2026年全国高考猜题压轴密卷 数学试题(3)

▣甘 绝密★启用前 2026全国高考猜题压轴密卷（三） 数学 全卷满分150分考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.请按照题号顺序在各题的答题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 如 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 敏 合题目要求的， 1.已知集合A={xy=ln(1-4r2),B={zg<3*<3,则 长 A.1∈A B.-2∈B 区 C.-1∈A∩B D.2∈AUB 2.若(2十3i)(ai-1)(a∈R,i为虚数单位)为纯虚数，则a= 将 A-号 R号 c-号 D 3.若用半径为4cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为 中 A.2√3πcm B.83 3πcmi C.4 3πcm D.8πcm 4.若e1,e2是两个互相垂直的单位向量，则a=√3e1+e2与b=一e1十√3e2的夹角为 A.309 B.60° C.90° D.120° -2x+b 5.已知定义域为R的函数f(x)=2+a 满足f(x)+f(一x)=0,则a十b= A.3 B.2 C.1 D.0 6,如图所示，在A,B间有四个焊接点1,2,3,4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导 致电路不通的情况的种数为 A.9 B.11 C.13 D.15 数学（三） 第1页（共4页） 已知椭圆C:+兰1（≥D的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,点M在C上， 3t △MAF2周长的最大值为8，则C的焦距为 A.3 B.3 C.1 D.2 8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足sin2A+sin2B+sin2C=2,且△ABC的 面积为4，则△ABC的外接圆半径为 A.1 B.√2 C.2 D.2√2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9已知两数fz)-5cos2x-号in2x,则 A.f(x)的最大值为2 Bf(x)在区向[一是登]上为减函数 C.将f(x)的图象向右平移2个单位长度后所得的图象关于y轴对称 D.若3x,x∈R,使得f(x)f(x)=-2,则|x一x的最小值为受 10.已知函数f(x)=(x-1)lnx,则 A.f(2)<f2) B.f(x)有两个零点 C.f(x)在区间(1，十∞)上单调递增 D.x轴是曲线y=f(x)的切线 11.已知随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 … n P P P2 P3 4 P 若数列{Pn}是等差数列，则 A.若m为奇数，则P(X="士）=引 B.P,=1-nP n C.若数列{Pn}单调递增，则nP<1 D.E(X)=n+1)·(4-nP) 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知sin0+sin(g-3)-1,则sin(0+若）- 得分 13,已知双曲线C:乙-￥1(@>0，b>0)的右焦点为F,一条渐近线被以点F为圆心，2a为半 径的圆截得的弦长为2a,则双曲线C的离心率为 得分 14.设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),其中0<a<b<c,若f(x-1)·f(4-x)≤0，则2也+ 4如的最小值为 得分 数学（三）第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 得分 某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率y%与土壤的湿度x%的相关数据如下表： 40 45 50 55 60 y 50 56 64 72 83 (1)求y关于x的相关系数r(精确到0.001)，并判断它们是否具有较强的线性相关关系？ (如果|r≥0.75，则认为y与x的线性相关性很强) (2)求y关于x的经验回归方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率y%的值. 参考公式及数据：对于一组数据(x1y1),(x2y2),…,(x,y),经验回归方程y=6x十 Q的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为名= 二，a=y-6x,相关系数r= 2xy:-nx V2x-n(x)'][3-n 含xy=1660,2x-5()2=250,2y-5(5)2= 680,170000≈412. 16.(15分) 得分 已知公比q≠1的等比数列{an〉，其前n项和为Sm,且a1=1,2Sm=Sm+1十Sm+2. (1)求{an}的通项公式， (2)求2a1+5a2十8a3+…+(3n-1)am 17.(15分) 得分 已知圆N:(x一3)2+y2=25,抛物线G:y2=2px(p>0)的准线与圆N相切，过抛物线焦点 F的动直线l与抛物线交于A,B两点，线段AB的中点为M. (1)求抛物线G的方程； (2)当MN⊥x轴时，求直线l的斜率； (3)求证：|AB|一2|MN为定值，并求出该定值. 数学（三）第3页（共4页） 18.(17分) 得分 在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=BD=2,AB⊥BD,将△BCD沿BD翻折至 △BPD,其中P为动点. (1)设AP=AD, (i)证明：AB⊥平面BPD; (iⅱ)求三棱锥P一ABD的外接球体积 (2)求直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值， 如 19.(17分) 得分 已知函数f(x)=asin x-ln(l+x),a∈R. (1)若a为正实数，x∈（一1,0]时，都有f(x)≥0，求a的最大值； 数 (2)证明：sin<h10: (3)若函数g(x)=e+1-ln(x十l)的最小值为m,证明：方程e1+x-m一ln(1十x)=0有唯一 的实数根。 数学（三）第4页（共4页）2026全国高考猜题压轴密卷（三） 数学·参考答案 题号 1 2 3 4 45 6 7 8 9 10 11 答案 D B C A D C BCD ACD ACD 1.D由题意有：A={:-号<x<},故1EA,故A错误；B=x-2<x<1),放-2EB,故B错误： AnB={z-号<x<号，放-1EAnB,放C错误AUB=(z-2<x<1),所以号∈AUB,故D正 确.故选D. -2-3a=0, 2.C(2+3i)(ai-1)=-2-3a+(2a-3)i,因为a∈R,且(2+3i)(ai-1)为纯虚数，所以 2a一3≠0 =-子放选C 3.B由题设，所得圆锥的底面周长为号×2X4x=4rxcm,易知圆锥的底面半径为2cm,母线长为4©m,所以圆 锥的高为，V一7=25m,故圆维筒的体积为号×25X4-8em.故选B 4.C由题可知e1·e2=0,e|=e2|=1,所以a·b=(3e1+e2)·（-e1+√3e2)=-√3e12+3e1·e2 e1·e2十√3e22=0,所以a⊥b.故选C 5.A因为函数f()定义域为R且f()+f(-)=0,所以函数f(x)培是奇函数且f(0)=0,即 f0)-会}-0，所以6=1，又f)+f(-1)=0,所以2岩+多君-0，所以a=2,即a+6-8放 选A 6.C按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有{1}，{4}共2种情况，若脱落2个，则有(1,2}， {1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}共6种情况，若脱落3个，则有{1,2,3}，1,2,4》，{2,3,4}， {1,3,4}共4种情况，若脱落4个，则有{1,2,3,4》共1种情况，由分类加法计数原理，情况种数共有2+6+ 4+1=13种.故选C. 7.D由椭圆的定义知|MF2|=2a-|MF|,|AF2|=|AF1|=a,所以△MAF2 的周长为|MA|+|AF2|+MF2|=MA|+a+(2a-|MF1|)=3a+ |MA|-|MF1|,则|MA-|MF1|≤|AF=a,当且仅当M,A,F1三点共线 时，等号成立，所以3a十MA|一MF1≤4a=8,解得a=2,由椭圆方程可知 g-普号则=3，所以2c=2-可-2.故选D 8.C因为2A+2B+2C=2r,所以sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C,又sin2A+sin2B+sin2C=2,所 sin 2A+sin 2B+sin 2C=sin 2A+sin 2B-sin (2A++2B)=sin 2A++sin 2B-sin 2Acos 2B-cos 2Asin 2B =sin 2A (1-cos 2B)+sin 2B (1-cos 2A)=2sin 2Asin2B+2sin 2Bsin2A =4sin Acos Asin2B+ 4sin B cos Bsin2A=4sin Asin B(cos Asin B++-cos Bsin A)=4sin Asin Bsin(A+B)=4sin Asin Bsin C=2, 数学（三）参考答案第1页（共6页） 所以sin Asin Bsin C=7,因为S=2 absinC=-号·2 RsinA:2 Rsin B·snC=2 BinC=R2- 4,所以R=2.故选C 9.BCDf)写os2z-竖n2z=区cos(2z+若），放最大值为反，A错误z∈[-是]，2z+吾∈ [0,],故f(x)在[-是，]上为减函数，B正确；将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到g() 2c0s(2(x-亚)+若)=√2cos2x的图象，关于y轴对称，C正确；因为fx)的最大值和最小值分别为V2 和一√2，又f(x1)f(x2)=一2，所以f(x1),f(x2)中一个为最大值，一个为最小值，所以|x1一x2|的最小 值为=受，D正确，故选BCD, 10.AcD由于f)=x-1Dnx,>0,则f(号)=-n合-2h2,f2)=ln2,由于h2>1n1=0,则 f(7)<f(2),故A正确；令f(x)=(x-1)1nx=0,解得x=1,所以fx)有一个零点，故B错误；因为函数 y=x-1和y=lnx在(1，+∞)上单调递增，且x>1时，x-1>0,lnx>0,所以函数f(x)在(1，+∞)上单 调递增，故C正确：由(x)=nx+(x-1)·1=lnx+1-1,则f(1)=0,由B知，f(x)有一个零点1， x 即f(1)=0,所以f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=0,故D正确.故选ACD. 1.ACD由数列R,是等差数列且P,十P十…十P.=1,得BP)-1,所以P,十P.=名对于A,当 为奇数时，P(X="士)=B士=放选项A正确对于B,由A十P,=是得P,=2,放选项B 2 P+P=2 错误；对于C,若数列{P.}单调递增，则 '可得P<,故nP<1,故选项C正确：对于D,由 (Pi<P, R=[B+-1)]=知，+d-d,其中d=号=名2品所以E(X)-含机 n-8 (P,-d)(1+2+3+…+n)+正(a2+2+32+…+m2),因为1+2+3+…+n=nm+1D,12+2+3+ 2 …+m=nn+1）.2m+1D,所以E(X)=n(mt1.(P,-d)+n(n+1)(2m+12.d=n(n+1). 2 6 [3那-3d+(2a+1)d]-aa时.[3即+2ca-1)d]=aa·[3p+2a-1)·号] 6 n(n十1).4-nP=(n+1)C4一nP）,故选项D正确.故选ACD. 6 12.-9因为sm叶s如(g-号）=h9叶sn0-9os0=名如0-号cos0=5n(0-吾）=1，所以 sin(0-晋）=号，放sim(0+晋）=sin(x+g-吾）=-sim(0-吾）=-写 13.2渐近线方程为bx士ay=0,:点F到渐近线的距离为 bc =b,∴.b+a2=4a2,即b=√3a,所以e= Va+b W1+(合)=2. 数学（三）参考答案第2页（共6页） 14.5令g(x)=-f(4-x)=-(4-x-a)(4-x-b)(4-x-c)=(x十a-4)(x+b-4)(x十c-4),因 为f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)的零点为a,b,c,可知y=f(x一1)的零点为a+1,b+1,c+1,y=g(x)的 零点为4-a,4-b,4-c,又因为0<a<b<c,则1<a+1<b+1<c+1,4>4-a>4-b>4-c,若f(x-1) ·f(4-x)≤0，即f(x-1)·[-g(x)]≤0，则f(x-1)·g(x)≥0，可知y=f(x-1)的零点与y= fa+1=4-c, g(x)的零点相同，则b+1=4-6,可得26=a+e=3,则2+如-士+0=+0+1≥2√日 4a+ a c a c (c+1=4-a 1=5,当且仅当S=如，即c=2a=2时，等号成立，所以2功+如的最小值为5. a a 15.解：1)由题知元=号(40+45+50+5+60)=50,5=号(50+56十64+72+83)=65，…2分 所以y关于z的相关系数=1660-5X50X65≈9≈0.95,5分 √250×680 412 所以x与y具有较强的线性相关关系. ……………………………6分 2xy:-n元可 (2)6= 16660-5×50×65-41 250 5 …………………………………8分 则2=65-41X50=-17,…… 25 ………………4…10分 所以y关于x的回归直线方程为-是一17， ……………………………11分 当=70时，9-号×70-17=97.8 所以当士壤的湿度为70%时，种子的发芽率的预测值为97.8%.……………13分 16.解：(1)S=a1-g) 1-q 因为2S.=S+1+S+2,所以2×a11-g2=411-q1)+a1(1-q+) 1-9 1-g ,…………………2分 1-q 化简得g2+q一2=0，即(q一1)(g十2)=0，解得q=一2或q=1(舍去)，…5分 所以a=a1q-1=（-2)-1.…7分 (2)由(1)得an=（-2)-1,设Tn=2a1+5a2+8ag+…+(3n-1)am, 则T,=2+5×(-2)+8×(-2)2+…+(3n-1)(-2)-1①， -2Tm=2×(-2)+5×(-2)2+8×(-2)3+…+(3n-1)(-2)"②， …………………10分 由①-②得3T.=2+3×(-2)+3X(-2)2+3×(-2)3+…+3X(-2)-1-(3n-1)(-2)” =2+3×(-2)[1=-2)1-(3m-1)(-2) 1-(-2) =2-2[1-(-2)-1]-(3n-1)(-2)"=-3n(-2)" ………………13分 可得T.=-n(-2)",即2a1-5a2十8ag-…+（-1)-1·(3n-1)an=-n(-2)".…15分 17,解：1)由题意可得，圆N的圆心为N(3,0),半径为5，且抛物线的准线为x=一号，与圆N相切，则 3-(-号)=5， ……2分 数学（三）参考答案第3页（共6页） 因为>0，解得p=4,故抛物线的方程为y2=8x。………………4分 (2)设点A(x1y1),B(x2,y2),M(xoyo), 显然直线AB的斜率不为零，设直线l的方程为x=ty十2， (x=ty+2, 联立 可得y2-8ty-16=0,则△=642+64>0， y2=8x, 由韦达定理可得y1十y2=8t,y1y2=一16， …………………………………………6分 则0=当十2=4红，x0=0十2=4+2，即点M(42+2,4),…7分 2 因为MN1x轴，则4=+2=3解得1=士之， 因此，直线1的斜率为}=土2. t …………………9分 (3)证明：由抛物线焦点弦长公式可得|AB=x1十x2十4=t(y十y2)+8=8(t2十1)，…11分 由(2)可得MN|=√(4t2+2-3)2+16t2=√16t+8t2+1=42+1,…13分 所以|AB|-2MN|=8(t+1)-2(4+1)=6.…15分 18.解：(1)(I)证明：在△ABD中，AB=BD=2,AB⊥BD,所以AD=2√2. 因为AP=AD=2√2，AB=PB=2,所以AB2十PB2=AP2,所以AB⊥BP.…2分 又因为AB⊥BD,BP,BDC平面BPD,BP∩BD=B, 所以AB⊥平面BPD.… ………4分 ()因为AB⊥平面BPD,且△BPD为正三角形，作右图， 设三棱锥P一ABD的外接球的球心为O,连接AO,延长交球面于H, 过O作OO'∥AB交平面BPD于O', 则△ABH为直角三角形， 所以O为斜边AH的中点，BHC平面PBD,BH为△PBD的外接圆的直径， D 所以，OO为△ABH的中位线，O为小圆圆心，则O为BH的中点， 圆9-g票=则0H=0名2200号AB=1………6分 3 则球的半径R=0H=√0+0F-√+号= 3 ……8分 所以三校锥P-ABD的外接球体积为等R28 27 ……10分 (2)如图，建立以B为原点的空间直角坐标系，设二面角P一BD-A的平 面角为0(0≤≤π)， 则A(2,0,0),B(0,0,0),D(0,2,0),P(W3cos0,1√3sin0). 所以AP=(√3cos0-2,1W3sin0),平面ABD的一个法向量为n= B D Y (0,0,1).… …12分 A 设直线AP与平面ABD所成角为a, 数学（三）参考答案第4页（共6页） 则sina=cos(AP,n〉|= √3sina 3 sin 0 ……14分 (3cos 0-2)+1+(3sin 0) √/8-4V3cos0 设y= √3sin0 3(1-cos20) V8-4/3cos 0 8-43cos0 设8-4w3cos0=t(8-4√/3≤t≤8+4w3), 所以y=1-6<1-2√·品-合当且仅当=4，os0=停时取等号，……16分 3 即n<号 所以直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值为号。 ………………………………………17分 19.解：（心f(x)=a60o8x-2(-1<x<0)且a为正实数，…1分 令p(x)=acos中市（-1Kx≤0)，则p(x)=-asin+(z+1)≥0(-1Kx≤0)恒成立， 1 1 ∴.函数f(x)在区间（一1,0]上单调递增，且f(0)=a一1.… ……2分 ①当0<a≤1时，f(x)≤f(0)≤0，所以函数f(x)在(-1,0]上单调递减，此时f(x)≥f(0)=0,符合题意. ………3分 ②当a>1时，f0)=a-1>0,f(}-1)=acos(日-1）-a<a-a=0,由零点存在定理，3x,∈(-1， 0),使得f(x0)=0,即函数f(x)在（一1，xo)上单调递减，在(x。,0)上单调递增，所以当x∈(xo,0)时， 有f(x)<f(0)=0,此时不符合题意.… ………………………………………………4分 综上所述，正实数a的最大值为1，……………………5分 (2)证明：由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx>ln(1十x),……6分 令x=-(=2,3,…,10)时，有sn(←)>n(1-）=lh,即sin}<n高 …8分 累加得，n<(停×号×号×…×9）=n10.…10分 (3)证明：因为g(x)=e+1-ln(x+1),所以g'(x)=e+1 十，即函数g'(x)在(-1，十∞)上单调递增， 1 又g0)=e-1>0,g(-2）-6-2<0, 由零点存在定理，3五（-号0），使得g()=0,即1=五十…1分 因此十1=l加十=-1n(十1)，而函数g)在(-1，)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 西+7+ln1 所以m=g(x)m=g(x1)=e+1-ln(x+1)= 0+1十1+十1，…12分 1 由于对勾函数y=+在（分，1）上单调递减， 故∈（号0），则+1（合），因此++1e(2,), 数学（三）参考答案第5页（共6页） 即m∈(2，） 13分 要证方程e+zm-ln(1十x)=0有唯一的实数根， 只要证方程e+:一e”1n(1十x)=0有唯一的实数根.…14分 设H)=e-eln1+x)(2<m<号)，则H(x)=e-1年z em 所以函数H(x)在(-1，十oo)上单调递增，又H(0)=e-e<0,H(m-1）=(m-1D>0, m 由零点存在定理，3∈(0，m-1),使得日(x)=0,即e+=1十 …15分 因此m=1++h1+)又m中+n x1+1 设m(x)=x+lnx,则函数m(x)在(0，十c∞)上单调递增， 于是1十x?=1十 ,…16分 又x,+1=-h(x+1),故n(1+x)=ln1 1 -=-ln(1+x1)=1+x1, 而函数H(x)在（一1，x2)上单调递减，在(x2,十∞）上单调递增， H)=H()=e-ela+)=e[,h(1+)]=e[1+-1+)]=0, 即函数H(x)有唯一零点x2,故方程e+m一ln(1十x)=0有唯一的实数根.…17分 数学（三）参考答案第6页（共6页）