第十二章 平面图形的认识（单元自测·提升卷）数学新教材青岛版七年级下册

**基本信息** 七年级下册第十二章平面图形的认识能力提升单元卷，以真实情境（如共享单车、中欧班列）和文化元素（哪吒形象）为载体，覆盖平行线、三角形等核心知识，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行线性质（光的反射问题）、角平分线计算（哪吒形象题）|情境化设计（安全出口标志抽象图形）| |填空题|5/15|三角形中点面积（中点连线面积计算）、动态角规律探究|梯度化设问（从基础计算到规律归纳）| |解答题|8/75|折叠变换（长方形折叠求角度）、动态探照灯应用（一带一路情境）|跨情境综合与创新探究（多结论判断、运动问题建模）|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 平面图形的认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时．如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线与入射光线平行，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 4．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．哪吒在面对困难和挑战时，始终展现出无畏的勇气．如图是根据哪吒照片抽象出的一幅直观图．已知点为与的角平分线的交点， ，，若，则（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 10．如图，，点E、P在直线上（P在E的右侧），点G在直线上，，垂足为F，M为线段上的一动点，连接，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线之间的区域．有下列结论：①； ②； ③若，则； ④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 12．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 13．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 14．如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________．（填序号） 15．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 17．（本题8分）如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； (2)在图2中，所在直线上取一点O，使． 18．（本题8分）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 19．（本题9分）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 20．（本题8分）如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 21．（本题10分）如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 22．（本题12分）已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图1，直接写出和之间的数量关系______； (2)如图2，过点B作于点D，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，则与有什么位置关系，说明理由． 23．（本题12分）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒1度，灯转动的速度是每秒2度．假定主道路是平行的，即，且．          (1)填空：________； (2)若灯射线先转动24秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束相交于点，过点作，交于点，且，则在转动过程中，试探究与的数量关系 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章平面图形的认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B B B D A D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11.60 12.1 13.82°/82度 14.①③④ 15.82器 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)(1)解：：'∠B+∠ADC=180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°， .∠A+∠BCD=180°， .∠A=50°， ∴.∠BCD=130°， ,CE平分∠BCD, .LBCE=∠BCD=65°， :∠B=80°， .∠BEC=180°-∠BCE-∠B=180°-65°-80°=35°； (2)解：由(1)知，∠A十∠BCD=180°， ∴·∠A+∠BCE+∠DCE=180°， ,∠CDE+∠DCE+∠1=180°，∠1=∠A, ∴∠BCE=∠CDE, ,CE平分∠BCD, 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠BCE=∠DCE, ∠CDE=∠DCE. 17.(本题8分)(1)解：如图1，连接AE并延长，交BC于点F,AF即为所求的BC的垂线，F为垂足； AB‖CD, ∴∠CAB十∠ACD=180°， ·CB平分∠ACD,AE平分∠CAB, ·LACB=克LACD,LCAE=LEAB=LCAB, ∴LCAE+LACB=(LCAB+∠ACD)=90°， .∠AFC=90°， 即AF⊥BC,符合要求； 图1 图2 (2)解：如图2，延长AE,与CD所在直线交于点O,O即为所求点； AB‖CD, .∠C0A=∠0AB, :LEAB=专∠CAB, ∴LC0A=∠CAB,完全符合题目要求. 18.(本题8分)(1)解：a2-4a-b2+4b =a2-b2-4a+4b =(a+b)(a-b)-4(a-b) =(a-b)(a+b-4); (2):a2-ab-ac+bc=0, ÷a(a-b)-c(a-b)=0, .(a-b)(a-c)=0, ·a-b=0或a-c=0, ·a=b或a=C, 2/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·△ABC是等腰三角形， 19.(本题9分)(1)解：在长方形ABCD中，AD‖BC, ,∠AMN=∠DPQ=105°， ∴.∠BNM=180°-∠AMN=75°=∠CQP, 折叠， ∴.∠BNM=∠ENM=75°，∠CQP=∠EQP=75°， ∴.∠ENQ=180°-∠BNM-∠ENM=180°-75°-75°=30°=∠EQN, ∴.在△NEQ中，∠NEQ=180°-∠ENQ-∠EQN=180°-30°-30°=120°： (2)解：①如图所示，设GE,HE于AD交于点R,S, G H RS 】 A- 在长方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 折叠， .∠A=∠B=∠G=∠NEG=90°=∠D=∠H=∠QEH, 在△GMR中，∠GMR=x度， ∴∠GRM=90o-x=∠ERS, ∠HSP=∠ESR=90°-x, 在△ERS中，∠RES=180°-∠ERS-∠ESR=180°-(90°-x)-(90°-x)=2x, ,∠RES+∠NEG+∠NEQ+∠QEH=360°，即2x+90°+y+90°=360°， .y=180°-2x; ②∠MNE=2∠GMD=2x, ∴.∠BNM=∠MNE=2x=∠PQE=∠CQP, ∴.∠ENQ=∠EQN=180°-2∠MNE=180°-4x, 在△NEQ中，∠ENQ+∠EQN+∠NEQ=180°，y=180°-2x, .1800-4x+180°-4x+180°-2x=180°， 解得，x=36°， .y=180°-2x=180°-2×36°=108°」 20.(本题8分)(1)证明：因为∠CED=∠GHD, 3/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以CE‖GF(同位角相等，两直线平行). (2)解：∠AED+∠D=180°.理由如下： 因为CEGF,所以∠C=∠FGD 又∠C=∠EFG,所以∠FGD=∠EFG. 所以AB‖CD,所以∠AED+∠D=180°. (3)因为∠DHG=∠EHF=80°，∠D=30°， 所以∠HGD=180°-80°-30°=70°. 又CE‖GF,所以∠C=∠HGD=70°. 因为AB‖CD,所以∠AEC=70°， 所以∠AEM=180°-∠AEC=180°-70°=110° 21.(本题10分)(1)解：如图所示，直线CD、射线AD、线段BC、∠DAB即为所求； (2)解：如图所示，点P即为所求； (3)解：：S△4BP=4,S△4DP=2, ∴鄂-=2， :3o88 =器=2， :S△BcP=3, 3 .SADP =2, .SDcm=1.5, 故答案为：1.5 22.(本题12分)(1)解：如图， B M 4/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .AMICN, ·∠C=∠AOB, :AB⊥BC ·∠A+∠A0B=90°， ·∠A+∠C=90°； (2)解：如图， D A 口 M B --G N C 过点B作BGIDM, :BD⊥AM, ÷DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°， 又：AB⊥BC, .∠ABG+∠CBG=90°， ·∠ABD=∠CBG, .AMICN,BGIDM, ..BGICN, ·∠C=∠CBG, ·∠ABD=∠C; (3)解：BECF,理由如下， 如图， D EA F M B ---.G N 过点B作BGDM, :BF平分∠DBC,BE平分∠ABD, 5/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE, 由(2)可得∠ABD=∠CBG, ·∠ABF=∠GBF, 设∠DBE=《,∠ABF=B, 则∠ABE=a,∠ABD=2L=∠CBG,∠GBF=B=∠AFB, ∴.∠ABG=B+B=2B, :AB⊥BC可得23+2a=90°， .+B=45°， ∴∠EBF=+B=45°， 1∠BFC=45°， ∠EBF=∠BFC=45°， .BE CF. 23.(本题12分)(1)解：：∠BAM:∠BAN=4:5,∠BAM+∠BAN=180°， .∠BAN=号×180°=100°； (2)解：设当灯B转动t秒时，两灯的光束互相平行. ①当0<t≤40秒时，如图1. B D M A N 图1 ∠1=80°-(24+t)°=(56-t)°， ∠2=(80-2t)°. 因为3CILAD,所以∠1=∠2， 即(56-t)°=(80-2t)°， 所以t1=24秒： ②当40<t<90秒时，如图2. B P 图2 ∠1=(24+t°-80°=(t-56)°， 6/7 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠2=(2t-80)°. 因为3CIAD,所以∠1=∠2，即(t-56)°=(2t-80)°， 所以t2=24秒（舍去）： ③当90≤t<156秒，即B灯回转时，如图3. O B 图3 ∠1=(24+t)°-80°=(t-56)°， ∠2=100°-(2t-180°)=(280-2t)°. 因为BCILAD,所以∠1=∠2，即(t-56)°=(280-2t)°， 解得：t=112, 综上所述，当t=112秒或t=24秒时，两灯的光束平行； (3)解：∠ABC=2∠ACD,理由如下： 设两灯同时转动t秒， 由(1)知，∠ABP=80°， 则∠ABC=(2t-80)°，∠DAC=t°，∠BAC=(80-t)°， 所以∠ACB=180·-∠ABC-∠BAC =180°-(2t-80)°-(80-t) =(180-t°， 所以∠ACD=140°-(180-t° =(t-40)°， 所以∠ABC=2∠ACD, 7/7 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 平面图形的认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时．如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线与入射光线平行，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 4．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8．哪吒在面对困难和挑战时，始终展现出无畏的勇气．如图是根据哪吒照片抽象出的一幅直观图．已知点为与的角平分线的交点， ，，若，则（    ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 10．如图，，点E、P在直线上（P在E的右侧），点G在直线上，，垂足为F，M为线段上的一动点，连接，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线之间的区域．有下列结论：①； ②； ③若，则； ④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 12．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 13．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 14．如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________．（填序号） 15．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 17．（本题8分）如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； (2)在图2中，所在直线上取一点O，使． 18．（本题8分）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 19．（本题9分）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 20．（本题8分）如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 21．（本题10分）如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 22．（本题12分）已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图1，直接写出和之间的数量关系______； (2)如图2，过点B作于点D，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，则与有什么位置关系，说明理由． 23．（本题12分）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒1度，灯转动的速度是每秒2度．假定主道路是平行的，即，且．          (1)填空：________； (2)若灯射线先转动24秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束相交于点，过点作，交于点，且，则在转动过程中，试探究与的数量关系． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十二章 平面图形的认识·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【规范解答】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，两平面镜，的夹角，光线射在镜面上，反射光线经镜面反射后得到光线，此时，，则光线与的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由三角形内角和定理先得到的度数，根据邻补角互补得到，，两式相加即可求得的度数，最后再根据三角形内角和定理即可得解． 【规范解答】解：， ， ，， ，即， ，， ，即， ，即， ， ． 3．图1是光的反射现象：一束光线射向镜面后被反射，此时．如图2，若一束光线射向一组镜面，经三次反射后的反射光线与入射光线平行，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】作，得到，设，则，利用平行线的性质，以及光的反射现象，列式计算即可求解． 【规范解答】解：作， ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得． 4．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平行线的性质，三角形内角和求解即可． 【规范解答】解：都与地面平行， ， ， ， ， ． 5．如图，为内一点，若，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据三角形内角和定理求出，再求出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ 6．如图，在中，是上的一点，，点是的中点，记，，的面积分别为，，，且，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】首先求出，，进而求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴． 7．如图，已知点分别为的中点，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用三角形的中线平分三角形的面积求解即可. 【规范解答】解：连接， ∵为的中点，的面积为， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴. 8．哪吒在面对困难和挑战时，始终展现出无畏的勇气．如图是根据哪吒照片抽象出的一幅直观图．已知点为与的角平分线的交点， ，，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设与的交点为，连接并延长至点，由平角的性质可得，，结合三角形内角和为可得，．根据角平分线的性质可得，，结合四边形内角和为可得，，根据平行线的性质容易判断． 【规范解答】解：如图，设与的交点为，连接并延长至点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， 化简，得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． 9．如图，在中，已知点D，E，F，G分别是线段，，，的中点．若的面积为2，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．24 D．28 【答案】D 【思路引导】连接，，根据三角形的中线将三角形的面积平分，可分别求得，，，可得，再根据点D是线段的中点，即可求得答案． 【规范解答】解：连接，， 点G是线段的中点， ，， 点F是线段的中点， ，， 点E是线段的中点， ，， ， 点D是线段的中点， ． 10．如图，，点E、P在直线上（P在E的右侧），点G在直线上，，垂足为F，M为线段上的一动点，连接，与的角平分线交于点Q，且点Q在直线之间的区域．有下列结论：①； ②； ③若，则； ④若，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】根据平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义以及角的和差，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②如图所示， ∵，平分，平分， ∴， ∴， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故④错误； 综上，正确的选项有①②③，共3个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【思路引导】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【规范解答】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于__． 【答案】1 【思路引导】根据三角形中线的性质得，同理可得，同理，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【规范解答】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 13．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 【答案】/82度 【思路引导】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【规范解答】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得． 14．如图，已知点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的5倍，点是线段上的一个动点，点是线段上一点且满足，平分角．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是________．（填序号） 【答案】①③④ 【思路引导】根据内错角相等，两直线平行，可得，根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故①正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故③正确；根据两直线平行可得：，根据两直线平行可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故②错误；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故④正确． 【规范解答】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， ， 又， ， ， 故①正确； ， ， ， ， 平分， ∴， 故③正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， ∴ 故②错误； 平分， ， ∵平分， ， ， 故④正确； ∴其中结论正确的是①③④． 15．设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为依此类推，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】由题意可得，再根据点，的位置，表示出相应的三角形的面积，从而可得出相应的规律，即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， ∵，分别是，的中点， ，， ． 同理可得：． 则，，……， ． ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）先求出，再求出，即可求解； （2）由（1）知，，得到，再得到， 根据角平分线的定义得到， 即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17．（本题8分）如图，已知，平分交于点B，平分．请仅用无刻度的直尺作图． (1)在图1中，过点A作的垂线，垂足为F； (2)在图2中，所在直线上取一点O，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）连接并延长，交于点F，即为所求的的垂线，F为垂足；根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答； （2）延长，与所在直线交于点，即为所求点；根据平行线的性质和角平分线的定义即可解答； 【规范解答】（1）解：如图1，连接并延长，交于点F，即为所求的的垂线，F为垂足； ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 即，符合要求； （2）解：如图2，延长，与所在直线交于点，即为所求点； ∵， ∴， ∵， ∴，完全符合题目要求． 18．（本题8分）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【思路引导】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 19．（本题9分）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）根据长方形的性质，角的和差得到，根据折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①如图所示，设于交于点R，S，根据三角形内角和定理，对顶角相等的知识列式得到； ②根据题意得到，，结合三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】（1）解：在长方形中，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴在中，； （2）解：①如图所示，设于交于点R，S， 在长方形中，， ∵折叠， ∴， 在中，度， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴； ②， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得，， ∴． 20．（本题8分）如图，已知点，在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）根据平行线的判定定理进行判断，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可得出结论； （3）根据三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可得，再根据邻补角相等即可求解． 【规范解答】（1）证明：因为， 所以(同位角相等，两直线平行)． （2）解：．理由如下： 因为，所以． 又，所以． 所以，所以． （3）因为，， 所以． 又，所以． 因为，所以， 所以 ． 21．（本题10分）如图，已知四点． (1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程） (2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程） (3)在（）的条件下，若，，，则______． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3) 【思路引导】（）根据直线、射线、线段和角的定义画出图形即可； （）根据两点之间，线段最短，可知点为的交点时的值最小，即可求解； （）由三角形的面积公式可得，即得，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，直线、射线、线段、即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（本题12分）已知，点B为平面内一点，于B． (1)如图1，直接写出和之间的数量关系______； (2)如图2，过点B作于点D，求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，则与有什么位置关系，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【思路引导】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解； （2）过点作，根据平行线的性质即可证得； （3）利用（2）的结论，结合角平分线的定义求得，再根据平行线的判定定理即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ∵， ， ， ， ； （2）解：如图， 过点作， ， ，即， 又， ∴， ， ∵，， ∴， ， ； （3）解：，理由如下， 如图， 过点B作， 平分，平分， ，， 由（2）可得， ， 设，， 则，，， ∴， ∵可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（本题12分）“一带一路”让中国和世界的联系更紧密．“中欧班列”为了安全起见，在某段铁路两旁安置了两座可旋转的探照灯．如图1所示，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯转动的速度是每秒1度，灯转动的速度是每秒2度．假定主道路是平行的，即，且．          (1)填空：________； (2)若灯射线先转动24秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (3)如图2，若两灯同时开始转动，在灯射线到达之前，两灯射出的光束相交于点，过点作，交于点，且，则在转动过程中，试探究与的数量关系． 【答案】(1)100 (2)转动秒或秒时，两灯的光束平行 (3) 【思路引导】（1）利用平角的定义计算即可求解； （2）分三种情况讨论，利用平行线的性质列式计算即可求解； （3）求得，再根据计算出结果，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设当灯转动秒时，两灯的光束互相平行． ①当秒时，如图1． ， ． 因为，所以， 即， 所以秒； ②当秒时，如图2． ， ． 因为，所以，即， 所以秒（舍去）； ③当秒，即灯回转时，如图3． ， ． 因为，所以，即， 解得：， 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束平行； （3）解：，理由如下： 设两灯同时转动秒， 由（1）知，， 则，，， 所以 ， 所以 ， 所以． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $