精品解析：甘肃靖远县第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章、第2章、第3章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ） A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间 C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 3. 已知向量，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为 A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（ ） A. 极差为7 B. 分位数为4 C. 平均数为4 D. 方差为 10. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，则A＝______. 14. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 16. 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. （1）求实数b的值； （2）若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 17. 年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； （3）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 18. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）若，，求的周长； （3）如图，的平分线交于点，，求的取值范围. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一期中考试 数学试卷 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章、第2章、第3章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ） A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间 C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 【答案】B 【解析】 【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则的虚部为1. 3. 已知向量，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且同向，即， 所以“且”是“”的必要不充分条件. 4. 已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，则. 故选：D. 5. 已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后求解向量在向量方向上的投影即可. 【详解】由题意可知：， 则， ， 据此可得向量在向量方向上的投影为. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的几何意义，数量积的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，而，可得， 所以. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及恒等变形化简得，再解三角形即可求解． 【详解】解：根据正弦定理得，． ，， ，解得， 所以为直角三角形． 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示： 因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的（ ） A. 极差为7 B. 分位数为4 C. 平均数为4 D. 方差为 【答案】ACD 【解析】 【详解】将这7个数据从小到大排序为0，2，3，5，5，6，7，则极差为，A正确； ，分位数对应排序后第3个数，为3，B错误； 平均数为，C正确； 方差为，D正确． 10. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解． 【详解】对于A，若，则，，所以为真； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真； 对于C，设，，，，，， 若，则，，， 所以为真； 对于D，若，， 则为真，而，，所以为假． 故选：ABC. 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A、B，利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简，根据角的取值范围，可得答案; 对于C、D，由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案. 【详解】对于A，， 因为．所以，所以， 即，A正确；B错误； 对于C，如图，当时，可判断为中点，， 则，，作，则四边形为平行四边形， 则，，所以，， 所以．所以，C错误，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式计算可得原代数式的值. 【详解】. 故答案为：. 13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则A＝______. 【答案】45° 【解析】 【分析】先利用正弦定理求出角的正弦值，再根据 “大边对大角” 的性质排除不符合条件的解，从而得到唯一的内角即可. 【详解】因为 ， 所以由正弦定理可得： ， 所以 或 ， 又因为，则，故A为锐角，即 . 14. 如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为______ 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量夹角公式求解即可. 【详解】如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系， 则，∴， ∵即为的夹角，∴， ∴的余弦值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量， （1）若，求的值； （2）当时，求； （3）若向量，夹角为锐角，求的取值范围 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）条件可转化为，解方程即可； （2）根据向量加法坐标运算公式求，再由向量的模的坐标公式求解； （3）条件可转化为，且需排除同向共线情况，解不等式可得结论. 【小问1详解】 由题设，得，即， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以 故. 【小问3详解】 由题设，，故， 当，同向共线时，有且，此时， 可得，不满足，夹角为锐角， 综上，或. 所以的取值范围为. 16. 已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. （1）求实数b的值； （2）若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可. 【小问1详解】 依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, 【小问2详解】 由（1）知，，由复数z是关于x的方程的根， 得， 整理得，而， 因此, 解得所以 17. 年月日至月日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数； （3）在这名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，求这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【答案】（1） （2） （3）人 【解析】 【小问1详解】 解：由频率分布直方图性质，各矩形面积和为，组距为，可得： ，即，解得. 【小问2详解】 解：设中位数为， 因为，而， 所以中位数在内，根据中位数的定义可得：， 解得. 因此，这名学生这次竞赛成绩的中位数为. 【小问3详解】 解：由的频率为：，可得人数为：人， 由的频率为：，可得人数为：人， 所以内总人数为人，可得分层抽样的比为， 因此，这名学生这次竞赛成绩在内被抽到的人数为人. 18. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知. （1）求角A； （2）若，，求的周长； （3）如图，的平分线交于点，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可求出结果. （2）根据向量数量积求得，结合余弦定理可求得的值，由此可求周长. （3）根据正弦定理可得，，结合辅助角公式可得结果. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 ∵，∴，故， 由余弦定理得，故， 配方得，∴，得， ∴，即的周长为6. 【小问3详解】 在中，由正弦定理可得， ∴，同理得， ∴ ， ∵，∴， ∴， ∴. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， ， - ； 【小问2详解】 ，，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 设，， 则，， 因为三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $