第十一章 因式分解（复习讲义）数学新教材青岛版七年级下册

该初中数学因式分解复习讲义通过知识框架系统梳理了因式分解的核心内容，将因式分解定义、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等知识点按“概念-方法-应用”逻辑组织，用要点归纳呈现提公因式法“五看”步骤和公式法特征，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，如题型四通过等式规律探究培养推理意识，题型六“神秘数”问题提升应用意识，题型八结合配方法发展运算能力。基础巩固与能力提升题组满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握因式分解技能。

第十一章 因式分解（复习讲义） 知识与技能： 1. 理解因式分解的概念，能准确区分因式分解与整式乘法的关系，能判断一个变形是否为因式分解。 2. 掌握提公因式法（公因式为单项式、多项式）的基本步骤，能熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。 3. 理解平方差公式、完全平方公式的逆向运用，掌握公式法因式分解的条件和步骤，能熟练运用公式法对符合条件的多项式进行因式分解。 4. 能根据多项式的特点，灵活选择提公因式法、公式法进行因式分解，能进行因式分解的综合运用。 5. 能运用因式分解解决简单的数学问题，如代数式化简求值、求解简单的一元二次方程、判断代数式的整除性等。 解决问题： 1. 能运用因式分解的知识解决代数式化简、求值等基础问题，提升运算的简便性和准确性。 2. 能运用因式分解解决简单的实际问题，如通过因式分解求解与面积、周长相关的几何问题，培养数学应用意识。 3. 在解决综合问题的过程中，学会与他人合作交流，分享解题思路，提升合作探究能力和问题解决的条理性。 4. 能对解题过程进行反思，发现错误并及时纠正，提升问题解决的规范性和严谨性。 知识点01 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点03 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 题型一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1) ； (2)； (3)． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1) ； (2)． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 公因式 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【变式1】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【变式2】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 题型五 判断能否用公式法分解因式 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式2】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 题型六 平方差公式分解因式 【例6】（25-26七年级下·山西晋中·期中）已知，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【变式2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 题型七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 【变式2】因式分解：． 题型八 综合运用公式法分解因式 【例8】因式分解：． 【变式1】因式分解：． 【变式2】教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)求代数式的最小值； (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【变式2】因式分解：． 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型十一 因式分解的应用 【例11】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）探索与研究 观察下列等式： … (1)按照以上4个等式的规律，请写出第5个等式________________． (2)探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． (3)利用（2）中的结论，说明：个位数字是1的整数的平方减去1后，一定可以被20整除． 题型十二 十字相乘法 【例12】因式分解：． 【变式1】因式分解：． 【变式2】因式分解：． 题型十三 分组分解法 【例13】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）因式分解 (1) ． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 4．已知，，则的值为______． 5．因式分解：______． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）按要求完成下列题目 (1)计算：； (2)简便计算：． 8．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 能力提升进阶练 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 3．（25-26七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）利用乘法公式简便计算：． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． (1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)说明16是一个“智慧数”； (3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 因式分解（复习讲义） 知识与技能： 1. 理解因式分解的概念，能准确区分因式分解与整式乘法的关系，能判断一个变形是否为因式分解。 2. 掌握提公因式法（公因式为单项式、多项式）的基本步骤，能熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。 3. 理解平方差公式、完全平方公式的逆向运用，掌握公式法因式分解的条件和步骤，能熟练运用公式法对符合条件的多项式进行因式分解。 4. 能根据多项式的特点，灵活选择提公因式法、公式法进行因式分解，能进行因式分解的综合运用。 5. 能运用因式分解解决简单的数学问题，如代数式化简求值、求解简单的一元二次方程、判断代数式的整除性等。 解决问题： 1. 能运用因式分解的知识解决代数式化简、求值等基础问题，提升运算的简便性和准确性。 2. 能运用因式分解解决简单的实际问题，如通过因式分解求解与面积、周长相关的几何问题，培养数学应用意识。 3. 在解决综合问题的过程中，学会与他人合作交流，分享解题思路，提升合作探究能力和问题解决的条理性。 4. 能对解题过程进行反思，发现错误并及时纠正，提升问题解决的规范性和严谨性。 知识点01 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2.拓展：（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式． 2.怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 3.提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②提公因式并确定另一个因式； ③把多项式写成这两个因式的积的形式． 拓展：（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 知识点03 用平方差公式分解因式 1.平方差公式的等号两边互换位置，得()() 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2.特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； ②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.完全平方公式的等号两边互换位置，得, 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2.特点：①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． ②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3.公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． 题型一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是因式分解，见解析 (2)是 (3)不是因式分解，见解析 【思路引导】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 【规范解答】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 【变式1】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）下列从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义是将一个多项式化为几个整式的积的形式． 选项A是整式乘法，选项C左边不是多项式，选项D仅提取数字，选项B符合定义． 【规范解答】解：因式分解需满足左边为多项式，右边为整式的积， 选项A：左边为积，右边为多项式，是整式乘法，不符合因式分解的定义； 选项B：左边为多项式，右边为，是积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：左边含分式，不是多项式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边为多项式，右边为积的形式，但仅提取数字，不符合因式分解的定义； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？ (1)； (2)． 【答案】(1) 不正确，因为结果不是乘积的形式 (2) 正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可． （1）根据因式分解的定义判断即可； （2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断． 【规范解答】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式． 故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式； （2）解：因为等式的右边是整式的乘积， 且等式左边， 等式右边， 即等式左边右边， 故该因式分解正确． 题型二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【规范解答】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式，其中a、b为整数，能使这个因式分解过程成立的m的值共有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由因式分解形式可得a和b是整数且，列出所有整数因子对，计算每对的值，得到不同的m值个数． 【规范解答】解：， 则，， 由于a、b为整数， 则所有整数因子对满足有：、、、、、、、， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 当、，， 则不同的m值为5、7、、，共4个， 故选：B． 【变式2】若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【规范解答】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 题型三 公因式 【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【规范解答】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 【变式1】把多项式，提取公因式后，余下的部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键． 【规范解答】， 则余下的部分是x． 故选：C． 【变式2】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【规范解答】解：， 故选：D． 【考点剖析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 题型四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）根据题意可得答案； （2）观察可知连续的两个偶数的平方差（大数减小数）等于这两个数的平均数的4倍，据此写出第n个等式，再利用平方差公式证明即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，第4个等式为； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知第个等式为， 证明如下： ， ∴第个等式为． 【变式1】（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【规范解答】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) 【思路引导】（1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型五 判断能否用公式法分解因式 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【思路引导】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【规范解答】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【变式1】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【规范解答】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 题型六 平方差公式分解因式 【例6】（25-26七年级下·山西晋中·期中）已知，求的值． 【答案】 【规范解答】解： ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【思路引导】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【规范解答】（1）解： ． 设 ， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 【变式2】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，用1块正方形地砖铺在正方形的台面上，未能完全覆盖．如图2，用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，会有一部分超出台面，超出台面部分的面积为．若地砖与台面的边长均为整数（单位：），则台面与这种型号的地砖边长相差（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为 ，根据用4块同样的正方形地砖铺在这个正方形的台面上，超出台面部分的面积为，得到，进而得到，再根据地砖与台面的边长均为整数结合，可得，解方程组即可解答． 【规范解答】解：设正方形地砖的边长为，正方形台面的边长为 ， 根据题意，得，则， ∵地砖与台面的边长均为整数，且， ∴， 解得， 则， ∴台面与这种型号的地砖边长相差． 题型七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用提公因式法因式分解即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可； （4）利用分组分解法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数m、n、p满足，，且n是正整数，请解答以下问题： (1)p是_____（填“奇数”或“偶数”）； (2)p是完全平方数吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)奇数 (2)是，理由见解析 【思路引导】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出p的奇偶； （2）将代入中得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【规范解答】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数； （2）p是完全平方数，理由如下： ∵， ∴， ， 即是完全平方数． 【变式2】因式分解：． 【答案】 【思路引导】首先将原式中变形为，提取负号后将原式转化为含公因式的形式；接着提取公因式，对剩余多项式分组分解，先分组为，再分别提取公因式，最终分解为． 【规范解答】解： ． 题型八 综合运用公式法分解因式 【例8】因式分解：． 【答案】 【思路引导】本题对二次三项式因式分解，采用配方法结合平方差公式：先配方构造完全平方式，再将剩余常数项转化为平方数，最后用平方差公式分解化简，得到结果． 【规范解答】解： ． 【变式1】因式分解：． 【答案】 【思路引导】先将原式看作平方差形式，利用平方差公式分解，再分组整理得到完全平方式，再次用平方差公式分解即可． 【规范解答】 解： 原式 ． 【变式2】教材中这样写道：“我们把及这样的式子叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式， ， ∴当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)求代数式的最小值； (3)当分别为的三边，且满足时，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)等腰三角形；理由见解析 【思路引导】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的定义，平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （2）将原式配方得，即可解答； （3）原式可化为，进而得到的值，即可判断的形状． 【规范解答】（1）解： ． （2）解：， ∵， ∴的最小值是3． （3）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ∵，，， 是等腰三角形． 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）提取公因式即可； （2）先变形，再提取公因式即可； （3）先变形，再提取公因式，再将括号内的同类项合并； （4）先提取公因式，再将括号内的同类项合并，合并后再提取公因式2即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【答案】C 【思路引导】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【规范解答】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 【变式2】因式分解：． 【答案】 【思路引导】先提公因式，再分解和，最后提公因式即可求解． 【规范解答】解： 题型十 因式分解在有理数简算中的应用 【例10】（24-25七年级下·全国·课后作业）按要求解答下列各题： (1)因式分解：． (2)已知，，求的值． (3)利用简单方法计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题考查提公因式法分解因式，已知式子的值，求代数式的值，因式分解在有理数简算中的应用． （1）用提公因式法分解因式即可； （2）将转化为，代入已知式子的值，计算即可； （3）将原式转化为，计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ， ； （3）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1) (2) 【答案】(1)4000 (2)4 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解： （2）解： 【变式2】．（25-26八年级上·河南南阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【规范解答】解： ， 故选：A． 题型十一 因式分解的应用 【例11】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【规范解答】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 【变式1】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知互不相等的实数a、b、c满足，，，则以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先利用两个已知等式相等，推导a与b的关系，再代入原式求出c的值，最后代入计算判别式，判断各选项的正误． 【规范解答】∵ ， ∴ 整理得 ， 因式分解得 ∵ 互不相等， ∴ ， ∴，故选项A正确，故本选项不符合题意； 由得 ，代入得： ，即 ，得 ， ∴ ，故选项B正确，故本选项不符合题意； 将，代入得： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ，故选项C正确，故本选项不符合题意； ∵ 恒大于0，不可能等于0， ∴ 的结论不正确，故选项D错误，故本选项符合题意； 【变式2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）探索与研究 观察下列等式： … (1)按照以上4个等式的规律，请写出第5个等式________________． (2)探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． (3)利用（2）中的结论，说明：个位数字是1的整数的平方减去1后，一定可以被20整除． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据前几个式子的规律，写出第5个等式，即可求解； （2）根据规律得出第个等式，通过展开等式两边进行证明即可； （3）利用（2）中结论求出，然后根据、为正整数进行说明即可． 【规范解答】（1）解：第1个等式为： 第2个等式为： 第3个等式为： 第4个等式为： 第5个等式为：； （2）解：根据（1）中式子的规律，第个等式为： 左边 右边， 左边右边， ∴成立． （3）证明：设任意个位数字是1的整数为（为整数）， 则 ， 当为整数时，、为整数， ∴个位数字是1的整数的平方减去1后，一定可以被20整除． 题型十二 十字相乘法 【例12】因式分解：． 【答案】 【思路引导】先将含a的字母降序排列，将原式变形成，然后用十字相乘法分解分式，再令，再利用平方差公式以及提公因式分解因式，最后把代入分解后的式子即可． 【规范解答】解： 令， 则原式 把代入中， 则原式． 【变式1】因式分解：． 【答案】 【思路引导】使用分组分解法求解，先将原式拆分重组，然后用十字相乘法和提公因式法分别分解后，再提取整体公因式即可得到结果． 【规范解答】解：原式 ． 【变式2】因式分解：． 【答案】 【思路引导】先把看成一个整体，接着展开，然后利用“十字相乘法”进行因式分解即可． 【规范解答】解：原式 ． 题型十三 分组分解法 【例13】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）因式分解 (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）使用十字相乘法因式分解； （2）先分组形成完全平方式，再利用平方差公式分解． 【规范解答】（1）解： ∵， ∴； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）在数学活动课上，老师带领大家探究了一种特殊的因式分解方法－－分组分解法．当遇到一些多项式既无法直接提取公因式，也不能直接套用平方差公式或完全平方公式时，我们可以尝试将多项式中的项进行合理分组，使每组出现相同的因式或符合公式的结构，从而完成分解．如①和②： ①． ②．请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： (1)因式分解：． (2)若，求的值． (3)两个不相等的实数满足．若，，求和k的值． 【答案】(1) (2) (3)，． 【思路引导】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．（1）先分组得，再提取公因式法进行因式分解； （2）先分组得，再根据完全平方公式进行因式分解得到，利用非负数的性质求得，据此计算即可求解； （3）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）阅读材料：对某些多项式的因式分解可引入“多项式分裂重组法”． 例如：分解因式：将一次项分裂为，重组分组得． 【基础应用】 （1）利用“多项式分裂重组法”分解因式：； 【方法深化】 （2）分解因式：； 【拓展创新】 （3）已知多项式通过“多项式分裂重组法”可分解为，求，，的值． 【答案】(1) ； (2) ； (3) ，， 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，根据题意利用分组分解法求解是解题的关键． （1）根据分组分解法组合求解即可； （2）根据分组分解法组合求解即可； （3）把展开，对照即可得解； 【规范解答】（1） ； （2） ； （3） ， 根据是由多项式通过“多项式分裂重组法”分解得到， ， ，，． 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【思路引导】利用平方差公式解答即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 3．已知，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【思路引导】利用平方差公式分解原式，再代入已知条件逐步化简即可得到结果． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 4．已知，，则的值为______． 【答案】30 【思路引导】先对所求代数式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可求解． 【规范解答】解：． 5．因式分解：______． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【规范解答】解： ． 6．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【规范解答】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）按要求完成下列题目 (1)计算：； (2)简便计算：． 【答案】(1)6 (2)808 【思路引导】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和乘方的运算法则计算； （2）提取202，另一因式为，先算括号内的，再计算乘法即可． 【规范解答】（1）解： 原式； （2）解：原式． 8．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A．        B．         C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 【答案】(1)B (2)①；② 【思路引导】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【规范解答】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. （2）解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）观察下列等式，并回答问题． ； ； ； … 华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除． (1)的结果是3的_____倍； (2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除． 【答案】(1)43 (2) 见解析 【思路引导】（1）利用平方差公式法进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算后判断即可. 【规范解答】（1）解：， ∴的结果是3的43倍； （2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为， ∴ ∵为整数， ∴为整数， ∴能被整除 即与的平方差能被3整除． 10．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)1 【思路引导】本题考查配方法，涉及公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据公式可直接得出答案； （2）根据题目要求配方得，利用平方的非负性即可求解； （3）根据题目要求配方可得，利用平方的非负性即可求解． 【规范解答】（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 能力提升进阶练 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】C 【思路引导】根据同底数幂乘除法则，结合平方差公式逐项判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，即， 由得，因此， ∴，故②错误； 由，得，， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， 又，∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论为①③④． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 【答案】A 【思路引导】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【规范解答】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 3．（25-26七年级下·全国·周测）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【思路引导】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【规范解答】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 4．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 【答案】2027 【思路引导】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， 则 ． 5．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 【答案】 【思路引导】根据“和谐数”的定义，设出两个连续奇数，推导得到“和谐数”的表达式，结合不超过的条件确定的范围，再化简求和即可求解． 【规范解答】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得，， 令， 解得， ∴所有不超过的“和谐数”之和为： 6．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【规范解答】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）利用乘法公式简便计算：． 【答案】 【思路引导】利用平方差公式和完全平方公式对已知式子进行变形，简便计算，即可得解． 【规范解答】解：原式 ． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）根据题意，利用作差法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由所给数轴可知，且， 则，． （2）解：，理由如下： ． 因为，， 所以， 所以． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如，因此8是“智慧数”． (1)28________“智慧数”（填“是”或“不是”）； (2)说明16是一个“智慧数”； (3)设两个连续奇数为和（其中为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 【答案】(1)不是 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）设较小奇数为，根据“智慧数”的定义得，求出n的值判断是否符合“智慧数”的定义即可； （2）由可知16是一个“智慧数”； （3）利用平方差公式进行分解，判断分解后的结果是否是8的倍数即可． 【规范解答】（1）解：设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为，则， 展开整理得， 解得， ∵不是奇数， ∴28不是“智慧数” （2）解：∵，且和是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”； （3）解： ， ∵是8的倍数， ∴两个连续奇数为和构造的“智慧数”能被整除． 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果： ； ； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)，； (2)①运算规律：，证明见解析； ②这个两位数的最大值为． 【思路引导】（1）根据题中的运算规律计算即可得解； （2）①根据题意得这两个两位数分别为，，从而得到运算规律为，分别计算等式两边即可证明； ②由①得，可得新的两位数为，，进而得到，然后计算出，再进一步分析求解即可． 【规范解答】（1）解：依题意得：， ； （2）解：①其中一个数的十位数字为，个位数字为， 另一个数的十位数字为，个位数字为， 根据题意得，这个运算规律为， 证明如下：左边, , 右边， 左边右边； ②由①得， 分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘， ， ， ， ， , , ， ， 依题意得，为小于的正整数， 为整数， 能被整除， 即这个两位数的最大值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $