专题7 解答题中档题题位训练第20、21题按考点分类（11考点）训练 2026年中考三轮复习系列1-南通九年级数学中考冲刺题位训练

**基本信息** 聚焦南通中考第20、21题中档题，按11个核心考点分类训练，精选近三年真题及2026模拟题，通过小综合题型促进知识融合与能力提升，培养数学应用意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概率计算|5题|含公式计算、列表/树状图法，涉及两步事件概率|从基础公式到复杂情境，培养数据意识| |方程与不等式应用|3题|含购置方案、增长率问题，结合实际场景|体现模型观念，从等量关系到不等关系递进| |函数综合|6题|一次函数与几何、反比例函数综合，含动态问题|代数与几何结合，发展几何直观与空间观念| |几何综合（菱形、圆、相似等）|14题|菱形性质判定、圆切线证明与计算、相似应用|从图形性质到综合证明，培养推理能力|

专题7 南通中考中档题题位训练第20、21题按考点分类（11考点）训练 专题诠释：本专题精选南通近三年中考真题和2026南通各地区中考模拟试题第20、21题，属于中档题，按考点分类，主要有概率计算，方程和不等式组的应用，函数应用，菱形的性质和判定，圆的性质和圆内的计算，相似三角形，解直角三角形的应用等。考点较多，小综合多，但是题目不太难。孩子若能把这个练习做好，可以更好地促进知识的融合，消化，从而促进能力的提升。 考点一 概率的计算 （一）根据概率公式计算 1．（2025•南通）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． 【分析】（1）直接利用概率公式即可得出小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率； （2）利用列表展示16种等可能的结果数，从中找到小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数，根据概率公式计算可得． 【解答】解：（1）图中社会实践活动分别用①，②，③，④，表示， 则小明到南通博物苑参加社会实践活动的概率为； （2）列表如下： 小丽 小华 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 共有16种等可能的结果数，其中小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的结果数有1种， 所以小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （二）列表或画树状图计算 2．（2024•南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 　　 ； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【分析】（1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为； （2）根据题意画出树状图，得出概率． 【解答】解：（1）P（甲在2号出入口开展志愿服务活动）， 故答案为：； （2） ∵一共有16种情况，甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种情况， ∴P（甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动）． 【点睛】本题考查了概率，掌握树状图法是解题的关键． 3．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁． （1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 　　 ； （2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）∵有同型号的a，b，c三把钥匙， ∴从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即Aa、Bb， ∴取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回试验还是不放回试验；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 4．（2026•海安市一模）某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动．A、B、C、D四张卡片上分别印有四位中国数学家：刘徽、祖冲之、华罗庚、陈景润（卡片除图案外其他均相同）．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取一张卡片，卡片上是数学家刘徽的概率是 　　 ； （2）小明随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两张卡片中恰好有数学家华罗庚的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）小安随机抽取一张卡片，卡片上是数学家刘徽的概率是； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两张卡片中恰好有数学家华罗庚的结果数为6， 所以小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A． 5．（2026•海门区一模）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是． （1）a的值是 　2　 ； （2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是， ∴， 解得a＝2， 经检验，a＝2是原方程的解且符合题意． 故答案为：2． （2）列表如下： 白 红 红 白 （白，白） （白，红） （白，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） 共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种， ∴2次摸到的球颜色不同的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 考点二 一元二次方程的拓展应用 6．（2026•海门区模拟）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：，，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法，解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 【分析】（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0，整理，得（y﹣1）（y﹣4）＝0，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0，整理得（x﹣5）（x+2）＝0，解一元二次方程即可求解． 【解答】解：（1）∵（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0， ∴设y＝x2+x， ∴y2﹣5y+4＝0， ∴（y﹣1）（y﹣4）＝0， y﹣1＝0或y﹣4＝0， 解得：y1＝1，y2＝4， 当x2+x＝1，即x2+x﹣1＝0时， 解得； 当x2+x＝4，即x2+x﹣4＝0时， 解得． 综上所述，原方程的解为． （2）∵实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0， ∴设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0， 整理得：（x﹣5）（x+2）＝0， x﹣5＝0或x+2＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣2 （舍去）， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝5． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，代数式求值，熟练掌握换元法是解题的关键． 考点三 方程（组）与不等式（组）的实际应用 7．（2026•海门区二模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元：购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． （1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ （2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需x，y元，根据购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元可得x﹣y＝50，购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元可得2x+3y＝1350，列出二元一次方程组，求解即可； （2）①设购买A型器材a套，根据购买A、B型器材的总费用不超过14500元，列出不等式，求解即可；②设购买A型器材a套，则购买B型器材为（50﹣a）套，由①可得：a≤40，根据A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，列出不等式，求解即可． 【解答】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需x，y元，由题意可得： ，解得， 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需300、250元； （2）①设购买A型器材a套，则购买B型器材为（50﹣a）套， 由题意可得：300a+250×（50﹣a）≤14500， 解得a≤40， 答：A型器材最多购买40套； ②设购买A型器材a套，则购买B型器材为（50﹣a）套， 由①可得：a≤40， 根据题意可得：a≥3（50﹣a），解得a， ∴a≤40， 又∵a为正整数， ∴a的取值为38，39，40，即有三种购买方案， 具体为：A型器材为38套，B型器材12套， A型器材为39套，B型器材11套， A型器材为40套，B型器材10套． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组和不等式组． 8．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，利用乙种商品2024年每件的进价＝乙种商品2022年每件的进价×（1﹣乙种商品每件进价的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合进货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 根据题意得：125（1﹣x）2＝80， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）． 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%； （2）设购进y件甲种商品，则购进（100﹣y）件乙种商品， 根据题意得：（125﹣25×2）y+80（100﹣y）≤7800， 解得：y≥40， ∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 考点四 函数与几何综合 （一）一次函数与几何综合 9．（2026•南通一模）已知，一次函数y＝x+2与yx+4的图象分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接OE． （1）求点E的坐标； （2）点F是线段AE上一点，且线段OF把△AOE的面积分成1：4两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 【分析】（1）联立方程，解方程求得方程的解即可求得； （2）设F点的坐标为（m，n），由题意得或，求得纵坐标，然后代入y＝x+2即可求得横坐标． 【解答】解：（1）联立， 解得， ∴点E的坐标为（，）； （2）设F点的坐标为（m，n）， ∵线段OF把△AOE的面积分成1：4两部分，E的坐标为（，）， ∴或， 解得n或， 代入y＝x+2得，m+2或m+2， 解得m或m， ∴点F的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 10．（2026•南通一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），AB∥OC，直线经过点B、C． （1）点C的坐标为（　0　 ，　6　 ），点B的坐标为（　8　 ，　　 ）； （2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D．当CD＝10时，求直线l的解析式． 【分析】（1）对于，令x＝0，则y＝6，当x＝8时，则，即可求解； （2）分AP＝AC、CA＝CP、PA＝PC三种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可； （3）证明∠DCM＝∠DMC，则CD＝MD＝10，求出DN6，进而求解． 【解答】解：（1）对于，令x＝0，则y＝6，当x＝8时，则， 故点C、B的坐标分别为（0，6）、（8，）， 故答案为：0，6；8，； （2）AC10， ①若AP＝AC，则点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）； ②若CA＝CP，则点P的坐标为（﹣8，0）； ③若PA＝PC，设点P的坐标为（m，0），则m2+62＝（8﹣m）2， 解得m，故点P的坐标为（，0）； 综上，点P的坐标为（﹣2，0）或（18，0）或（﹣8，0）或（，0）； （3）如图2，过C点作CN⊥AB于N， ∵AB∥OC， ∴∠OCM＝∠DMC， 由题意∠DCM＝∠OCM， ∴∠DCM＝∠DMC， ∴CD＝MD＝10， ∵OC＝6， ∵CN＝OA＝8， ∴DN6， ∴NM＝10﹣6＝4， ∴AM＝2， ∴M（8，2）， 设l解析式y＝kx+b，则，解得． ∴直线l的解析式为：yx+6； 【点睛】本题一次函数综合题，本题关键是利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值，从而求得其解析式．同时注意分类思想的运用． （二）反比例函数综合题 11．（2024•达州）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）∠BCA＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即可求解． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a， 解得：a＝﹣3，m＝6， 即反比例函数的表达式为：y，点B（﹣3，﹣2）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：y＝x+1； （2）设点C（x，0）， 由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4， ∵∠BCA＝90°， 则AB2＝AC2+BC2， 即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4， 解得：x＝3或﹣4（舍去）， 即点C（3，0）． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式，难度不大． 考点五 函数的实际应用 （一）一次函数的应用 12．（2026•海门模拟）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程． 【分析】（1）根据题意可知，y＝40，即y＝﹣0.1x+40 （2）油箱内剩余油量不低于油箱容量的，即当y＝4010，求x的值． 【解答】解：（1）由题意可知：y＝40，即y＝﹣0.1x+40（0≤x≤400） ∴y与x之间的函数表达式：y＝﹣0.1x+40． （2）∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的 ∴y≥4010，则﹣0.1x+40≥10． ∴x≤300 故，该辆汽车最多行驶的路程是300km． 【点睛】此题为一次函数的应用，能根据实际情况写出解析式是关键，第二问是利用函数关系式求值． （二）二次函数的应用 13．（2026•启东市模拟）如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米（击球点、落地点、球洞三点共线），球在空中最高处达3.2米． （1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式； （2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围． 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝ax（x﹣8），将（4，3.2）代入，求得a的值，则可得答案； （2）令y＝3得关于x 的方程，求得方程的解，根据二次函数与一元二次方程的关系可得答案． 【解答】解：（1）由题意可知，点（0，0），（8，0）在抛物线上， ∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax（x﹣8）， 将（4，3.2）代入得：3.2＝a×4×（4﹣8）， 解得：a＝﹣0.2， ∴y＝﹣0.2x（x﹣8） ＝﹣0.2x2+1.6x， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x； （2）令y＝3得： 3＝﹣0.2x2+1.6x， ∴x2﹣8x+15＝0， ∴（x﹣3）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∴当球的飞行高度不低于3米时，3≤x≤5． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （三）反比例函数的应用． 14．（2025•如皋二模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 （1）根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； （2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8：30从家出发，请判断李老师能否在上午9：10之前到达天后宫，并说明理由； （3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】（1）平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式v； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达天后宫；理由见解答； （3）4.8千克． 【分析】（1）由表中数据可得vt＝24，从而得出结论； （2）把t代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据v和t的取值范围得出结论． 【解答】解：（1）根据表中数据可知，vt＝24， ∴v， ∴平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式v； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达天后宫，理由： ∵从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当t时，v36（千米/小时）， ∵骑行速度不超过30千米/小时， ∴骑行者在上午9：10之前不能到达天后宫； （3）∵v， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为24×0.2＝4.8（千克）． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． 考点六 菱形的性质和判定 15．（2026•海门区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O． （1）求证：△ABF≌△CAE； （2）HD平分∠AHC吗？为什么？ 【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB＝BC，然后求出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠B＝∠CAB＝60°，然后利用“边角边”证明△ABF和△CAE全等即可； （2）过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠ACE，然后求出∠AHC＝120°，再根据四边形的内角和定理求出∠HAD+∠HCD＝180°，根据平角的定义求出∠HAD+∠KAD＝180°，从而得到∠HCD＝∠KAD，然后利用“角角边”证明△ADK和△CDG全等，根据全等三角形对应边相等可得DK＝DG，然后利用到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可． 【解答】（1）证明：∵ABCD为菱形， ∴AB＝BC． ∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠CAB＝60°， 在△ABF和△CAE中，， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； （2）答：HD平分∠AHC． 理由如下：过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K， ∵△ABF≌△CAE， ∴∠BAF＝∠ACE， ∵∠ACE+∠FCE＝60°， ∴∠BAF+∠FCE＝60°， ∴∠AHC＝∠AFC+∠HCF＝∠B+∠BAF+∠BCE＝120°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠HAD+∠HCD＝180°， ∵∠HAD+∠KAD＝180°， ∴∠HCD＝∠KAD， 在△ADK和△CDG中，， ∴△ADK≌△CDG（AAS）， ∴DK＝DG， ∵DG⊥CH，DK⊥FA， ∴HD平分∠AHC． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 16．（2026•启东市模拟）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EG平分∠AEF交CD于点G，FH平分∠EFD交AB于点H． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）当∠AEF＝　120　 °时，四边形EGFH是菱形． 【分析】（1）由AB∥CD，得∠AEF＝∠EFD，因为∠GEF∠AEF，∠EFH∠EFD，所以∠GEF＝∠EFH，则EG∥FH，即可证明四边形EGFH是平行四边形； （2）由AB∥CD，得∠FGE＝∠AEG，而∠FEG＝∠AEG，所以∠FEG＝∠FGE，则FE＝FG，当∠AEF＝120°，则∠FEG∠AEF＝60°，可证明△FEG是等边三角形，所以FG＝EG，则四边形EGFH是菱形，于是得到问题的答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠AEF＝∠EFD， ∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD， ∴∠GEF∠AEF，∠EFH∠EFD， ∴∠GEF＝∠EFH， ∴EG∥FH， ∵EH∥GF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）解：当∠AEF＝120°时，四边形EGFH是菱形， 理由：∵AB∥CD， ∴∠FGE＝∠AEG， ∵∠FEG＝∠AEG， ∴∠FEG＝∠FGE， ∴FE＝FG， ∵∠AEF＝120°， ∴∠FEG∠AEF＝60°， ∴△FEG是等边三角形， ∵四边形EGFH是平行四边形，FG＝EG， ∴四边形EGFH是菱形， 故答案为：120． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明∠GEF＝∠EFH是解题的关键． 17．（2026•海安市一模）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形ABCD中，作BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，连接EF． （1）根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形AEFB为菱形． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵BG平分∠ABC， ∴∠GBA＝∠GBF， ∵BG⊥AF， ∴∠BGA＝∠BGF＝90°， ∵BG＝BG， ∴△GBA≌△GBF（ASA）， ∴AB＝BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE， ∴AB＝AE， ∴AE＝BF， ∴四边形AEFB是平行四边形， ∵AB＝AE， ∴四边形AEFB是菱形． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 考点七 圆的性质和圆的计算 18．（2025•南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB． （1）连接OB，求证：OB⊥PB； （2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OP，根据切线的性质得到OA⊥PA，证明△AOP≌△BOP，根据全等三角形的性质得到∠OBP＝∠OAP，得到OB⊥PB； （2）连接BC，证明OP∥BC，得到S△PCB＝S△OCB，再根据扇形面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：如图，连接OP， ∵PA与⊙O相切， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴OB⊥PB； （2）解：如图，连接BC， ∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠COB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠OCB＝60°， 由（1）可知：∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴∠AOP＝∠OCB，OA2， ∴OP∥BC， ∴S△PCB＝S△OCB， ∴S阴影部分＝S扇形OCB． 【点睛】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 19．（2024•南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 【分析】（1）计算得出△ABC的面积和扇形的面积，作差得到阴影部分的面积； （2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大，通过勾股定理得出BP的长． 【解答】解：（1）连接AD， ∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵⊙A与BC相切于点D， ∴AD， S＝S△ABC﹣S扇形； （2）当C，A，P三点共线时，CP的长最大， ∵AP，AB＝3， ∴BP． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，扇形面积的计算等，掌握综合知识是解题的关键． 20．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE． （1）求证：四边形ODCE是菱形； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥AB，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得∠AOC＝∠BOC＝60°，从而可得△ODC和△OCE都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得OD＝CD＝CE＝OE，即可解答； （2）连接DE交OC于点F，利用菱形的性质可得OF＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°，然后在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的长，从而求出DE的长，最后根据图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵⊙O和底边AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠BOC∠AOB＝60°， ∵OD＝OC，OC＝OE， ∴△ODC和△OCE都是等边三角形， ∴OD＝OC＝DC，OC＝OE＝CE， ∴OD＝CD＝CE＝OE， ∴四边形ODCE是菱形； （2）解：连接DE交OC于点F， ∵四边形ODCE是菱形， ∴OFOC＝1，DE＝2DF，∠OFD＝90°， 在Rt△ODF中，OD＝2， ∴DF， ∴DE＝2DF＝2， ∴图中阴影部分的面积＝扇形ODE的面积﹣菱形ODCE的面积 OC•DE 2×2 2， ∴图中阴影部分的面积为2． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考点八 圆的切线的判定与性质 21．（2026•海门区模拟）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若，BC＝2，求PO的长． 【分析】（1）连接OB，由垂径定理可得AD＝BD，通过△OAD≌△OBD（SSS），得∠AOD＝∠BOD，通过△OAP≌△OBP（SAS），可得∠OBP＝∠OAP＝90°，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由∠OAP＝90°，AC是⊙O的直径，可得∠PAB＝∠BCA，根据锐角三角函数可求AC，AO的长度，由∠DOA+∠BAC＝90°，可得∠DOA＝∠PAB，在△PAO中，根据锐角三角函数，即可求解， 【解答】解：（1）PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接OB， ∵AB⊥PO， ∴AD＝BD， ∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△OAD≌△OBD（SSS）， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAP， 由题意可得：∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴PB是⊙O的切线， （2）∵∠OAP＝90°， ∴∠PAB+∠BAC＝90°， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠BCA+∠BAC＝90°， ∴∠PAB＝∠BCA， ∴，即：， ∴， ∴， ∵AB⊥PO， ∴∠DOA+∠BAC＝90°， ∴∠DOA＝∠PAB， ∴，即：， 解得：PO＝10， 故答案为：PO＝10． 【点睛】本题考查了垂径定理，直径所对的圆周角是90°，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，锐角三角函数，正确进行计算是解题关键． 22．（2026•海门区模拟）综合探究 如图所示，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且D为AC的中点，弦AC，BD相交于点E． （1）求证：△ADE∽△BDA； （2）若AB＝8、∠AEB＝122.5°，求的长（结果用π表示）； （3）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若，求BF的长． 【分析】（1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据已知AB＝8得半径为4，由∠AEB＝122.5°求出∠EBC＝32.5°，结合D是AC中点推出对应的圆心角为130°，最后用弧长公式计算出的长； （3）先利用圆的切线性质得到垂直关系，再结合三角函数和勾股定理求出三角形ABC的边长与圆的半径，接着通过角的关系证明三角形相似得到比例关系，最后设未知数建立方程并求解，舍去不合题意的解得到最终结果． 【解答】（1）证明：∵点D为AC的中点， ∴， ∴∠ABD＝∠CAD， 又∵∠ADE＝∠BDA， ∴△ADE∽△BDA； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠AEB＝122.5°， ∴∠EBC＝122.5°﹣90°＝32.5°， ∵， ∴∠ABD＝∠CBD＝32.5°， ∴∠ABC＝65°， ∴所对的圆心角为2∠ABC＝130°， ∵AB＝8， ∴半径r＝4， ∴的长； （3）解：如图，CF是⊙O的切线， ∴OC⊥CF，即∠OCF＝90°， ∵， 在Rt△ABC中，， ∵BC＝2， ∴AC＝4， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， ∴∠CAO＝∠OCA＝∠BCF＝90°﹣∠OCB， 又∵∠F＝∠F， ∴△CFB∽△AFC， ∴， ∴CF2＝BF•AF， 设BF＝x，CF＝y， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴y＝2x， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， 即． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 考点九 作图—应用与设计作图 23．（2026•海门区模拟）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） （1）如图①，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，若在△ABC的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，EF垂直平分BC，垂足为点F，交AC于点E；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （3）如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯E亮的区域图形． 【分析】（1）先求出AB，EF的值，再求出△EFC的面积，进而即可求出S四边形ABFE的面积； （2）先找出感应灯B亮的区域，然后求出面积； （3）作AE，BE，CE，DE的垂直平分线，围成区域即为所求． 【解答】解：（1）∵AB＝6m，∠A＝90°， ∴BC＝10m， ∵EF垂直平分BC， ∴，∠EFC＝90°， ∴，即：， 解得， ∴△EFC的面积为：， ∴感应灯B亮的区域面积为， ∴该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为； （2）∵在△ABC中，AD为BC边上的高，AB＝AC＝5m，BC＝6m， ∴AD⊥BC，，即AD垂直平分BC， ∴AD上任意一点到点B与点C的距离都相等， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴BD＝3m ∴， 作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AD于点F， 则EF上任一点到点A与点B的距离都相等，， ∴由题意可知：在该三角形内能使感应灯B亮的区域是四边形BDFE， 在Rt△AEF中，， ∴， ∴， ∴在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为． （3）如图：作AE，BE，CE，DE的垂直平分线，围成的图形（实线所围区域）即为所求． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 考点十 相似形综合题 24．（2025•湖北）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 【分析】（1）根据旋转可得 AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，则，即可证明△BCE∽△ACD； （2）根据BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，可得 AC＝CD＝1，，即可得出，过D作DH⊥AC，则，即DH＝2AH，在△CDH中勾股定理求出，则，在△ADH中勾股定理求出AD，根据△BCE∽△ACD，得出，即可求出； （3）①设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据∠ACB＝90°，得出∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α，∠ECF＝90°﹣α，即可得∠DCB＝∠ECF，根据GF∥AB，得出∠F+∠A＝180°，即可得∠CDB＝∠F，证明△BCD≌△ECF，得出CD＝CF，结合CD＝AC，得出AC＝CF； ②根据，设GF＝5k，GB＝6k，证明四边形ABGF是平行四边形，得出AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A，由①得CD＝AC＝CF＝3k，在Rt△ABC中，勾股定理得出BC＝4k，则，则，根据△CBD≌△CEF，得出∠CBD＝∠CEF，根据GF∥AB，得出∠FEB+∠ABE＝180°，证明∠FEB＝90°，∠BEG＝90°，则，求出，由①可得，∠ADC+∠CDB＝180°，得出∠CEB+∠CDB＝180°，证出点C，D，B，E四点共圆，根据圆周角定理得出∠BED＝∠BCD，证明△BEK∽△DCK，得出，设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y，则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①，根据旋转可得DE＝AB＝5k，则DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②，联立①②求出x，y，再根据即可求解． 【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上， ∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE， ∴， ∴△BCE∽△ACD； （2）解：∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°， ∴AC＝CD＝1，， ∴， 过D作DH⊥AC， ∴， ∴DH＝2AH， 在△CDH中，CH2+DH2＝CD2， 即（1﹣AH）2+（2AH）2＝12， 解得：，AH＝0（舍去）， ∴， 在△ADH中，AH2+DH2＝AD2， ∴， ∵△BCE∽△ACD， ∴，即， ∴； （3）①证明：设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，AC＝CD，CB＝CE， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°，∠DCB＝90°﹣α， ∴∠ECF＝90°﹣α， ∴∠DCB＝∠ECF， ∵GF∥AB， ∴∠F+∠A＝180°， ∴∠CDA+∠CDB＝180°，∠CDA＝∠A， ∴∠CDB＝∠F， ∵∠DCB＝∠ECF，∠CDB＝∠F，CB＝CE， ∴△BCD≌△ECF（AAS）， ∴CD＝CF， ∵CD＝AC， ∴AC＝CF； ②解：∵， ∴设GF＝5k，GB＝6k， ∵GF∥AB，BG∥AF， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝GF＝5k，AF＝BG＝6k，∠G＝∠A， 由①得CD＝AC＝CF＝3k， 在Rt△ADC中，AB2＝BC2+AC2， ∴， ∴， ∴， ∵△CBD≌△CEF， ∴∠CBD＝∠CEF， ∵GF∥AB， ∴∠FEB+∠ABE＝180°， 即∠CEF+∠CEB+∠CBE+∠CBD＝180°， 即2（∠CEF+∠CEB）＝2∠FEB＝180°， ∴∠FEB＝90°， ∴∠BEG＝90°， ∴sin，即， ∴， 由①可得，∠ADC+∠CDB＝180°， ∴∠CEB+∠CDB＝180°， ∴点C，D，B，E四点共圆， ∴∠BED＝∠BCD， ∵∠BEK＝∠KCD，∠BKE＝∠DKC， ∴△BEK∽△DCK， ∴， 设DK＝5x，BK＝8x，CK＝5y，EK＝8y， 则BC＝BK+CK＝8x+5y＝4k①， 根据旋转可得DE＝AB＝5k， ∴DE＝DK+EK＝5x+8y＝5k②， 联立①②可得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 25．（2026•海门区模拟）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED＝3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH＝5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度． 【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△AHB，可得，，因为DC＝FG，推出，列出方程求出BD，由 ，由此即可解决问题． 【解答】解：由题意可得：∵DC∥AB， ∴△EDC∽△EBA， ∴， ∵FG∥AB， ∴△FHG∽△AHB， ∴， ∵DC＝FG， ∴， ∵ED＝3m，DG＝GH＝5 m， ∴， ∴BD＝7.5（ m），经检验符合题意， ∵， ∴， ∴AB＝5.95（ m），经检验符合题意； 答：花丛中路灯AB的高度5.95米． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26．（2026•海门区模拟）已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM． （1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE，求tan∠BCP的值． 【分析】（1）根据等边三角形性质及点D是BC的中点得AB＝CB＝2BD，再根据∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM得△ABE和△DBM相似，然后根据相似三角形性质得2，据此可得线段AE、MD之间有怎样的数量关系； （2）连接PE，根据△ABE和△DBM相似得2，∠AEB＝∠DMB，由此得BE＝2BM，再根据MP＝BM得BP＝2BM，继而得BE＝BP，再证明∠EBP＝60°得△EBP是等边三角形，继而得EM⊥BP，则△ABE是直角三角形，再由勾股定理得BE，则tan∠BAE，然后证明△ABE和△CBP全等得∠BCP＝∠BAE，据此可得tan∠BCP的值． 【解答】解：（1）线段AE、MD之间的数量关系是：AE＝2MD，证明如下： ∵△ABC是等边三角形，点D是BC的中点， ∴AB＝CB＝2BD， 在△ABE和△DBM中， ∠BAE＝∠BDF，∠ABE＝∠DBM， ∴△ABE∽△DBM， ∴2， ∴AE＝2MD； （2）连接PE，如图所示： ∵在（1）的条件下， ∴△ABE∽△DBM， ∴2，∠AEB＝∠DMB， ∴BE＝2BM， ∵延长BM到P，使MP＝BM， ∴BP＝2BM， ∴BE＝BP， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， 即∠ABM+∠DBM＝60°， ∵∠ABE＝∠DBM， ∴∠ABM+∠ABE＝60°， 即∠EBP＝60°， 在△EBP中，BE＝BP，∠EBP＝60°， ∴△EBP是等边三角形， ∵MP＝BM， ∴EM⊥BP， ∴∠EMB＝∠DMB＝90°， ∴∠AEB＝∠DMB＝90°， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中，AB＝7，AE＝2√7， 由勾股定理得：BE， ∴tan∠BAE， ∵∠ABE＝∠DBM， ∴∠ABE＝∠CBP， 在△ABE和△CBP中， ， ∴△ABE≌△CBP（SAS）， ∴∠BCP＝∠BAE， ∴tan∠BCP＝tan∠BAE． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 考点十一 解直角三角形的应用 27．（2021•榆阳区模拟）著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，根据题意可得CH＝DF，FH＝AB＝CD＝1.5米，AC＝BD＝97米，DM＝1米，∠EAH＝37°，证明△CDM∽△EFM，可得，所以EH＝1.5CH，根据锐角三角函数可得tan37°，所以，可得EH的长，进而可得EF． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝DF，FH＝AB＝CD＝1.5米，AC＝BD＝97米，DM＝1米，∠EAH＝37°， ∵CD⊥BD，EF⊥MF， ∴CD∥EF， ∴△CDM∽△EFM． ∴， ∴， ∴EH＝1.5CH， 在Rt△EAH中，∠EAH＝37°， ∴tan37°， ∴0.75， ∴4EH＝291+3CH， ∴4EH＝291+2EH， ∴EH＝145.5（米）， ∴EF＝EH+HF＝145.5+1.5＝147（米）， 答：该塔的高度EF为147米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 28．（2026•海门区模拟）天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩．“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营．如图，小明同学为测量一棵大树AB的高度，他先在水平地面的点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝35°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求大树AB的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 【分析】先根据矩形的性质得BC＝DE＝1.5m，EG＝DF＝3m，BE＝CD，BG＝CF，再根据，得出，同时可得，然后根据DF＝CD﹣CF求出AC，最后根据AB＝AC+BC得出答案． 【解答】解：根据题意，可得四边形EDFG，BCFG，BCDE是矩形， ∴BC＝DE＝1.5m，EG＝DF＝3m，BE＝CD，BG＝CF． 在Rt△ACF中，， 即， ∴． 在Rt△ACD中，， 即， ∴， ∴DF＝CD﹣CF， 即， 解得AC＝9.45， ∴AB＝AC+BC＝9.45+1.5＝10.95≈11（m）， 所以大树AB的高度是11m． 【点睛】本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 南通中考中档题题位训练第20、21题按考点分类（11考点）训练 专题诠释：本专题精选南通近三年中考真题和2026南通各地区中考模拟试题第20、21题，属于中档题，按考点分类，主要有概率计算，方程和不等式组的应用，函数应用，菱形的性质和判定，圆的性质和圆内的计算，相似三角形，解直角三角形的应用等。考点较多，小综合多，但是题目不太难。孩子若能把这个练习做好，可以更好地促进知识的融合，消化，从而促进能力的提升。 考点一 概率的计算 （一）根据概率公式计算 1．（2025•南通）为继承和弘扬中华优秀传统文化，某校将八年级学生随机安排到以下四个场所参加社会实践活动． 已知小明、小华、小丽都是该校八年级学生，求下列事件的概率： （1）小明到南通博物苑参加社会实践活动； （2）小华和小丽都到南通美术馆参加社会实践活动． （二）列表或画树状图计算 2．（2024•南通）南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． （1）甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为 　 ； （2）求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 3．（2023•南通）有同型号的A，B两把锁和同型号的a，b，c三把钥匙，其中a钥匙只能打开A锁，b钥匙只能打开B锁，c钥匙不能打开这两把锁． （1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c钥匙的概率等于 ； （2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 4．（2026•海安市一模）某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动．A、B、C、D四张卡片上分别印有四位中国数学家：刘徽、祖冲之、华罗庚、陈景润（卡片除图案外其他均相同）．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取一张卡片，卡片上是数学家刘徽的概率是 　 ； （2）小明随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率． 5．（2026•海门区一模）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是． （1）a的值是 　 　 ； （2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率． 考点二 一元二次方程的拓展应用 6．（2026•海门区模拟）阅读下面的材料： 解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：，，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法，解答下列问题． （1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值． 考点三 方程（组）与不等式（组）的实际应用 7．（2026•海门区二模）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元：购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． （1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ （2）根据景区实际情况，购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元． ①请问A型器材最多购买多少套？ ②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 8．（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． （1）求乙种商品每件进价的年平均下降率； （2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 考点四 函数与几何综合 （一）一次函数与几何综合 9．（2026•南通一模）已知，一次函数y＝x+2与yx+4的图象分别与x轴相交于点A和点D，与y轴相交于点B和点C，两直线相交于点E，连接OE． （1）求点E的坐标； （2）点F是线段AE上一点，且线段OF把△AOE的面积分成1：4两部分，请求出符合条件的点F的坐标． 10．（2026•南通一模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，0），AB∥OC，直线经过点B、C． （1）点C的坐标为（　 　 ， 　 ），点B的坐标为（　 　 ，　 ）； （2）设点P是x轴上的一个动点，若以点P、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标． （3）如图2，直线l经过点C，与直线AB交于点M，点O关于直线l的对称点O′，连接并延长CO′，交直线AB于第一象限的点D．当CD＝10时，求直线l的解析式． （二）反比例函数综合题 11．（2024•达州）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标． 考点五 函数的实际应用 （一）一次函数的应用 12．（2026•海门模拟）某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程． （二）二次函数的应用 13．（2026•启东市模拟）如图，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在原点O处击球，目标是离击球点10米远的球洞，球的飞行路线是一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2米（击球点、落地点、球洞三点共线），球在空中最高处达3.2米． （1）求表示球飞行的高度y（单位：米）与表示球飞出的水平距离x（单位：米）之间的函数关系式； （2）当球的飞行高度不低于3米时，求x的取值范围． （三）反比例函数的应用． 14．（2025•如皋二模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 （1）根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； （2）安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8：30从家出发，请判断李老师能否在上午9：10之前到达天后宫，并说明理由； （3）据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 考点六 菱形的性质和判定 15．（2026•海门区模拟）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O． （1）求证：△ABF≌△CAE； （2）HD平分∠AHC吗？为什么？ 16．（2026•启东市模拟）如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EG平分∠AEF交CD于点G，FH平分∠EFD交AB于点H． （1）求证：四边形EGFH是平行四边形； （2）当∠AEF＝　 °时，四边形EGFH是菱形． 17．（2026•海安市一模）在学习了平行四边形与特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，可以通过平行四边形巧妙地构造菱形．下面作法就是其中一种． 作法：在平行四边形ABCD中，作BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，连接EF． （1）根据以上作法，用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）； （2）证明：四边形AEFB为菱形． 考点七 圆的性质和圆的计算 18．（2025•南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB． （1）连接OB，求证：OB⊥PB； （2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． 19．（2024•南通）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A与BC相切于点D． （1）求图中阴影部分的面积； （2）设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长． 20．（2023•南通）如图，等腰三角形OAB的顶角∠AOB＝120°，⊙O和底边AB相切于点C，并与两腰OA，OB分别相交于D，E两点，连接CD，CE． （1）求证：四边形ODCE是菱形； （2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积． 考点八 圆的切线的判定与性质 21．（2026•海门区模拟）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB． （1）求证：PB是⊙O的切线； （2）若，BC＝2，求PO的长． 22．（2026•海门区模拟）综合探究 如图所示，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且D为AC的中点，弦AC，BD相交于点E． （1）求证：△ADE∽△BDA； （2）若AB＝8、∠AEB＝122.5°，求的长（结果用π表示）； （3）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，若，求BF的长． 考点九 作图—应用与设计作图 23．（2026•海门区模拟）LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮） （1）如图①，已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6m，AC＝8m，若在△ABC的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，EF垂直平分BC，垂足为点F，交AC于点E；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC＝5m，BC＝6m，AD为BC边上的高，在△ABC的三个顶点处都装有感应灯；该三角形内能使感应灯B亮的区域面积为多少？ （3）如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯E亮的区域图形． 考点十 相似形综合题 24．（2025•湖北）在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，求证：△BCE∽△ACD； （2）如图2，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长； （3）如图3，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K． ①求证：AC＝CF； ②当时，直接写出的值． 25．（2026•海门区模拟）某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED＝3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH＝5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度． 26．（2026•海门区模拟）已知：如图，等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM． （1）猜想：线段AE、MD之间有怎样的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE，求tan∠BCP的值． 考点十一 解直角三角形的应用 27．（2021•榆阳区模拟）著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 28．（2026•海门区模拟）天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩．“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营．如图，小明同学为测量一棵大树AB的高度，他先在水平地面的点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC＝35°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求大树AB的高度．（结果精确到1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 1 学科网（北京）股份有限公司 $