精品解析：2026年广东省深圳市南山实验教育集团九年级二模数学试卷

2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 2. 级碳纤维是一种高性能碳纤维材料，过去，这项技术长期被国外垄断．如今，深圳大学与长盛科技通过产学研合作实现研发与工程化量产．已知级碳纤维单丝直径仅约5微米，1微米等于米，则级碳纤维单丝直径为（ ） A. m B. m C. m D. m 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角为， ，档案盒长．小南用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 7. 图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（ ） A. 水库水面大气压强为 B. 与的函数解析式为 C. 水库水深处的压强为 D. 函数中自变量的取值范围是 8. 定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（ ） A. B. 10 C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知实数，满足，则的值为______． 10. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为_______． 11. 在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线），则入弯点到入口的路程______m（结果精确到） 12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点在反比例函数图象上，将绕点顺时针旋转至，点也在反比例函数图象上，且点、、刚好在一条直线上，若的面积为，则的值为______． 13. 如图，中，点为边的中点，连接并延长至点，连接，，使得，若，，则______． 三、解答题（木题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 15. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 16. 【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 （1）小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 （2）根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ （3）集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 17. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 18. 如图1，在中，． （1）作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，如图2，过点作于点，过点作，分别交、的延长线于点、，使得． ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 19. 在平面直角坐标系中，平移抛物线 的图象，若其顶点始终都在直线（，均为常数）上，则称直线为抛物线的“型亲密线”． （1）当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； （2）将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值． 20. 如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． （1）如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则 ___________； （2）试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 米斗是古代用于称量粮食的木质量器，常见于官仓、粮栈、米行等，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图，下列选项是“米斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据俯视图是从几何体的上面看到的图形解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图： 故选：C． 2. 级碳纤维是一种高性能碳纤维材料，过去，这项技术长期被国外垄断．如今，深圳大学与长盛科技通过产学研合作实现研发与工程化量产．已知级碳纤维单丝直径仅约5微米，1微米等于米，则级碳纤维单丝直径为（ ） A. m B. m C. m D. m 【答案】B 【解析】 【详解】∵1微米米米， ∴5微米米米． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、与的次数不同，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误； C、 ，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 4. 如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行逐项分析即可判断． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、在中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意． 5. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标平面内的图形关于原点同向或反向位似时点的坐标变化规律求解即可． 【详解】如果所画三角形与关于原点同向位似，则点的对应点的坐标是，即； 如果所画三角形与关于原点反向位似，则点的对应点的坐标是，即； 综上，点的对应点的坐标是或． 6. 小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边与竖直放置的档案盒的边夹角为，，档案盒长．小南用学过的数学知识计算出了每个档案盒的厚度，它是（ ）（参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是解直角三角形的实际应用问题，解题核心是通过构造直角三角形，利用锐角三角函数求出竖直放置档案盒的总宽度，再结合档案盒数量计算单个厚度． 【详解】解：设一个档案盒厚， ， 在中，， 即，解得． 7. 图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点的压强（单位：）与其离水面的深度（单位：）的函数解析式为，为常数且，其图象如图2所示．根据图中信息分析数据，下列选项错误的是（ ） A. 水库水面大气压强为 B. 与的函数解析式为 C. 水库水深处的压强为 D. 函数中自变量的取值范围是 【答案】B 【解析】 【分析】将代入求出，即可判断A；利用待定系数法求出即可判断B；将代入求出，即可判断C；根据水库最深处即可判断D． 【详解】解：A．∵ ∴当时， ∴水库水面大气压强为，故A正确； B．将点代入得， 解得 与的函数解析式为，故B错误； C．当时，， ∴水库水深处的压强为，故C正确； D．∵水库最深处， ∴函数中自变量的取值范围是，故D正确． 8. 定义：如果二次函数与满足，，则称它们互为“旋转函数”．已知二次函数与互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据“旋转函数”的定义求出未知二次函数的系数，再分别求出两个二次函数的顶点坐标，最后利用两点间距离公式计算顶点距离即可． 【详解】解：∵二次函数与互为“旋转函数”， 根据定义得，，， 解得，，， 即另一个函数为． 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 对配方得：， ∴该函数顶点坐标为， 根据两点间距离公式，两个顶点的距离为：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知实数，满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 【详解】解： ， 原式． 10. 一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数，进而即可求解． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， ∴由频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又∵袋中白球和红球共个， ∴估计袋中白球的个数为：， ∴估计袋中红球的个数为． 11. 在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线），则入弯点到入口的路程______m（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割比例的定义计算即可． 【详解】解∶ 车手从弯道入口到出口的路线总长为，车手按黄金分割比例选择入弯点（曲线曲线）， 入弯点到入口的路程 12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，点在反比例函数图象上，将绕点顺时针旋转至，点也在反比例函数图象上，且点、、刚好在一条直线上，若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可知是等边三角形，，又由证得，求得的值，注意反比例函数图象在第二象限，． 【详解】解：如图，过点作与点， 由旋转的性质可知，，，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵点、、刚好在一条直线上， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 13. 如图，中，点为边的中点，连接并延长至点，连接，，使得，若，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】依据题意，在上取点使得，连接，先证明，从而，，再证明，从而，则，再设，故，进而求出的值，最后计算可以得解． 【详解】解：由题意，在上取点使得，连接， 又，， ， ，， ， ． 又， ， 又， ， ， 即． ， 设，， ，， ． ， ， 则． （负值不合题意，舍去）． ． ． 三、解答题（木题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题11分，共61分） 14. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解：∵ ∴解不等式①得：， ∴解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 将不等式的解集在数轴上表示如下： 15. 观察下面的解题过程． 先化简，再求值：，其中． 解：原式① ② ③ （1）解题过程中开始出现错误的是步骤_________（填序号），请写出正确的化简过程； （2）若代入求值后的值是3，求图中被遮住的的值． 【答案】（1）③，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）理解题意，认真分析解题过程，得出出现错误的是步骤③，再按要求写出正确的化简过程，即可作答． （2）理解题意，建立方程，解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，观察解题过程，得出开始出现错误的是步骤③， 原式 ， 【小问2详解】 解：由（1）得原式 代入后的值为3， ， 解得：， 经检验，，，故为原方程的根． 16. 【数据收集】 某教育集团为了从两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮次，并对两支队伍的运动员选手投中次数进行了数据收集． 【数据整理】 如图，将两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图． 【数据分析】 （1）小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格． 球队 平均数 中位数 最大值 方差 次 ________次 次 ________次 次 次 （2）根据小华的分析，你认为两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ （3）集团决定从队投中次数最高的同学和队投中次数最高的同学中各选一人参加投篮比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）队成绩更稳定，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查分析统计图中的数据，中位数，平均数，方差等数值的概念，利用方差对两组数据进行比较与评价，等可能事件的概率和画树状图求概率． （1）根据中位数，平均数的概念，分析统计图中的数据，得出队的中位数和队平均数． （2）根据方差可以用来评价数据的稳定程度，可得队成绩更稳定． （3）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到两队都选中七号队员的次数，根据等可能事件的概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵队中投中次数排序为 ，共个人， ∴中位数为第与第个数的平均值：， ∵队中投中次数排序为 ，共个人， ∴平均数为： ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：队成绩更稳定，理由如下， ∵ ，，方差越小数据越稳定， ∴队成绩更稳定； 【小问3详解】 解：队投中次数最高的同学有两位，为五号和七号，队投中次数最高的同学有三位，为二号、七号和八号， 根据题意绘制树状图如下， ∴共有六种等可能情况，其中两队都选七号的结果只有一种， ∴两队都选七号的概率． 17. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．请根据下列素材，完成任务． 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至万件． 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销量为48件． 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销． 问题解决 （1）任务1：求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． （2）任务2：为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）75元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意，得出1月份的销售量3月份销售量，列出方程求解即可； （2）设每件售价为元，根据单件利润销售量总利润，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每件售价为元， 依题意，得 ， 解得：， ； ∵为了尽快减少库存 ， 答：每件售价应为75元． 18. 如图1，在中，． （1）作的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，如图2，过点作于点，过点作，分别交、的延长线于点、，使得． ①求证：是的切线； ②若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查直角三角形外接圆的性质及尺规作图方法，圆切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用，分式方程的应用等知识点． （1）根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，外接圆的直径为斜边，作斜边的垂直平分线，与的交点即为圆心，再以为半径作圆即可． （2）①连接，根据，以及，得到，即可得证结论． ②根据得到，通过证明，得到对应边成比例，设，建立关于的方程，解得，即的长度． 【小问1详解】 解：如图，构造斜边的中垂线，与的交点即为外接圆的圆心，以为半径作圆，即为所求； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ， ， ， 在中，， ， 又 ， ，即， 又点在上， 是的切线； ②，， ， 由①得：， ， 又， ， 又在中，， ， 又， ， ， 设，则， ， ， ，解得：， 长为． 19. 在平面直角坐标系中，平移抛物线 的图象，若其顶点始终都在直线（，均为常数）上，则称直线为抛物线的“型亲密线”． （1）当抛物线满足时， ①若此时抛物线的图象恰好经过原点，求顶点的坐标； ②求该抛物线的“型亲密线”的表达式； （2）将抛物线进行平移，得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值1，若此时抛物线有“型亲密线”，求的值． 【答案】（1）①；② （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）①先结合抛物线 ，，得出，再结合抛物线的图象恰好经过原点，求出，即可作答． ②把整理成顶点式，又因为直线为抛物线的“型亲密线”，故设，则，即可作答． （2）先结合抛物线有“型亲密线”，得出二次函数可表示为 ，令，则 ，此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，运用二次函数的性质以及分类讨论思想进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解： ①∵抛物线的图象恰好经过原点 ∴将代入得：， 解得： ， ， ∴其顶点坐标为； ② ， 其顶点坐标为， ∵直线为抛物线的“型亲密线” ∴设，则 ， 该二次函数“型亲密线”为； 【小问2详解】 解：二次函数有“型亲密线” 二次函数 平移后的顶点在直线上， ∵设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为， ∴当时，则 则二次函数可表示为 令，则 ， 此时是关于的二次函数，且开口方向向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， 当时，有最小值1 ①若，即， 当时， 为最小值1， 即 解得，不满足，故舍去； ②若，即， 当时，为最小值1， 即 解得； ③若 ，即， 当时， 为最小值1， 即 解得，（不满足 ，故舍去） 综上，的值为或． 20. 如图1，在菱形中，点是对角线上一点，点与点关于对称，射线分别与直线、分别交于点、． （1）如图2，已知，点恰好落在对角线上时， ①__________； ②若，则 ___________； （2）试猜想图1中与有怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3，已知，若点恰好落在菱形的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请直接写出此时的值． 【答案】（1）①；②16 （2），理由见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识，解题的关键是利用轴对称和菱形的性质构造全等或相似三角形，建立线段与角的关系求解． （1）①利用正方形的性质、轴对称性质，推导角的关系，得； ②构造相似三角形，利用相似三角形的性质得． （2）通过轴对称和菱形的性质，证明，结合等腰三角形性质和四边形内角和，推导 ． （3）分点落在边和边所在直线上两种情况，利用三角函数、相似三角形性质，分别求出的值． 【小问1详解】 解：① 四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，，． 点与点关于对称， ，， ， ， 点在上，， ， ， ， ，， ． ②连接，由①知，， ， 又， ， ， ． ， ． 【小问2详解】 解：猜想： ． 证明 四边形是菱形， ，，， 点与点关于对称， ，， ， ． 设，则， ， ， 在中， ，且 ， ， 整理得： ． 【小问3详解】 解：分三种情况如下： 情况1：点落在直线上（对应）， 四边形是菱形，设，， 由轴对称性质，， 在中，作于，则 ，， ，， ， ， ， 由相似比可得：，， 结合 ，，解得； 情况2：点落在直线上（对应） 由轴对称性质，设， 作于，则，， ，， ∵ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， , ， 又， ， ， 解得； 情况3：点落在直线上 由轴对称性质，设，，在延长线上，， 结合菱形边长，可得在点上方，，， 延长交于， ， ，，， ， ， ，， ， 解得， 综上，的值为、或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $