函数，则下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．在区间上单调递增 C．点是曲线的对称中心 D．若方程有三个不同实根，则实数的取值范围为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13．已知，是椭圆的两个焦点，为第一象限内椭圆上的一个动点，为的内心，过作直线的垂线，垂足为，若，则椭圆的离心率___________ 14．已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求； (2)记数列的前n项和为，且．若对，，求k的取值范围． 16．如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． (1)证明：； (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 17．某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. (1)求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； (2)若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； (3)从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 18．已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在R上的单调性； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围. 19．已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． (1)求的通项公式； (2)求直线的斜率； (3)当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 2 学科网（北京）股份有限公司 $