精品解析：甘肃兰州新区贺阳高级中学等校2025-2026学年高一下学期期中数学试卷

高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册至必修第二册第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以 ，故B正确． 2. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】． 3. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为 ，所以的共轭复数为 ，故D正确. 4. 已知向量，，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合数量积的坐标运算，根据数量积的几何意义可得. 【详解】因为，，所以， 所以在方向上的投影为． 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得．因为， 所以， 得． 7. 某游艇从A地出发向北航行了一段距离到达B地，然后从B地向东偏南60°方向航行了40km到达C地，且C地在A地北偏东20°方向上，则A地与C地之间的距离为（取）（ ） A. 30km B. 50km C. 60km D. 80km 【答案】C 【解析】 【详解】如图，由题意得 ． 由，得． 8. 函数的图象经过点，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点坐标可得，且，分别为函数的图象上最高点和最低点及的最小值可得. 【详解】由，得． 因为，且的最小值为，且点为最高点，为最低点，如图: 所以，得，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知奇函数在上单调递减，且 ，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由题意得 ，因为在上单调递减，所以，得 ，故BC正确. 10. 已知点，向量，且是直角三角形，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】以分别为直角时，再用向量的数量积计算可得. 【详解】因为，所以，． 当为直角时，则，得； 当为直角时，则，得． 当为直角时，，不符合题意． 11. 已知的内角的对边分别为，且 ，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 若为的中线，则 D. 若为的角平分线，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为 ，所以，A正确． 由 ，得．由余弦定理，得， 所以的周长为，B正确． ，得 ，C错误． 由，得，得，D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业8名员工的年收入（单位：万元）分别为5.2，6，6.4，7.5，8，8.3，9，10，则这组数据的第25百分位数为______万元． 【答案】6.2 【解析】 【详解】因为，所以这组数据的第25百分位数为万元． 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式和倍角公式，代入即可求解. 【详解】因为，所以． 14. 若向量满足，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【详解】设与的夹角为，由 得 两式相加得＝1，则，则，得． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求△ABC外接圆的面积； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，进而求出面积； （2）利用余弦定理求出，再用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 设外接圆的半径为R，由正弦定理， 得，所以外接圆的面积为． 【小问2详解】 由余弦定理， 得，得（负根舍去）． 故的面积为． 16. 已知复数 ． （1）若为实数，求m的值； （2）若为纯虚数，求； （3）证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据实数的定义即可求解； （2）根据纯虚数的定义即可求解； （3）根据复数的几何意义即可证明. 【小问1详解】 ， 因为为实数，所以 ，得． 【小问2详解】 因为为纯虚数，所以 解得．故 ． 【小问3详解】 ． 因为 ， 所以在复平面内对应的点位于第四象限． 17. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）已知，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由辅助角公式将函数化为一个角的三角函数，再由正弦函数的性质可得； （2）根据所给函数值得，再由同角三角函数关系式及两角和的余弦公式可得. 【小问1详解】 因为． 由，得，则， 得．故在上的值域为． 【小问2详解】 由，得． 由，得，所以， 故． 18. 如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点． （1）用表示． （2）求． （3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）是定值， 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算进行表示； （2）由（1）及向量的数量积的运算律和定义求解； （3）在圆O上任取点P ，得，，再由得到为定值. 【小问1详解】 ． ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 如图，在圆O上任取点P，连接AP，BP，CP，DP，OP，BO，CO，DO， 易得． 因为，所以． 同理可得． 因为， 所以 . 19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求a． （2）已知． （i）证明：． （ii）求的最大值． 【答案】（1）a＝2 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，求解即可； （2）（i）证明：利用两角和正弦公式，二倍角公式以及同角三角函数的基本关系变换证明即可； （ii）根据（i）及三角恒等变换求出，再求出，利用余弦定理建立不等式，结合基本不等式求出bc的最大值. 【小问1详解】 由正弦定理可得，结合已知条件，可得，故. 【小问2详解】 （i）证明： ， 得 则，得 ，得． （ii）解：． 因为， 所以（当且仅当B＝C时，等号成立）， 所以 由余弦定理得，得 又（当且仅当b＝c时，等号成立）， 所以（当且仅当时，两个等号同时成立）， 得，故bc的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册至必修第二册第三章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 3. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则在方向上的投影为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 某游艇从A地出发向北航行了一段距离到达B地，然后从B地向东偏南60°方向航行了40km到达C地，且C地在A地北偏东20°方向上，则A地与C地之间的距离为（取）（ ） A. 30km B. 50km C. 60km D. 80km 8. 函数的图象经过点，且的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知奇函数在上单调递减，且 ，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，向量，且是直角三角形，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的内角的对边分别为，且 ，为线段上的一点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的周长为 C. 若为的中线，则 D. 若为的角平分线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业8名员工的年收入（单位：万元）分别为5.2，6，6.4，7.5，8，8.3，9，10，则这组数据的第25百分位数为______万元． 13. 已知，则的值为______． 14. 若向量满足，，则与夹角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求△ABC外接圆的面积； （2）若，求的面积． 16. 已知复数 ． （1）若为实数，求m的值； （2）若为纯虚数，求； （3）证明：在复平面内对应的点位于第四象限． 17. 已知函数． （1）求在上的值域； （2）已知，且，求． 18. 如图，边长为2的正方形ABCD的四个顶点均在圆O上，E为边BC的中点． （1）用表示． （2）求． （3）若P为圆O上的一个动点，判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求a． （2）已知． （i）证明：． （ii）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $