专题01 三角形的定义与相关计算十六大题型（专项训练）数学新教材青岛版七年级下册

**基本信息** 以16类题型系统构建三角形概念-性质-应用逻辑链，提炼辅助线添加、分类讨论等解题方法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A题型建模|16题型（32道例题）|辅助线添加（作平行线/延长线）、分类讨论（等腰三角形边长）、方程思想（角度计算）、面积转化（中线性质）|从定义（识别/分类）到性质（内角和/外角/三边关系）再到特殊线段（角平分线/高/中线/重心）递进| |B综合攻坚|15道综合题|多知识点融合（平行线与内角和）、动态问题分析（动点与角度）|基础知识点的综合应用与拓展迁移|

专题01 三角形的定义与相关计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一 三角形的识别与有关概念 1 题型二 等腰三角形的定义 3 题型三 三角形的分类 5 题型四 三角形内角和定理的证明 6 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题 10 题型六 三角形内角和定理的应用 13 题型七 三角形的外角的定义及性质 15 题型八 构成三角形的条件 18 题型九 确定第三边的取值范围 19 题型十 三角形三边关系的应用 21 题型十一 三角形角平分线的定义 23 题型十二 画三角形的高 25 题型十三 重心的概念 28 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 30 题型十五 根据三角形中线求长度 32 题型十六 根据三角形中线求面积 34 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 三角形的识别与有关概念 1．如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【思路引导】（）根据直线、射线、线段和角的定义画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短，可知点为的交点时的值最小，即可求解； （）由三角形的面积公式可得，即得，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，直线、射线、线段、即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【思路引导】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【规范解答】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 题型二 等腰三角形的定义 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或． 【思路引导】根据非负性可得，，求解得，，再分成是腰长和3是底边长，分别讨论，进而可得出周长． 【规范解答】解：∵实数满足，，， ∴，， 解得：，， 若是腰长， ∵， ∴以、、为边可以构成三角形， ∴的周长是； 若3是底边长， ∵， ∴以、、为边能构成三角形， ∴的周长是． 故答案为：或． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，是的三条边长，且，，是正整数． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由三角形三边关系确定绝对值内的式子的正负性，然后去绝对值符号，合并同类项化简即可； （2）利用完全平方公式对已知式子进行变形，得到，的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论，结合三角形三边关系即可确定三角形的周长． 【规范解答】（1）解：，，是的三条边长，且，，是正整数． ，，， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，， 为等腰三角形， 若腰长为，则三边长为，，，，故不能构成三角形； 若腰长为，则三边长为，，，可构成三角形， 的周长为． 题型三 三角形的分类 5．（25-26七年级下·山东济南·月考）在中，，这个三角形为______三角形． 【答案】钝角 【思路引导】根据三角形内角和定理，求出最大角的度数，即可确定三角形的形状． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴为钝角三角形． 6．（25-26七年级下·全国·周测）下列对的判断中，错误的是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形内角和定理及三角形分类， 通过角度计算可准确判断三角形类型． 根据三角形内角和定理计算各角度数，再依据锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义判断． 【规范解答】解：A、∵， 设， 则， ∴， 解得， ∴，是直角三角形，正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是钝角三角形， 但选项判断为锐角三角形， 错误，符合题意； C、∵， ∴， 所有角均小于，是锐角三角形，正确，不符合题意； D、∵， 设， 则， ， ∴， 解得， ∴ ，是直角三角形， 正确，不符合题意； 故选：B． 题型四 三角形内角和定理的证明 7．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）一个长方形台球的桌面如图所示，一个球在桌面的点滚向桌边，碰到上的点后反弹滚向桌边，碰到上的点反弹滚向点．已知，在碰撞中始终满足． (1)在图1中，判断路线，有何位置关系？请直接写出结论___________； (2)如图2，当球碰撞到上的点时反弹滚向桌边上的点，再反弹滚向点． ①在图2中，画出球经过方向击出，经过两次碰撞反弹的路线； ②（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②成立，理由见解析 【思路引导】（1）推导出，得到，进而推导出，则，即可解答； （2）①根据题意作图即可；②由图得到，推导出，进而求出，则，即可解答． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，即为两次碰撞反弹的路线； ②成立，理由如下： 由图可知， ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴． 8．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①，；② 【思路引导】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， （1）首先得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，表示出，然后在中，根据两锐角互余得到，进而求解即可； （3）①设，根据题意得到①，②，联立求解即可； ②与①同理的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）解：设， ， ， ， ； ， ， 在中，， ， ． （3）解：①如图3，设，则， ， ， ， ， 即①， ， ， ， 又， 即②， 由①，②解得：， ，． ②与①同理可得，． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题 9．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四边形中，，点F、E分别在和的延长线上，连接交于点，交于点，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】（1）根据同位角相等，两直线平行解答即可； （2）求得，再根据平行线的性质，求解即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ， ， ， ； （2）解：连接， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ． 10．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【思路引导】（1）小刚的证明：过点作，可得，再根据平行线的性质证明即可求证；小红的证明：延长交于点，可得，再利用三角形内角和定理即可求证； （2）利用三角形内角和定理证明即可求证； （3）由角平分线的定义得，设，则，得，再根据（2）的条件得，解得，设，同理可得，即可求解； 【规范解答】（1）解：小刚的证明如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， 即； 小红的证明如下： 如图3，延长交于点， ， ， ∵，， ， 即； （2）证明：∵，， ， ， ， ； （3）解：∵平分，， ∴， 设，则， ， ∵在（2）的条件下， ， ， 解得， ， 设， ∵平分， ， ， ， ， ， ∵在（）的条件下， ， 同理可得，，即， 解得， ． 题型六 三角形内角和定理的应用 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形角平分线，高线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义以及直角三角形的两个锐角互余得出，进而即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：D． 12．（24-25八年级上·江西南昌·月考）如图，、是的高，和相交于点． (1)图中有哪几个直角三角形？ (2)图中有与相等的角吗？请说明理由． (3)若，，求，的度数． 【答案】(1)、、、、、 (2)与相等的角是．理由见解析 (3)， 【思路引导】本题考查了三角形的高线，熟记三角形的高线的定义以及直角三角形的定义是解题的关键． （1）根据直角三角形的定义，从直角顶点找出即可； （2）根据同角的余角相等解答； （3）根据直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据对顶角相等可得． 【规范解答】（1）解：直角三角形有：、、、、、； （2）解：与相等的角是． 理由如下：、是的高， ，， ， 与相等的角是； （3）解：，是高， ， 在中，， ． 题型七 三角形的外角的定义及性质 13．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】延长交于点P，根据平行线的性质可求得，再根据外角的性质求解即可． 【规范解答】解：延长交于点P， ， ， ， ． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查角平分线，三角形的外角和等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和，进行解答，即可． （1）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （2）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （3）根据（2）得到的结论，同理，，得到，进行计算，即可． 【规范解答】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，， ∵平分，平分，平分，平分，平分、平分，， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型八 构成三角形的条件 15．长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 【答案】16或17/17或16 【思路引导】本题考查三角形三边关系的运用，将四根木棍中的任意两根连接成一根，判断与另外两根能否构成三角形，即可求解． 【规范解答】解：由题意得：5，6，，，不能组成三角形； ，11，16，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，，16，，能组成三角形，最长边长度为17； 6，11，，，不能组成三角形； 6，16，，，能组成三角形，最长边长度为16； 5，11，，，不能组成三角形； 得到的三角形的最长边的长度为16或17． 故答案为：16或17． 16．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 【答案】(1)有三种规格的钢管可供选择 (2)元 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系，等腰三角形定义，有理数四则混合运算的应用，熟记：“三角形的两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边”是解题的关键． （1）根据三角形三边关系即可求解； （2）根据等腰三角形定义以及三角形三边关系求出第三边长，进而可求解． 【规范解答】（1）解：已经购买的两根钢管的长度是和，根据三角形的任意两边之和大于第三边， ，即， 有三种规格的钢管可供选择； （2）三角形底座为等腰三角形， （不符合题意，舍去），， 总费用为（元）． 题型九 确定第三边的取值范围 17．（25-26七年级下·河南郑州·期中）阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________． (3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？ 【答案】(1)， (2)，，或 (3)当时，代数式取得最大值，最值为 【思路引导】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系； （1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果； （2）根据阅读材料的方法进行运算，求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的值即可； （3）将式子化为，然后根据偶次方的非负性解答即可． 【规范解答】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解： ， ∴，， 解得，， ∴，即， 又∵c是中最短边的边长，且c为整数， ∴或， 故答案为：，，或； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 即时，代数式取得最大值，最值为． 18．（25-26七年级下·全国·周测）如下图，在中，，． (1)求的取值范围； (2)若，点，分别在，的延长线上，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了三角形三边关系、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握三角形三边关系求边长范围，平行线同旁内角互补，三角形内角和为是解题的关键． （1）利用三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，代入已知边长求的范围； （2）先由平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理，结合已知的，求出的度数． 【规范解答】（1）解：在中，． ∵，， ∴，即． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴． 题型十 三角形三边关系的应用 19．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)；3 (2)等腰三角形的周长为17 【思路引导】本题考查了三角形三边关系、绝对值化简及非负数的性质在等腰三角形中的应用，解题的关键是熟练运用三角形三边关系、配方法及分类讨论思想． （1）利用三角形三边关系求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简式子； （2）用配方法求出、的值，再结合等腰三角形的性质和三边关系求周长． 【规范解答】（1）解：根据三角形三边关系，得： ， ． ， ，， ． （2）解：， ， ． ，， ，， ，， 是等腰三角形， 分两种情况①当腰长为时，三边长为，，， ，能构成三角形， 周长为； ②当腰长为时，三边长为，，， ，不能构成三角形，舍去． 综上，这个等腰三角形的周长为17． 20．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据例题用配方法，得出，即可求解； （2）将已知等式用完全平方公式因式分解得出，根据非负数的性质求得，再根据三角形的三边关系，即可求解； （3）利用作差法得出，即可求解． 【规范解答】（1）解： 当，即时，的最小值为 （2）解：∵ ∴，即 ∵ ∴ ∵ ∴ （3）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ 题型十一 三角形角平分线的定义 21．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 【答案】角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；同角的补角相等 【思路引导】由角平分线的定义可得，结合题意得出，从而可得，再证明出，即可得证． 【规范解答】解：∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 22．如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线． (1)在动点A运动的过程中，___________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？ (2)若存在平分，在此情形下，证明； (3)当时，计算出的度数？ 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义进行解答即可； （2）根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到； （3）根据垂线的性质得到，利用三角形内角和为进行解答即可． 【规范解答】（1）解：， ，， 当时，， 此时，平分 因此，在动点A运动的过程中，是存在某一时刻，使得平分； （2）证明：平分， ， ， ，， ； （3）解：， ， ， ． 题型十二 画三角形的高 23．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． (1)【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； (2)【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 【答案】(1)钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于三角形外部． (2)或 【思路引导】（1）画钝角三角形，并作出三条高即可得出其特点； （2）分高在内部和高在外部两种情况求解． 【规范解答】（1）解：如图，钝角中， 分别为边上的高，相交于， 所以钝角三角形两条边上的高均在三角形外部，第三条边上的高在三角形内部， 且三条高交于一点，交点位于三角形外部； （2）解：情况一：如图，高在内部， 为边的高， ， 又， ， ， ； 情况二：如图，高在外部， 为边的高， ， 又， ，， ， ； 综上，的度数为或． 24．（25-26八年级上·山西朔州·月考）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形三条高的交点为直角顶点的性质进行解答即可； （2）根据三角形三条高所在直线交于一点的性质，作出第三条高即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点； （2）解：延长、交于点，连接，延长交于点，则线段为的第三条高， （3）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 题型十三 重心的概念 25．点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 【答案】 【思路引导】本题考查重心的定义，三角形中线有关的面积问题，根据三角形三条中线交点为三角形的重心，结合三角形中线有关的面积特征求解即可． 【规范解答】解：连接并延长交于， ∵点是的重心， ∴，，是的中线， 即为的中点，为的中点，为的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴由得到， ∴， ∴， 故答案为：． 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【规范解答】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 27．（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 【答案】(1)，3 (2)图见解析， 【思路引导】（1）根据点到直线的距离即可解答； （2）作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离，再利用等积法即可求出的长． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴点到直线的距离是垂线段的长度，该长度是； （2）解：如图，作于点，则垂线段的长度就是点到直线的距离， ∵， ∴． 28．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【思路引导】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【规范解答】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 题型十五 根据三角形中线求长度 29．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【思路引导】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【规范解答】解：（1） 的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2） ， ， 又点E为线段的中点， ． 30．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的面积公式，三角形的中线的性质，三角形的高的定义，通过是的高，的面积为，求得，再由是的中线得，代入即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的高，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：． 题型十六 根据三角形中线求面积 31．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 【答案】 【思路引导】根据，可知，再根据即可求解． 【规范解答】解：已知中， ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 32．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2）；理由见解析 （3）；证明见解析 【思路引导】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （2）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （3）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【规范解答】（1）； 证明：， ， ， ； （2）过点作交于点， ， ， 点为中点， ， ， ； ， ， ． （3）过点作交于点， ， ， ， ， 则． 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据所选木条为最长边确定不等关系，结合三角形三边关系求出第三边的取值范围，再匹配选项得到结果． 【规范解答】解：设所选木条长度为 ∵是三角形的最长边，已有两边长为和 ∴ 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得 ， 即 因此的取值范围为 结合选项可知，只有满足该范围． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【规范解答】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）若某三角形面积为，其中一边长为，则该边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据面积公式推导出高的表达式，再代入化简即可得到结果． 【规范解答】解：设该边上的高为，底边长为， ∴ 三角形面积公式为 ， ∵面积 ，底边长为， ∴ ． 4．有两根长度分别为，的木棒，下面为第三根的长度，首尾连接，则可围成一个三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再结合选项即可解答． 【规范解答】解：设第三根木棒的长度为， ∵ 两根木棒长分别为和， ∴ ，化简得：， ∴对比选项，只有满足该范围，即选项C符合题意． 5．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【规范解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 【答案】 【思路引导】由题意可得，设，则，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：∵是的“分割线”， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 【答案】12 【思路引导】利用配方法把已知式子化为平方和的形式，利用非负数的性质求出a、b的值．然后根据等腰三角形的定义进行分类计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当a为腰时，，不能构成三角形； ②当b为腰时，该三角形的周长为：． 故答案为：12． 8．（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【思路引导】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【规范解答】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 【答案】 4 【思路引导】根据三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用面积公式进行计算即可. 【规范解答】解：∵为的中线，的面积为30， ∴的面积是的面积的一半，为15， ∵， ∴， ∴的面积是的面积的，为， ∴中边上的高为. 10．（25-26七年级下·北京·期中）已知：如图，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据同角的补角相等可得，进而可以证明结论； （2）根据平行线的性质和角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理可得的度数，再根据垂直定义即可求出的大小． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）先由已知的和邻补角利用同角的补角相等得到，从而判定；再结合的条件，分别运用两直线平行的性质，得到和，通过等量代换推出；最后利用平分得到，代换即可得； （2）代入第一问结论求，由且得，可得，最后在中用内角和定理即可算出． 【规范解答】（1）证明： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)；理由见解析 【思路引导】（1）要求就是要求，那么放在中来看，只要知道即可，而，问题就迎刃而解了； （2）这一问利用两个平角的和减去四个小角得到同旁内角（）互补，从而说明两直线平行． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 13．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（______________）， ∵，（已知）， ∴（_______________）， ∴，即：________， ∴（___________________）． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线和光线平行，且，则________，________． (3)请你猜想：图中，当两平面镜、的夹角________时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行．请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行； (2)，； (3)． 【思路引导】（）先由得出，再根据已知得出，从而得出； （）先由，求出，再根据，得出，再根据和，求出，从而求出； （）由（）得，，又，则，求得，从而得出结论． 【规范解答】（1）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴，即：， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行； （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：，理由如下： 由（）得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直线，射线，交于点．已知，平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数（用含的代数式表示）： (3)若，点为射线上一点，点为线段上一点，连接，，且，随着P、Q两点的运动，和的大小随之发生变化，若在、运动过程中的值始终为定值，求的值及的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3)， 【思路引导】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，等腰三角形的定义，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合平行线的性质得，再结合等边对等角的性质以及三角形内角和性质得，又因为平分，故，最后整理代入数值到计算，即可作答． （2）结合三角形内角和得， 由得出，最后把数值代入计算，即可作答． （3）依题意，得，分别表示出，，代入，得，设，故，，又因为在、运动过程中的值始终为定值，得出，理解该式子的值为定值，与无关，故，解得，此时得出，再解得，即可作答． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ∴； ∴； （2）解：在中，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ． （3）解：设， ∵， ∴， 由（1）知 在中，， 在中，， ∴， 设， 则， ∵在、运动过程中的值始终为定值， 即， ∴， 整理得：， ∵ 该式子的值为定值，与无关， ∴， 解得， 将代入得：， ∴， 解得， 由（1）知， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 15．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 (1)如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 (2)如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 (3)如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，平角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合反射角等于入射角，得出，再根据平行线的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （2）同理得，再根据平角的性质以及三角形内角和性质进行分析，即可作答． （3）先根据反射角等于入射角，平角的性质以及三角形内角和性质，得出，，再把数值代入计算，又因为，，故，即可作答． 【规范解答】（1）解：如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，． （2）解：，过程如下： 如图所示： 依题意，得， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：依题意，如图所示： 则， ∴ ∵， 则， ∴， 则， ∴， 过点作， ∵反射光线与入射光线平行， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∵，， ∴， 即． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的定义与相关计算 目录 A题型建模・专项突破 题型一 三角形的识别与有关概念 1 题型二 等腰三角形的定义 2 题型三 三角形的分类 3 题型四 三角形内角和定理的证明 3 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题 4 题型六 三角形内角和定理的应用 6 题型七 三角形的外角的定义及性质 6 题型八 构成三角形的条件 7 题型九 确定第三边的取值范围 8 题型十 三角形三边关系的应用 9 题型十一 三角形角平分线的定义 10 题型十二 画三角形的高 11 题型十三 重心的概念 12 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 13 题型十五 根据三角形中线求长度 14 题型十六 根据三角形中线求面积 14 B 综合攻坚 能力跃升 题型一 三角形的识别与有关概念 1．如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 题型二 等腰三角形的定义 3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 4．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，，是的三条边长，且，，是正整数． (1)化简； (2)若为等腰三角形，且满足，求的周长． 题型三 三角形的分类 5．（25-26七年级下·山东济南·月考）在中，，这个三角形为______三角形． 6．（25-26七年级下·全国·周测）下列对的判断中，错误的是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若，，则是锐角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是直角三角形 题型四 三角形内角和定理的证明 7．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）一个长方形台球的桌面如图所示，一个球在桌面的点滚向桌边，碰到上的点后反弹滚向桌边，碰到上的点反弹滚向点．已知，在碰撞中始终满足． (1)在图1中，判断路线，有何位置关系？请直接写出结论___________； (2)如图2，当球碰撞到上的点时反弹滚向桌边上的点，再反弹滚向点． ①在图2中，画出球经过方向击出，经过两次碰撞反弹的路线； ②（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 8．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，两面镜子相交于点，当从固定点发出的水平光线经过镜子反射时，． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)如图2，当两面镜子的夹角为锐角时，反射光线垂直镜面，光线与镜面平行（原题条件可以看成），求的度数； (3)改变两面镜子的夹角，保持反射光线垂直镜面，记与所夹锐角为与所夹锐角为，直线与直线所夹锐角等于； ①如图3，当为锐角时，求的度数； ②当为钝角时，请直接写出的度数． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题 9．（25-26七年级下·北京·期中）如图，四边形中，，点F、E分别在和的延长线上，连接交于点，交于点，已知． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)连接，若，求的度数． 10．（23-24八年级上·辽宁辽阳·期末）探索下面不同的情境，回答问题： (1)【探索发现】已知：如图，，点在，之间，连接，． 易证：． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 小刚：如图，过点作． 小红：如图，延长交于点． 请你选择一位同学的方法，并进行证明； (2)【深入思考】如图，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：； (3)【拓展延伸】如图，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，若，，．求的度数． 题型六 三角形内角和定理的应用 11．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，，平分，则等于（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江西南昌·月考）如图，、是的高，和相交于点． (1)图中有哪几个直角三角形？ (2)图中有与相等的角吗？请说明理由． (3)若，，求，的度数． 题型七 三角形的外角的定义及性质 13．（24-25七年级下·河北廊坊·月考）如图，，将一副三角板放置在和之间，点G在上，点N在上，点G，F，M在一条直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 题型八 构成三角形的条件 15．长度分别为5，6，11，16的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边的长度为_______． 16．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）某学校需要用钢管制作一个三角形，用做园艺区的植物爬藤架的底座．几种钢管的规格及相应价格如下表： 规格（单位：） 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 30 50 65 80 90 100 学校已经购买和的钢管各一根，还需要购买一根．设还需购买的钢管长度为． (1)请问有哪几个规格的钢管可供选择（备注：钢管不裁切）？ (2)若三角形底座为等腰三角形，则购买三根钢管一共需要花费多少元？ 题型九 确定第三边的取值范围 17．（25-26七年级下·河南郑州·期中）阅读理解： 例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 解决问题： (1)若，求x、y的值； (2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________． (3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？ 18．（25-26七年级下·全国·周测）如下图，在中，，． (1)求的取值范围； (2)若，点，分别在，的延长线上，，，求的度数． 题型十 三角形三边关系的应用 19．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知的三边长为，，， (1)若，，写出的范围，并化简：． (2)若是等腰三角形，且，求这个等腰三角形的周长． 20．（25-26七年级下·四川成都·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题． 例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2． 根据阅读材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围； (3)已知，，试比较P，Q的大小． 题型十一 三角形角平分线的定义 21．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，是的角平分线，试说明：． 解：∵是的角平分线（已知） ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴ （ ）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 22．如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线． (1)在动点A运动的过程中，___________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？ (2)若存在平分，在此情形下，证明； (3)当时，计算出的度数？ 题型十二 画三角形的高 23．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）【背景材料】从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．不同类型的三角形，其高线具有不同的特点．锐角三角形三条边上的高均在三角形内部且交于一点，交点位于三角形内部；直角三角形两条边上的高与直角边重合，第三条边上的高在三角形内部，且三条高交于一点，交点位于直角三角形的直角顶点． (1)【提出问题】仿照上面的方式写出钝角三角形的高具有的特点； (2)【解决问题】在中，为边的高，若，，求的度数． 24．（25-26八年级上·山西朔州·月考）数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三角形的三条高所在直线交于同一点． 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在中，，则的三条高所在直线交于点_____________； (2)如图②，在中，，已知两条高，，请你仅用一把无刻度的直尺画出的第三条高；（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若，，求的值． 题型十三 重心的概念 25．点是的重心，若的面积等于6，_______________________． 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 题型十四 与三角形的高有关的计算问题 27．（25-26七年级下·河南郑州·月考）如图，在直角三角形中，，，，． (1)点到直线的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________． (2)画出表示点到直线的距离的线段，并求这个距离． 28．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 题型十五 根据三角形中线求长度 29．（25-26七年级下·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 30．如图，在中，是的高，是的中线，若，的面积为，则长为（    ） A． B． C． D． 题型十六 根据三角形中线求面积 31．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，已知中，，，为边上一点，，，为上一点，过点作于点，于点，则的值为_____________． 32．（25-26八年级上·山东日照·期末）在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）小芳手中握有两根长度分别为和的木条，她想钉一个三角形木框（三根木条恰好能围成三角形），桌上有下列长度的几根木条，如果要求新选择的木条是三边中的最长边，那么这根木条的长度可以为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 3．（25-26七年级下·山东青岛·月考）若某三角形面积为，其中一边长为，则该边上的高为（    ） A． B． C． D． 4．有两根长度分别为，的木棒，下面为第三根的长度，首尾连接，则可围成一个三角形框架的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，点在边上，连接．当，且时，那么我们称是的“分割线”．若是的“分割线”，则______． 7．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知为的三条边，若为等腰三角形，且满足，则的周长为___________． 8．（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 9．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，为的中线，．若的面积为30，，则中边上的高是___ 10．（25-26七年级下·北京·期中）已知：如图，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 11．（25-26七年级下·广东汕头·期中）如图，在三角形中，、分别是、边上的点，，连接，作平分，交于点．已知． (1)求证：； (2)已知，，求的度数． 12．（25-26七年级下·云南昆明·期中）【问题情境】自行车的尾灯自身并不发光，但当强光照射到尾灯上时光线会被强烈地反射回去，从而起到提醒汽车驾驶员的目的．这一效果正是利用了角反射器的原理． 【学科融合】如图1，光的反射遵循反射定律，入射光线经过镜面反射后形成反射光线，是法线，垂直于镜面，其中入射角等于反射角． 【实验探究】如图2，，是两个平面镜，入射光线经过两次反射后，形成反射光线，，且是两次反射法线的交点． (1)若，则__________° (2)试判断入射光线与反射光线是否平行，并说明理由． 13．（25-26七年级下·山东枣庄·期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． (1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？（请把证明过程补充完整） 理由：∵（已知）， ∴（______________）， ∵，（已知）， ∴（_______________）， ∴，即：________， ∴（___________________）． (2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线和光线平行，且，则________，________． (3)请你猜想：图中，当两平面镜、的夹角________时，可以使任何入射光线经过平面镜、的两次反射后，与反射光线平行．请说明理由． 14．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直线，射线，交于点．已知，平分． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数（用含的代数式表示）： (3)若，点为射线上一点，点为线段上一点，连接，，且，随着P、Q两点的运动，和的大小随之发生变化，若在、运动过程中的值始终为定值，求的值及的度数． 15．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究： 【背景资料】 如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得． 【初步探究】 (1)如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数． 【深入思考】 (2)如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明． 【拓展探究】 (3)如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $