第十章 三角形（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是圆规实物图，图2是其示意图，，以点A为支撑点，铅笔芯端点B绕点A旋转作出圆，若圆的半径，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 6．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 7．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玉（玉溪学生的代表）在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A、B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．8米 9．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 14．（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为___________度． 15．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为_____． 16．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则_________． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示）_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，的平分线交于点D．若， ，则的度数为多少？ 18．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，分别求和的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 19．（8分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图1，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求和的长； (2)如图2，在图1的基础上连接，若三角形的面积为，求三角形的面积． 20．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 21．（9分）（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知中，分别是的角平分线，过作交于． (1)若，，则___________；___________； (2)若，则___________； (3)写出与的数量关系并证明． 22．（9分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 23．（11分）（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接． (1)如图2，当，求的度数； (2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选） A．        B．        C． ②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 24．（12分）（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A C A C C C C D B C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．2 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质证得，据此求解的度数即可． 【详解】解：，， ，···································3分 的平分线交于点， ， ． 故答案为：．····································7分 18．（8分） 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合三角形内角和性质以及，得，根据，则，运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． （2）结合平分，得出，运用三角形外角性质，得，，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ， ． 平分， ， ；···································3分 （2）解：，，之间的数量关系为； 理由：平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ．···································8分 19．（8分） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是两点间的距离和三角形的面积，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据点C为中点求出AC的长度，然后根据AB的长度求出BC的长度，最后根据点N为中点求出CN的长度； （2）根据三角形的面积公式，由三角形等高，结合底的比例求三角形的面积． 【详解】（1）解：点是线段的中点，， ，． ， ． 点是线段的中点， ．···································2分 ．···································4分 （2）解：点是线段的中点，点是线段的中点， ，． ，即． 如下图，过点作，垂足为 三角形和三角形的高同为， 三角形的面积，三角形的面积 三角形的面积．···································8分 20．（8分） 【答案】(1)4 (2)①；②13 【分析】本题考查了整式的加减运算，三角形的三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设，则，，，再代入进行计算，即可作答． （2）①结合三角形的三边关系，得，故，因为a是最短边长．则； ②因为x为整数，且求三角形周长的最大值，所以的最大值为6，根据周长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∵ ∴， 解得：， ；···································2分 （2）解：①由（1）可知：，， ∵a，b，x为三角形的三边长， ， 即； ∵a是最短边长． ∴···································5分 ②∵要求出周长的最大值，且周长等于， ∴求出的最大值 由①得， x为整数， 的最大值为6， 三角形周长的最大值为：···································8分 21．（9分） 【答案】(1)； (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义和平行线的性质，关键是熟练运用整体思想． （1）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答； （2）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答； （3）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，， ；···································1分 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ．···································2分 （2）解：， ． 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ．···································4分 （3）解：．···································5分 证明如下： 在中， ． 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ．···································9分 22．（9分） 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． ···································2分 （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ．···································4分 （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ，···································6分 （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴···································9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)①A、B、C；②不变； (3)在中有一个角是另一个角的倍时，为或 【分析】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）①根据邻补角，三角形内角和定理逐项进行判断即可； ②根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）解：∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴．···································3分 （2）解：①A．，即不随点位置的变化而变化，故A符合题意； B．，即不随点位置的变化而变化，故B符合题意； C． ， 即不随点位置的变化而变化，故C符合题意；··················4分 ②不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．·······························7分 （3）设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或．···························11分 【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 24．（12分） 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ．···································3分 （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为：···································5分 （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为：···································7分 （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为：···································10分 （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105···································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是圆规实物图，图2是其示意图，，以点A为支撑点，铅笔芯端点B绕点A旋转作出圆，若圆的半径，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 6．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 7．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玉（玉溪学生的代表）在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A、B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．8米 9．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 14．（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为___________度． 15．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为_____． 16．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则_________． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示）_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，的平分线交于点D．若， ，则的度数为多少？ 18．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，分别求和的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 19．（8分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图1，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求和的长； (2)如图2，在图1的基础上连接，若三角形的面积为，求三角形的面积． 20．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 21．（9分）（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知中，分别是的角平分线，过作交于． (1)若，，则___________；___________； (2)若，则___________； (3)写出与的数量关系并证明． 22．（9分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 23．（11分）（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接． (1)如图2，当，求的度数； (2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选） A．        B．        C． ②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 24．（12分）（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十章 三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中，那么c的长度可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系定理，先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案，用到的知识点：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 ， ∴ 即 化简得 观察选项，只有在此范围内， 故选C． 2．（25-26九年级下·河北廊坊·月考）图1是圆规实物图，图2是其示意图，，以点A为支撑点，铅笔芯端点B绕点A旋转作出圆，若圆的半径，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可求结论． 【详解】解：根据三角形的三边关系可知， 又∵，， ∴，即， ∴选项D不符合要求． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是 边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ） A．2个 B．3 个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：∵在中，，是 边上的高， ∴，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）某平板电脑支架如图所示，其中始终等于，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（　　） A．减小 B．增大 C．减小 D．增大 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，邻补角的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键， 由，推导出，则，可得，再根据增大代入于是得到问题的答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴当增大时，则， ∵， ∴减小， 故选：A． 6．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 【答案】C 【分析】本题主要考查了作三角形的高，熟练掌握三角形高线的作法，是解题的关键．根据三角形高线的作法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．找到边中点，连接，则是中线，故A不符合题意； B．作的平分线与边交于点，是角平分线，故B不符合题意； C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高，故C符合题意； D．因为，所以不是边上的高，故D不符合题意． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，有一块厚薄均匀的的长方形硬纸板上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，利用格点的性质可知这一点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心，由图可知点C为该三角形的重心． 故选：C． 8．（25-26八年级上·云南玉溪·期中）如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玉（玉溪学生的代表）在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A、B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．8米 【答案】C 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴A、B间的距离不可能是30米； 故选C． 9．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，是中线，，，的周长是，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是中线的定义，解题关键是熟练掌握三角形中线的定义． 根据中线的定义得，再结合的周长及，，即可得到的周长． 【详解】解：是中线， ， ， ， 又，， ， ． 故选：． 10．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图．已知调整前、后的灯杆，调整前臂杆之间的夹角，调整后臂杆之间的夹角，则调整前后同一臂杆变化的角度（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设与的交点为， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴． 11．（24-25八年级上·河北邢台·月考）如图，中，为的高线，为的角平分线，与相交于点，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，接着利用三角形的高线及角平分线求出，则可求. 【详解】∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，，分别是的边，的高线，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形中求线段长，熟记三角形面积公式是解决问题的关键． 根据题意，由等面积法列等式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：，分别是的边，的高线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这四个数据中有一个标错了．”经测量所标数据正确，则图中所标数据应改为___________度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键是辅助线的作法；延长交于点即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15．（2025·河北唐山·三模）如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点． 连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 假设的面积为， ∵点是线段的中点， ∴的面积为， ∵点，是线段的三等分点， ∴的面积为，的面积为， ∴的面积为， ∵点，，是线段的四等分点， ∴的面积为， 同理，的面积为， ∴的面积为， 解得， ∴的面积为2， 故答案为：2． 16．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则_________． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示）_________． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，的平分线交于点D．若， ，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质证得，据此求解的度数即可． 【详解】解：，， ， 的平分线交于点， ， ． 故答案为：． 18．（8分）（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，分别求和的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合三角形内角和性质以及，得，根据，则，运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． （2）结合平分，得出，运用三角形外角性质，得，，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ， ． 平分， ， ； （2）解：，，之间的数量关系为； 理由：平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 19．（8分）（25-26七年级上·河北衡水·期中）如图1，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点． (1)如果，，求和的长； (2)如图2，在图1的基础上连接，若三角形的面积为，求三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是两点间的距离和三角形的面积，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据点C为中点求出AC的长度，然后根据AB的长度求出BC的长度，最后根据点N为中点求出CN的长度； （2）根据三角形的面积公式，由三角形等高，结合底的比例求三角形的面积． 【详解】（1）解：点是线段的中点，， ，． ， ． 点是线段的中点， ． ． （2）解：点是线段的中点，点是线段的中点， ，． ，即． 如下图，过点作，垂足为 三角形和三角形的高同为， 三角形的面积，三角形的面积 三角形的面积． 20．（8分）（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知四条线段的长度为a，b，c，p且a，b，c，p为四个连续的正整数． (1)若，求b的值； (2)在（1）条件下，已知a，b，x为三角形的三边长，且a是最短边长． ①求x的取值范围； ②若x为整数，求三角形周长的最大值． 【答案】(1)4 (2)①；②13 【分析】本题考查了整式的加减运算，三角形的三边关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设，则，，，再代入进行计算，即可作答． （2）①结合三角形的三边关系，得，故，因为a是最短边长．则； ②因为x为整数，且求三角形周长的最大值，所以的最大值为6，根据周长公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∵ ∴， 解得：， ； （2）解：①由（1）可知：，， ∵a，b，x为三角形的三边长， ， 即； ∵a是最短边长． ∴ ②∵要求出周长的最大值，且周长等于， ∴求出的最大值 由①得， x为整数， 的最大值为6， 三角形周长的最大值为： 21．（9分）（24-25八年级上·河北邢台·月考）已知中，分别是的角平分线，过作交于． (1)若，，则___________；___________； (2)若，则___________； (3)写出与的数量关系并证明． 【答案】(1)； (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义和平行线的性质，关键是熟练运用整体思想． （1）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答； （2）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答； （3）先根据三角形内角和定理得出，再利用角平分线的定义得出，，进一步得出，，最后利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，， ； 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ． （2）解：， ． 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ． （3）解：． 证明如下： 在中， ． 分别是的角平分线， ，， ， ． ， ． 22．（9分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ 23．（11分）（25-26八年级上·河北邯郸·开学考试）如图1，已知，两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．为三条内角平分线的交点，连接． (1)如图2，当，求的度数； (2)①下列不随点位置的变化而变化的是______；（多选） A．        B．        C． ②在点的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连接并延长，与的平分线交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①A、B、C；②不变； (3)在中有一个角是另一个角的倍时，为或 【分析】（1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）①根据邻补角，三角形内角和定理逐项进行判断即可； ②根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【详解】（1）解：∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：①A．，即不随点位置的变化而变化，故A符合题意； B．，即不随点位置的变化而变化，故B符合题意； C． ， 即不随点位置的变化而变化，故C符合题意； ②不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或． 【点睛】本题考查三角形的内角和与外角的性质，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． 24．（12分）（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $