专题02 多边形的概念与内角和、外角和问题（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

专题02 多边形的概念与内角和、外角和问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一 多边形的概念与分类 1 题型二 正多边形概念辨析 3 题型三 多边形对角线的条数问题 5 题型四 对角线分成的三角形个数问题 8 题型五 多边形内角和问题 10 题型六 正多边形的内角问题 13 题型七 复杂图形的内角和 17 题型八 正多边形的外角问题 20 题型九 多边形内角和与外角和综合 22 题型十 多边形外角和的实际应用 24 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 多边形的概念与分类 1．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【思路引导】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【规范解答】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【规范解答】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 3．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由见解析 【思路引导】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度； （2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案. 【规范解答】（1）解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和， 第二边为cm，第三边为：cm， 第四边长为： 即第四边的长为：cm. （2）当时， 即前三条边的长的和等于第四条边的长， 所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段. 【考点剖析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键. 题型二 正多边形概念辨析 4．（25-26七年级上·四川成都·月考）下列说法中正确的是（   ） A．若，则点是线段的中点 B．两点之间的线段叫做两点间的距离 C．六条边都相等的六边形是正六边形 D．直线和直线表示同一条直线 【答案】D 【思路引导】根据线段中点的定义可判断A；根据两点间的距离的定义可判断B；六条边和六个内角都相等的六边形是正六边形，据此可判断C；根据直线的表示方法可判断D． 【规范解答】解：A、若，且点C在线段上，则点是线段的中点，原说法错误，不符合题意； B、两点之间的线段的长度叫做两点间的距离，原说法错误，不符合题意； C、六条边和六个内角都相等的六边形是正六边形，原说法错误，不符合题意； D、直线和直线表示同一条直线，原说法正确，符合题意； 5．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【思路引导】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 6．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列说法中错误的有（   ） ①圆上任意两点A，B间的部分叫做扇形； ②一个角的度数为，则它的余角的度数为； ③正三角形，长方形和正方形都是正多边形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了弧的定义，正多边形的定义，求一个角的余角度数，角度制，根据弧的定义可判断A；度数之和为90度的两个角互余，据此可判断B；所有边长都相等的多边形叫做正多边形，据此可判断C；把，据此可判断D． 【规范解答】解：①圆上任意两点A，B间的部分叫做弧，原说法错误； ②一个角的度数为，则它的余角的度数为，原说法错误； ③正三角形，正方形都是正多边形，长方形不是正多边形； ④，原说法错误． ∴说法错误的有4个， 故选：D． 题型三 多边形对角线的条数问题 7．（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【思路引导】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【规范解答】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 8．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【思路引导】从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可． 【规范解答】解：由题意得， ∴． 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【思路引导】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【规范解答】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 题型四 对角线分成的三角形个数问题 10．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【思路引导】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【规范解答】（1）解：如图， 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 4 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 （2）解：根据表中规律，n边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．单项式的次数是3 C．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成3个三角形 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间线段最短” 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的绝对值、单项式的次数、多边形的对角线以及几何公理等概念，需逐一判断各选项的正误，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：A、有理数的绝对值非负，且0的绝对值最小，为0，故A正确； B、单项式的次数是变量指数的和，中变量的指数为2，为常数，故B错误； C、过边形一个顶点的对角线将图形分成个三角形，六边形，应分成4个三角形，故C错误； D、用两个钉子固定木条的原理是“两点确定一条直线”，而非“两点之间线段最短”，故D错误； 故选：A． 12．（25-26七年级上·重庆·期末）从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】B 【思路引导】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【规范解答】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 题型五 多边形内角和问题 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点O在直线上方，连接、，若，分别平分，，平分，平分且交的反向延长线于点Q．若时，则的度数为_______． 【答案】/度 【思路引导】通过角平分线的条件可推导出和的度数均为，再利用四边形内角和为得到，结合，求解二元一次方程组，解得的度数． 【规范解答】解：平分，平分， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 在四边形中，，， ， 又， 解得． 14．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】多边形内角和 且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【规范解答】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 15．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形分别平分四边形的外角和，交于点，若，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查四边形内角和，三角形内角和，角平分线的定义，先证，结合角平分线的定义，得出，再在和中利用三角形内角和定理列式，通过等量代换即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， ，， ， 分别平分和， ，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得， 故选：C． 题型六 正多边形的内角问题 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 【答案】56 【思路引导】本题主要考查了正多边形的性质，平行线的判定和性质．根据正多边形的性质，可得，过点B作，可得，即可求解． 【规范解答】解：∵正五边形的内角和为， ∴， 如图，过点B作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：56． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，请用所学的多边形的知识探索正九边形的内角的大小． 【答案】 【思路引导】本题主要考查多边形内角和的探究，从正九边形的一个顶点出发，引出的对角线将该正九边形分成7个三角形，根据三角形内角和定理可得结论． 【规范解答】解：如图，从正九边形的顶点A出发，引出的对角线将该正九边形分成7个三角形，这七个三角形的内角和为，于是正九边形的内角和为， 所以正九边形的每一个内角为， 18．（24-25七年级下·河南南阳·期末）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 【答案】[知识储备] 1．；2．；[任务一：寻找密铺] 1．；2．；[任务二：创作密铺] 1．，；2．，无；结论：“智慧小组”方案；[任务三：应用密铺]方案1：见解析；方案2：见解析 【思路引导】本题考查多边形的内角和、正多边形的性质、平面镶嵌、二（三）元一次方程的解，熟练掌握相关知识并灵活运用是解答的关键． [知识储备] 1．根据正多边形的性质及内角和公式求解即可；2．根据周角为可得答案； [任务一：寻找密铺] 1．根据各正多边形性质和内角，结合镶嵌知识逐个判断即可；2．根据五边形的内角和求解即可； [任务二：创作密铺]1．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而可得解为；2．根据两个正多边形的内角，可得方程，进而分析方程无解；进而可得结论； [任务三：应用密铺]方案1：分正三角形和正方形、正三角形和正六边形讨论求解即可；方案2：根据镶嵌原理和三个正多边形的内角度数列方程讨论求解即可． 【规范解答】解：[知识储备] 1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合． [任务一：寻找密铺] 1．A、正三角形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； B．正方形的每个内角为，且各边相等，能够单独密铺平面； C．正五边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； D．正六边形的每个内角为且各边相等，，能够单独密铺平面； E．正八边形的每个内角为，不能使公共顶点处所有角的和为，不能够单独密铺平面； 故答案为：ABD； 2．∵五边形的内角和为，， ∴； [任务二：创作密铺] 由于正方形的每个内角为，正八边形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程，可以找到方程的正整数解为； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程，发现方程无正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：“智慧小组”方案； [任务三：应用密铺] 方案1：①设正三角形x个，正方形y个，则， ∵x、y为正整数， ∴， 故可由3个正三角形和2个正方形组合密铺，如图： ②设正三角形m个，正六边形n个，则， ∵m、n为正整数， ∴或， 故可由2个正三角形和2个正六边形组合密铺或4个正三角形和1个正六边形组合密铺； 方案二：设正三角形a个，正方形b个，正六边形c个，则， ∵a、b、c为正整数， ∴， 故可由1个正三角形、2个正方形和1个正六边形组合密铺，如图： 题型七 复杂图形的内角和 19．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【规范解答】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 20．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【规范解答】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【考点剖析】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 21．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【规范解答】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型八 正多边形的外角问题 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是 ____． 【答案】36 【思路引导】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理，熟练掌握正多边形的外角公式是解题的关键．先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【规范解答】解：∵五边形为正五边形， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则______； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则______． 【答案】 /80度 /180度 【思路引导】本题考查了多边形的外角和，以及三角形的内角和． （1）根据图1可求出的度数，根据图2可求出的度数，进而可得答案； （2）利用的外角和是，得到，据此求解即可． 【规范解答】解：（1）由图1可知，恰好是正六边形的一个外角，则， 由图2可知，恰好是正九边形的一个外角，则， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵的外角和是， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时，__________． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 【答案】 【思路引导】此题考查了正多边形的内角和外角和计算，分别计算正三角形，正四边形，正五边形中的值，找到计算思路，据此求出当时的度数，熟练掌握正多边形外角和及内角与外角的关系是解题的关键 【规范解答】解：正三角形中， ， 正四边形的每个内角为，， 正五边形的每一个内角为，， 正六边形的每一个内角为，， 依次类推，正n边形的每一个内角为， 则， ∴当时，． 故答案为： 题型九 多边形内角和与外角和综合 25．已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 【答案】边数为 【思路引导】设边数为，根据一个多边形的内角和比外角和大列方程即可求解． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，边形内角和为，该多边形内角和比外角和大， ∴列方程得： 整理得 解得， ∴这个多边形的边数为． 26．（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【思路引导】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【规范解答】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 27．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【规范解答】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键． 题型十 多边形外角和的实际应用 28．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键． 根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可． 【规范解答】解：根据题意得：某人在途中转过了， 由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了， 则他在A处转过的度数为 故选：D． 29．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）求下列图中的的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了一元一次方程的实际应用，三角形内角和定理，多边形外角和，解题的关键在于根据图形建立等量关系． （1）根据图形以及三角形内角和建立等量关系，即可解题； （2）根据图形以及多边形外角和建立等量关系，即可解题． 【规范解答】（1）解：由图知， ； （2）解：由图知， ． 30．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 【答案】 【思路引导】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【规范解答】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【思路引导】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【规范解答】解：如下图，共有10种， 故选：B． 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律的代数式． 找出图形规律的代数式，然后求解即可． 【规范解答】解：过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形； 过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形； 过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形， …… 过边形一个顶点的所有对角线，将其分成个三角形， ∴， 解得， 故选：A． 3．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 【答案】B 【思路引导】本题考查了多边形的对角线．根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【规范解答】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是八边形， 故选∶B． 4．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【思路引导】此题考查多边形分割为三角形的方法，确定各方法中不重复不遗漏是解题的关键 【规范解答】如图，共有10种 故选：B 6．（25-26七年级下·福建·月考）如图，，，，已知，则的度数为______． 【答案】/65度 【思路引导】根据平角定义可求出的度数，如图所示，过点作，可求出，由此可求，根据， ，可求出的度数，如图所示，过点作，可得，由此即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 如图所示，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级上·四川成都·期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【思路引导】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【规范解答】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知，，，，则、满足的数量关系为___________． 【答案】 【思路引导】延长交于，过作，根据平行线的判定和性质得出，，求出，，根据四边形内角和是即可求出，即可求解． 【规范解答】延长交于，过作，如图： ∵， ∴， ∴，， ∴， ， 又∵， ∴， 即． 10．（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则________． 【答案】或 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质，正多边形的内角，三角形内角和定理；由题意知为某正五边形的任意四个顶点时，即满足题意，分点为正五边形的中心和顶点两种情况讨论． 【规范解答】解：依题意，当为正五边形的中心点时即满足题意， ． 当为正五边形的顶点时即满足题意， ∴ 故答案为：或． 11．（21-22七年级下·四川资阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）先求出，再求出，即可求解； （2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的定义得到， 即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在学习了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，老师让同学们小组探究“四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关系？”（以下提到的四边形均为凸四边形），爱动脑筋的小冰同学对“四边形的两个外角与它不相邻的两个内角有什么关系”开展了自己的探究，下面是她的探究过程： 已知：如图①，在四边形中，、是四边形的两个外角． 猜想：； 证明：， ． 证明过程缺失 (1)请你补全缺失的证明过程； (2)同桌小宇看了小冰的证明过程之后，指出小冰只考虑了“与是两个相邻外角”的情况，缺少“与是两个不相邻外角”的情况，如图当“与是两个不相邻外角”时，______（填“”“”“”）； (3)综合（1）（2），请用文字描述小冰发现的结论为：______； (4)如图③，在四边形中，，平分，平分，若，则______度 【答案】(1)见解析 (2) (3)四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和 (4) 【思路引导】（1）由平角的定义可得，，分别表达，，进而可得； （2）结合（2）中的证明过程可得出结论； （3）四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和； （4）结合（3）中的结论可得出结论． 【规范解答】（1）解：，， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ，， ， ； （3）解：由（1）（2）的证明过程可得出结论：四边形的两个外角和等于与它们不相邻的两个内角的和； （4）解：如图，在四边形中，， ， 平分，平分， ； 如图，过点作， ， ， ，， ． 【考点剖析】本题以四边形外角为探究对象，从相邻到不相邻分类讨论，结合平角、内角和与平行线性质推导结论，体现了“从特殊到一般”的探究思路与“转化化归”的数学思想． 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形是一个直角三角形． (1)在左图中画出边上的高． (2)三角形剪去一个直角后得到四边形（如图）．不测量，和的和是（    ）度．（填序号） ①90  ②180  ③270  ④360 (3)你是怎么想的？把你的想法写下来． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3)见解析 【思路引导】此题考查三角形的高，三角形内角和，四边形内角和，利用相关性质进行计算即可解答． （1）画出边上的高即可； （2）根据三角形内角和定理和四边形内角和定理即可解答； （3）根据三角形内角和定理和四边形内角和定理即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，即为边上的高 （2）解：③，理由如下 （3）解：根据三角形内角和定理可得， 因为， 所以， 因为四边形内角和为， 所以， 故选：③． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)如图①，在对补四边形中，，、的平分线分别与，相交于点E，F，求证． (2)如图②，在四边形中，对角线，交于点E，且平分，，平分与交于点F，且于点G，判断四边形是否为对补四边形，并说明理由． (3)已知四边形是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示．若平分，平分，且直线，交于点O（与点C不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是对补四边形．理由见解析 (3)或或 【思路引导】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和与外角性质是解题的关键． （1）由对补四边形的定义及角平分线的定义可得 ，由同角的余角相等可得，从而即可得证； （2）由角平分线的性质、三角形外角的定义以及同角的余角相等可求得，从而即可得到四边形是对补四边形； （3）根据题意画出图形，再根据对补四边形的定义、角平分线的性质、四边形的内角和为，以及三角形外角的定义，进行计算即可得到答案． 【规范解答】（1）证明： 又∵四边形是互补四边形， ， ∵、分别平分、, ∴, ∵, ∴, 在中, , ∴, ∴, ∴； （2）解：四边形是对补四边形，理由为： ∵是的外角, ∴, 又∵, ∴, ∴, ∵, ∴, 在中, , ∴, 又∵, ∴, ∵、分别平分、, ∴, , ∴， ∴四边形是对补四边形. （3）解：① ∵四边形是对补四边形， ∴, , ∵、分别为和的角平分线, ∴, ∵四边形内角和为， ∴在四边形中，,即, ∵, ∴,即； ②， ∵四边形是对补四边形， ∴, ∵、为角平分线, ∴, ∵在中, , 在中, , ∴, 即； ③ ∵四边形是对补四边形， ∴,， ∵、为角平分线, ∴, ∵在中, 外角, 在中, , ∴， ∵ ∴，即， 综上所述，与之间的数量关系为或或． 15．（24-25八年级上·河北沧州·月考）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4)540； 【思路引导】（1）根据“三角形内角和是“，进行等量代换即可求解； （2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （3）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （4）连接，构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规律即可求出n角星内角和． 【规范解答】（1）解：，，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴ ； （3）解：连接， 由（1）得：， 在中，， 即， 即五角星的五个内角之和为． （4）解：连接，如图所示， 由（1）可得，， ∴ ； ∵五角星内角和，七角星内角和， ∴“n角星”的n个内角的和为， 故答案为：540；． 【考点剖析】本题考查的是三角形内角和定理和多边形内角和，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 多边形的概念与内角和、外角和问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一 多边形的概念与分类 1 题型二 正多边形概念辨析 2 题型三 多边形对角线的条数问题 3 题型四 对角线分成的三角形个数问题 4 题型五 多边形内角和问题 5 题型六 正多边形的内角问题 6 题型七 复杂图形的内角和 8 题型八 正多边形的外角问题 9 题型九 多边形内角和与外角和综合 10 题型十 多边形外角和的实际应用 11 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 多边形的概念与分类 1．下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 2．（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 题型二 正多边形概念辨析 4．（25-26七年级上·四川成都·月考）下列说法中正确的是（   ） A．若，则点是线段的中点 B．两点之间的线段叫做两点间的距离 C．六条边都相等的六边形是正六边形 D．直线和直线表示同一条直线 5．如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 6．（24-25六年级下·山东淄博·期中）下列说法中错误的有（   ） ①圆上任意两点A，B间的部分叫做扇形； ②一个角的度数为，则它的余角的度数为； ③正三角形，长方形和正方形都是正多边形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 多边形对角线的条数问题 7．（25-26七年级下·山东淄博·期中）探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 8．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 题型四 对角线分成的三角形个数问题 10．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 11．（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0 B．单项式的次数是3 C．过六边形的一个顶点与其他顶点的连线把图形分成3个三角形 D．用两个钉子可以将一根细木条固定在墙上，其数学原理是“两点之间线段最短” 12．（25-26七年级上·重庆·期末）从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 题型五 多边形内角和问题 13．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知，E、F分别在、上，点O在直线上方，连接、，若，分别平分，，平分，平分且交的反向延长线于点Q．若时，则的度数为_______． 14．如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形分别平分四边形的外角和，交于点，若，，则可表示为（    ） A． B． C． D． 题型六 正多边形的内角问题 16．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，已知正五边形的内角和为，，若，则_________． 17．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，请用所学的多边形的知识探索正九边形的内角的大小． 18．（24-25七年级下·河南南阳·期末）项目学习：生活中的密铺 【描述定义】在数学中用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺满整个平面，称为平面图形的密铺（或称为平面镶嵌）．在现实生活中，地砖、墙砖、蜂巢等都用到了密铺的原理． 【知识储备】1．对于正边形，每个内角都相等，那么一个内角的度数是____________； 2．密铺的条件：当公共顶点处所有角的和为____________，并使相等的边重合． 【任务一：寻找密铺】 1．下列正多边形中，能够单独密铺平面的是（   ）．（多选） A．正三角形    B．正方形    C．正五边形    D．正六边形    E．正八边形 2．公园的一段甬道是用相同的五边形地砖拼铺而成的，如图1是拼铺图案的一部分，图2为图1中抽象出的一个五边形，其中，则的度数为____________． 【任务二：创作密铺】 七（1）班数学“智慧小组”提出：同时用“正方形+正八边形”的密铺方案， 数学“挑战小组”提出：同时用“正方形＋正六边形”的密铺方案； 请你思考并判断哪个小组方案可行，可进行如下验证： 验证方案： 1．“智慧小组”方案（正方形+正八边形）：设正方形x个，正八边形y个，根据题意，可得方程____________，可以找到方程的正整数解为____________； 2．“挑战小组”方案（正方形+正六边形）：设正方形m个，正六边形n个，根据题意，可得方程____________，发现方程____________（填：有或无）正整数解； 结论：由上可得，可行的方案是：________________________． 【任务三：应用密铺】 某小区广场计划用不同的正多边形地砖组合密铺（边长相同）．已有正三角形地砖，现打算购买正方形或正六边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请你设计两种共顶点组合密铺方案，并画出示意图． 方案1：用两种正多边形（只画一种情况）， 方案2：用三种正多边形． 题型七 复杂图形的内角和 19．（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，等于（    ） A． B． C． D． 21．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 题型八 正多边形的外角问题 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是 ____． 23．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则______； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则______． 24．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形．如图，就是一组正多边形，边数为，观察每个正边形中的变化情况，当时，__________． 正多边形的边数 3 4 5 6 的度数 题型九 多边形内角和与外角和综合 25．已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 26．（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 27．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 题型十 多边形外角和的实际应用 28．（25-26八年级上·山东泰安·期末）某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）求下列图中的的值． (1) (2) 30．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 1．（25-26七年级上·河南郑州·期末）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 2．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，过四边形一个顶点的所有对角线，将其分成2个三角形；过五边形一个顶点的所有对角线，将其分成3个三角形；过六边形一个顶点的所有对角线，将其分成4个三角形，…，依此规律，过边形一个顶点的所有对角线，将其分成了18个三角形，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 3．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）从某多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成了6个三角形，则此多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．七边形 D．六边形 4．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为八边形的一种三角剖分方法，若在只确定连接线段、的前提下，一共有（　　）种三角剖分方法 A．8 B．10 C．12 D．14 6．（25-26七年级下·福建·月考）如图，，，，已知，则的度数为______． 7．（25-26七年级上·四川成都·期末）从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 8．（25-26八年级上·吉林松原·期中）用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 9．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知，，，，则、满足的数量关系为___________． 10．（23-24七年级下·江苏·期中）在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，我们把具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集，如图，四边形的四个顶点构成爱尔特希点集，若平面内存在一个点与，，，也构成爱尔特希点集，则________． 11．（21-22七年级下·四川资阳·期末）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）在学习了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”之后，老师让同学们小组探究“四边形的外角和它不相邻的内角之间有什么关系？”（以下提到的四边形均为凸四边形），爱动脑筋的小冰同学对“四边形的两个外角与它不相邻的两个内角有什么关系”开展了自己的探究，下面是她的探究过程： 已知：如图①，在四边形中，、是四边形的两个外角． 猜想：； 证明：， ． 证明过程缺失 (1)请你补全缺失的证明过程； (2)同桌小宇看了小冰的证明过程之后，指出小冰只考虑了“与是两个相邻外角”的情况，缺少“与是两个不相邻外角”的情况，如图当“与是两个不相邻外角”时，______（填“”“”“”）； (3)综合（1）（2），请用文字描述小冰发现的结论为：______； (4)如图③，在四边形中，，平分，平分，若，则______度 13．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，三角形是一个直角三角形． (1)在左图中画出边上的高． (2)三角形剪去一个直角后得到四边形（如图）．不测量，和的和是（    ）度．（填序号） ①90  ②180  ③270  ④360 (3)你是怎么想的？把你的想法写下来． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）定义：有一组对角互补的四边形叫做对补四边形． (1)如图①，在对补四边形中，，、的平分线分别与，相交于点E，F，求证． (2)如图②，在四边形中，对角线，交于点E，且平分，，平分与交于点F，且于点G，判断四边形是否为对补四边形，并说明理由． (3)已知四边形是对补四边形，其三个顶点A，B，D如图③所示．若平分，平分，且直线，交于点O（与点C不重合），请直接写出与之间的数量关系． 15．（24-25八年级上·河北沧州·月考）“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $