2026年广东省深圳市南山实验教育集团九年级二模数学试卷

2025-2026学年初三年级 第二次学业质量监测 数学 说明：1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指 定的位置上，并将条形码粘贴好。 2.全卷共6页，共20题。考试时间90分钟，满分100分。 3.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信 息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题时， 用黑色字迹的钢笔或签字笔将答策（含作辅助线）写在答题卡指定区域内。写在 本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4、考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的) 1.米斗是古代用于称量粮食的木质量器，其常见的造型为口大底小，如图是它的几何示意图， 下列选项是“米斗”的俯视图的是（) 主视 第1题图 2.T1100级碳纤维是一种高性能碳纤维材料，过去，这项技术长期被国外垄断。如今，深圳大 学与长盛科技通过产学研合作实现研发与工程化量产。已知T1100级碳纤维单丝直径仅约 5微米，1微米等于0.000001米，则T1100级碳纤维单丝直径为（) A.5×105m B.5×106m C.5×10-7m D.5×10-8m 3.下列计算正确的是（) A.（m3)2=m B.2y2-y=y C.(x+2)2=x2+2x+4 D.3b3.2b2=6b 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测数学第1页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 4.如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,下列条件不能判定口ABCD为矩形的是() A、∠BAD=90°B.AC=BD C.OA=OD D.AC⊥BD 5、如图，在平面直角坐标系中，A(3,2),B(6,-2),以原点0为位似中心画一个三角 形，使它与△AOB位似，位似比为1：2，则点B的对应点B的坐标是() A.(3,-1D B.(12,-4) C.(3,-1)或(-3,1) D.(12,-4)或(-12,4) 6.小南课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着一些档案盒，如图所示，其中10个竖 直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒的边CD与竖直放置的档案盒的边 AB夹角为∠DCB=37°，DF-62cm,档案盒长CD=20m。小南用学过的数学知识计算出了每 个档案盒的厚度，它是()（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) A.5cm B.50cm C.4.75cm ·D.4.3cm 第4题图 第5题图 第6题图 7.图1是我市梅林水库最深处的某一截面图，水库水面及水面下任意一点A的压强P(单位： cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数解析式为P=kh+8,k为常数且k0,其图 象如图2所示。根据图中信息分析数据，下列选错误的是〔) A.水库水面大气压强为8cmHg B.P与h的函数解析式为P=10h+8 C.水库水深29m处的压强为254cmHg D.函数P=h+Po中自变量h的取值范围是0≤h≤58 水面 P(cmHg) M58,500) 500 400 58m 300 200 100 梅林水库最深处某一截面图 0102030405060>hm) 第7题图1 第7题图2 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测数学第2页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.定义：如果二次函数y=ax2+b,x+G(a≠0)与y=4x2+bx+G2(4≠0)满足4+42=0， b=b2,G+c2=0则称它们互为“旋转函数”。已知二次函数y=2+bx+c与y=3x2+6x-2 互为“旋转函数”，则这两个函数的顶点距离为() A.2√26 B.10 C.46 D.2W22 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9已知实数a,6满足号膏则站的值为 3b 10.一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共30个，通过多次摸球试验后， 发现摸到白球的频率约为0.4，估计袋中红球的个数为 I1.在世界超级摩托车锦标赛WSBK葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛 的过弯技术夺得冠军。摩托车过弯时，理想的路线通常遵循“外一内一外”原则，其弯心顶点 位置与黄金分割比例有关。在某段弯道中，车手从弯道入口A到出口B的路线总长为50m, 车手按黄金分割比例选择入弯点C(曲线AC>曲线CB)，则入弯点C到入口A的路程 AC=m(结果精确到0.1m) 12.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOC的边OA在x轴上，点C在反比例函 数y=《(化≠0)图象上，将△AOC绕点O顺时针旋转60°至△BOD,点B也在反比例函数图 象上，且点D、B、A刚好在一条直线上，若△BOC的面积为3V3,则k的值为 。 13.如图，△ABC中，点O为边AB的中点，连接CO并延长至点D,连接AD,BD,使得CO =OD+DB,若∠ABDH∠DAB=∠DCB,AD-4,则BC= B D 第11题图 第12题图 第13题图 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测数学第3页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 三、解容题（木题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题8分，第17题9分， 第18题9分，第19题10分，第20题11分，共61分) 5x+9 2>x+1① 14.解不等式组： 3 ，并把不等式组的解集表示在数轴上。 1 7- 2*-1@ -5-4-3-2-1012345 15.观察下面的解题过程。 先化简，再求值：a6932,其中a=米 a2-93 解：原式-a2-6a+9.30 a2-93-a =(a-3)2 3② (a+3)(a-3)3-a 、3 ③ a+3 (1)解题过程中开始出现错误的是步骤 (填序号)，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的值是3，求图中被遮住的a的值。 16.【数据收集】 某教育集团为了从A,B两支篮球校队中选拔队员参加青少年投篮比赛，现组织两支队伍各 8名篮球运动员在相同的条件下进行投篮比赛，每位运动员投篮10次，并对A,B两支队伍 的运动员选手投中次数进行了数据收集。 【数据整理】 如图，将A,B两支队伍选手依次投中次数绘制成如下条形统计图。 投中次数 投中次数 8 6 6 4 2 2 0 号哥喜骂吾套喜令 队员 号喜喜骂吾套喜令 队员 A队投中次数条形统计图 B队投中次数条形统计图 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测数学第4页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 【数据分析】 (1)小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格 球队 平均数 中位数 最大值 方差 A 4次 次 7次 4.25 B 次 4次 5次 0.75 (2) 根据小华的分析，你认为A,B两支队伍中谁的成绩更稳定，为什么？ (3)集闭决定从A队投中次数最高的同学和B队投中次数最高的同学中各选-人参加投篮 比赛，请用列表或画树状图的方法，求两队都选中七号队员的概率是多少？ 17.2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而哦角下撇的毛绒小马“哭哭马” 意外走红，成为春晚热销品。诗根据下列素材，完成任务。 素材1 某电商平台数据显示，“哭哭马”1月份销量为20万件，3月份销量已增至 24.2万件. 素材2 义乌某店铺以每件60元的价格购进“哭哭马”，当售价为80元/件时，日销 量为48件。 素材3 市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加4件，为借助春晚热度尽快 减少库存，商家决定降价促销。 问题解决 任务1 求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率。 任务2 为使每日销售利润达到1020元，则每件“哭哭马”实际售价应定为多少元？ 18.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°。 (1)作Rt△ABC的外接圆⊙O:(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，如图2，过点O作OE⊥BC于点E,过点C作CD,分别交OE AB的延长线于点F、D,使得∠BCD=∠BOE。 ①求证：CD是⊙O的切线： @若om∠CAB=克AB=9,求BD的长， D B 图1 图2 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测数学第5页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 19.在平面直角坐标系中，平移抛物线Q1:y=x2-2hx+c的图象，若其顶点P始终都在直线 y=kx+b(k,b均为常数)上，则称直线y=x+b为抛物线Q1的“k-b型亲密线”。 (1)当抛物线Q1满足c=(h+1)2时， ①若此时抛物线Q!的图象恰好经过原点，求顶点P的坐标： ②求该抛物线Q1的“k-b型亲密线”的表达式： (2)将抛物线Q1进行平移，得到抛物线Q2,设抛物线Q2与y轴交点的纵坐标为n,顶点P 的横坐标为m,当-2≤m≤1时，n有最小值1，若此时抛物线Q2有“k-3型亲密线”，求k的 值。 20.如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称，射线 AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H。 (1)如图2，已知∠ABC-90°，点F恰好落在对角线AC上时， ①∠G= ②若AD-4,则AE·AG= (2)试猜想图1中∠G与∠ABC有怎样的数量关系，并说明理由； D D E E B G G 图1 图2 (3)如图3，已知cos∠ABC-号，若点F恰好落在菱形ABCD的菜条边所在的直线上（不与 3 顶点重合)，请直接写出此时 的值。 HG A A B 图3 备用图 2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测数学第6页共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP2025-2026学年初三年级第二次学业质量监测 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 B B D D C A B A 二、填空题（每小题3分，共15分) 题号 9 10 11 12 13 答案 1 18 30.9 9 -3V5 2W5+2 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题8分，第16题8 分，第17题9分，第18题9分，第19题10分，第20题11分， 共61分) 14.(本题6分) 解：解不等式①得：x>-3, …l分 解不等式②得：x≤4， ……2分 所以不等式组的解集为-3<x≤4. …4分 将不等式的解集在数轴上表示如下： …6分 -5-4-3-2-1012345 15.(本题8分) 解：(1)③ …2分 原式=a2-6a+93 a2-93-a =(a-3)2 3 (a+3)(a-3)3-a 3 …4分 a+3 (2):代入后的值为3， :、3 ≥3 ……5分 a+3 解得：a=-4 …7分 经检验，α=-4为原方程的根 …8分 16.(本题8分) (1)小华同学利用图表对两队进行分析，请完成下列表格 球队 平均数 中位数 最大值 方差 4次 3.5次 7次 4.25 B 4次 4次 5次 0.75 …2分 (2)B队成绩更稳定， …3分 因为4.25>0.75，S?>S,方差越小越稳定； …4分 (3)A队命中次数最高的同学有两位，为五号和七号，B队命中次数最高的同学有三位，为 二号、七号和八号。 开始 A队 五号 七号 B队二号 七号 八号 二号 七号 八号 6分 共有六种等可能情况，其中A、B两队都选七号的结果只有一种： …7分 P(A、B两队都选七号)=名 8分 17.(本题9分) 解：(1)设该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为x, 根据题意得：20（1+x)2=24.2, 2分 解得：x1=0.1=10%,2=-2.1(不符合题意，舍去) 3分 答：该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率为10%： 4分 (2)设每件售价为m元， (m-60)[48+(80-m)×4]=1020, 6分 解得：m1=75,m2=77 7分 为了尽快减少库存 ∴.m=75, …8分 答：每件售价应为75元 9分 18.(本题9分) 解：(1)法1：构造三角形任意一边的中垂线 0 -0 1分 如图⊙O即为所求 …2分 法2：构造等腰△AOC或等腰△BOC …1分 如图⊙O即为所求 2分 (2)①连接OC .OE⊥BC ∴.∠OEB-90° ∴.∠BOE+∠OBE-90° 在⊙0中，OC-OB ∴.∠OCB=∠OBE 3分 又，∠BCD=∠BOE ∴.∠BCD+∠OCB=90° 即∠OCF=-90° …4分 又，点C在⊙O上 ∴.CD是⊙O的切线 5分 ②：tan∠A=三，∠ACB=90° 2 BC 1 CA 2 6分 由①得：∠OCF-90° ∴.∠BCD+∠OCB-90° 又，∠ACB=∠ACO+∠OCB-90° ∴.∠BCD=∠ACO 又.在⊙0中，0C=0B ∴.∠A=∠ACO .∠BCD=∠A 7分 又，∠D-∠D ∴.△DBC∽△DCA BD CD BC 1 CD AD CA 2 8分 设BD=x,则CD=2x ,AB=9 ∴.AD=AB+BD=9+x 2x1 9+x2 .=3 .BD长为3 9分 19.(本题10分) 解：(1)c=(h+1)2 .y=x2-2hx+(h+1)2 ①将(0,0)代入得：0=0+(h+1),解得：h=h2=-1…2分 .y=x2+2x 其顶点坐标为(-1，-1) …3分 ②，y=x2-2hx+(h+1)2=x2-2hx+h2+2h+1=(x-h)2+2h+1 ∴.其顶点坐标为(h,2h+1) …4分 设x=h,则y=2h+1=2x+1 .该二次函数“k-b型亲密线”为y=2x+1 ……6分 (2),二次函数有“k-3型亲密线” .二次函数y=x2-2hx+c平移后的顶点坐标在直线y=kx+3上 则二次函数可表示为y=(x-m)2+km+3 令x-0,则n=m2+km+3 …7分 :当-2≤m≤1时，n有最小值1 “①若-≤-2，即k≥4 当m=-2时，n=7-2k为最小值1，解得k=3(舍去)…8分 ②若-人≥1，即k≤-2 当m=1时，n=4+k为最小值1，解得k=-3 …9分 k ③若-2≤-≤1，即-2≤k≤4 2 当m= 时，n= +3为最小值1，解得k=22,k2=-2W2(舍去) 2 4 …10分 综上，k的值为-3或2√2。 20.（本题11分) 解：(1)①45°；②16： …4分 （2)∠G=A8C,证明如下： …5分 法1：在菱形ABCD中，AB=AD,AD∥BC ∴.∠ABD=∠ADB=∠DBC :折叠 ∴.∠BAE=∠FAE,AB=AF=AD .∠AFD=∠ADF …6分 设∠BAE=∠FAE=x°，∠ABD=∠DBC=y°， ,AD∥BC 则∠DAF=180°-2x°-2y°， 1 .∠AFD=∠ADF=。（180°-∠DAF)=x°+y° 2 ………7分 .∠AFD-∠FAE+∠G=x°+∠G .∠G=y°=1∠ABC ……8分 2 法2：在菱形ABCD中，AB=AD,AD∥BC .∠ABD=∠ADB=∠DBC 、折叠 .∠BAE=∠FAE,AB=AF=AD …6分 .点B、F、D在以A为圆心的圆上 1 ∴.∠BDF=∠BAF=∠FAE …7分 2 .∠DMF=∠AME ∴.∠DFM=∠AEM ∴.∠FAE+∠G=∠BAE+∠ABE 、∠G=∠ABE=1∠ABC …8分 法3：在菱形ABCD中，AB=AD,AD∥BC ∴.∠ABD=∠ADB=∠DBC 折叠 ∴.∠BAE=∠FAE,∠ABE-∠AFE …6分 ∴.∠AFE-∠ADB ,∠1=∠2 .△AMD∽△EME .AM DM …7分 EM FM 又.'∠AME-∠DMF ∴.△DMF∽△AME .∠3=∠4 .∠FAE+∠G=∠BAE+∠ABE ∠G=∠ABE= ∠ABC…8分 2 法4：在菱形ABCD中，AB=AD,AD∥BC ∴.∠ABD=∠ADB=∠DBC ,折叠 ∴.∠ABD=∠AFE ∴.∠AFE-∠ADB…6分 D ∴点A、D、F、E共圆 .∠3=∠4…7分 ∴.∠FAE+∠G=∠BAE+∠ABE ∠G=∠ABB-∠ABC…8分 H 法5：过点A作AP⊥DG 在菱形ABCD中，AB=AD,AD∥BC ,折叠 ∴.∠1=∠2，AB=AF=AD…6分 .:∠3=∠4 .AD∥BC .∠BAD+∠ABC-2∠2+2∠3+∠ABC-180°…7分 ,∠GAP+∠G=∠2+∠3+∠G=90° .∠G-∠ABC…8分 2 (3) 125 5 4’96 4 …11分（一个答案1分）