第十一章 因式分解（单元自测·提升卷）数学新教材青岛版七年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 2．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 3．已知均为正整数，且满足，则的值是（    ） A．12 B．13 C．25 D．36 4．下列从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 7．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 8．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 12．已知，则的值是_____． 13．已知，，，则代数式的值为______． 14．已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 15．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）因式分解： (1)； (2)． 17．（本题8分）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 18．（本题8分）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 19．（本题9分）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 20．（本题8分）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 21．（本题10分）对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题： ．请分解因式：． 22．（本题12分）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 23．（本题12分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积 ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握因式分解的方法，利用整体代入进行求解． 将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【规范解答】解：∵ , 又∵，， ∴ 原式． 故选：A． 2．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是正确表示出与． 先根据阴影部分面积为4个底为，高为的三角形面积和表示出，再由大正方形的面积减去表示，然后根据建立等式，再化简、进行因式分解求解即可． 【规范解答】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， 故选：B． 3．已知均为正整数，且满足，则的值是（    ） A．12 B．13 C．25 D．36 【答案】D 【思路引导】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将方程化为，结合a、b为正整数，求解a和b的值，进而计算． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵a、b为正整数，∴， 13的正整数因子对只有和， 当且时，， 当且时，，不符合题意， ∴． 故选：D． 4．下列从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【规范解答】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 5．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解的定义和正确性，掌握知识点是解题的关键． 因式分解是将多项式写成几个整式的乘积的形式，且变形必须恒等．选项A是展开而非分解；选项B分解正确；选项C未彻底分解；选项D含有分式，不是整式乘积． 【规范解答】解：A：是乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B：，是因式分解，符合题意； C：，虽恒等但可进一步分解为，未彻底分解，不符合题意； D：，含分式，不是整式乘积，也不是因式分解，不符合题意． 故选：B． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式、平方差公式与几何图形，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用． 先得到大正方形边长为，小正方形边长为，即可得到，；再由四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积得到，即可判断③；再由和判断④⑤． 【规范解答】解：∵大正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9， ∴大正方形边长为，小正方形边长为， ∴，， 故①②正确； ∵四个长方形面积与一个小正方形面积之和等于大正方形面积， ∴， ∴， 故③正确； ∴， 故④正确； ∴， 故⑤正确， ∴不正确的有0个， 故选：A． 7．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式分解因式后即可得出大正方形的边长． 【规范解答】解：由题意得：大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为． 故选：A． 8．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【思路引导】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【规范解答】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【思路引导】根据“智慧数”的定义，若正整数是智慧数，则存在正整数，使得．利用平方差公式分解得 ，因此可以通过验证每个选项能否写成两个正整数的平方差来判断． 【规范解答】解：A、，符合智慧数定义，不符合题意； B、，符合智慧数定义，不符合题意； C、，符合智慧数定义，不符合题意； D、假设，其中为正整数，则与的奇偶性必须相同，18的正因数对有，这三对数均为一奇一偶，不满足同奇同偶的要求，故18不是智慧数，符合题意． 故选：D． 【考点剖析】本题考查了平方差公式的应用与正整数的因数分解，解题关键是利用平方差公式将“智慧数”转化为两个因数的乘积，通过分析因数的奇偶性和整数解来判断是否为智慧数． 10．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．先对多项式 进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到 ，代入 和 ，计算各因式的值，得到 12、24、48；密码由这三个数字按任意顺序拼接成六位数，列出所有可能组合，与选项对比即可判断． 【规范解答】解：∵ ， 且，， ∴ ， ， ， ∴ 因式值为 12、24、48， 可能密码有：122448、124824、241248、244812、481224、482412 选项A（124824）、B（241248）、C（122448）均符合， 选项D（482124）无法拆分为12、24、48的任意排列， ∴ 密码不可能为D． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了因式分解与多项式根的关系（因式定理），解题的关键是利用因式定理，若多项式含有因式，当时，则，建立关于参数的方程组求解． 根据因式定理，由多项式含因式和，得和是方程的根，代入方程得到关于、的方程组，解方程组求出、的值，再代入计算结果． 【规范解答】解：设多项式分解因式的结果中有因式和， 当和时，， 即 化简得 即 由得，代入，得， ， ， 解得， ， ． 故答案为：． 12．已知，则的值是_____． 【答案】25 【思路引导】本题考查了平方差公式及代数式的化简与求值，先利用平方差公式分解，代入后化简，再代入已知条件计算结果． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故答案为：25． 13．已知，，，则代数式的值为______． 【答案】 【思路引导】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式 进行计算． 【规范解答】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 14．已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 【答案】 【思路引导】本题主要考查了分解因式，代数式求值，非负数的性质，根据题意可得和 ，代入方程得到关于和的方程，利用完全平方公式结合非负数的性质得到和，再求出和，最后计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， 解得，． ∴，． ∴， 故答案为：． 15．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘法法则，因式分解的概念及完全平方公式．甲同学看错常数项但一次项系数正确，乙同学看错一次项系数但常数项正确，分别从两者的因式分解结果中求出正确的a和b，再对正确多项式进行因式分解． 【规范解答】解：甲同学因式分解结果为，展开得，由于看错了常数项b，但一次项系数a正确，故； 乙同学因式分解结果为，展开得，由于看错了一次项系数a，但常数项b正确，故； 因此，原多项式为，因式分解得． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 17．（本题8分）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键． （）利用分组分解法解答即可； （）利用分组分解法解答即可； 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题8分）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)等腰三角形 【思路引导】（）应用分组分解法，把分解因式即可． （）首先应用分组分解法，把分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出的形状即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）， ， ， 或， 或， 是等腰三角形． 19．（本题9分）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）选择材料1的方法求解即可； （2）①结合材料2的方法求解即可； ②结合材料1和材料2的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得： 原式． 20．（本题8分）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)k所有可能的取值为7或8或13． 【规范解答】（1）解：根据图形得：； （2）解：画出图形如下： ∴； （3）解：设，其中、是4的正因数，、是3的正因数， ∴，； ，； ，； 综上，k所有可能的取值为7或8或13． 21．（本题10分）对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题： ．请分解因式：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）将多项式加1再减去1，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 22．（本题12分）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【思路引导】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【规范解答】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 23．（本题12分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)，90 (3) 【思路引导】本题考查完全平方公式的几何意义，注意掌握并能够由面积相等并过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键． （1）由题意利用面积相等推导公式：； （2）由题意利用体积相等推导； 可得，再代入求值即可， （3）由图可知，．求得，，根据图中阴影部分的面积 由此即可解题． 【规范解答】（1）解：由图可知：边长为的大正方形由四个边长为、的长方形和一个边长为正方形组成， 知识生成：， 故答案为：； （2）正方体棱长为， ∴体积为， ∵正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即， ∴； ∴， ∵，， ∴ （3）由图可知：，． ∴， ∴，， ∵， ∴， 图中阴影部分的面积 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 6 7 8 9 10 A B D B B 9 9 A D D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.-1 12.25 13.3 14.-月 15.(x+3)2 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)(1)解：3ax2-6ax+3a =3a(x2-2x+1) =3a(x-1)2 (2)解：a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)(a2-b2) =(a-b)(a-b)(a+b) =(a-b)2(a+b) 17.(本题8分)(1)解：x3+x2+x+1 =(x3+x2)+(x+1) =x2(x+1)+(x+1) =(x+1)(x2+1): (2)解：3x2+3xy-4x-4y =3x(x+y)-4(x+y) 1/5 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(3x-4)(x+y). 18.(本题8分)(1)解：a2-4a-b2+4b =a2-b2-4a+4b =(a+b)(a-b)-4(a-b) =(a-b)(a+b-4): (2):a2-ab-ac+bc=0, a(a-b)-c(a-b)=0, ÷(a-b)(a-c)=0, ÷a-b=0或a-c=0, ·a=b或a=C, ·△ABC是等腰三角形. 19.(本题9分)(1)解：x2-6x+8中，常数项“8”=-2×(-4)，一次项系数“-6”=-2+(-4)， 则x2-6x+8=(8-2)(x-4): (2)①解：把x-y看成一个整体，令x-y=A,则原式=A2+4A+3=(A+1)(A+3), 再将A=x-y重新代入，得：原式=x-y+1)(x-y+3): ②解：原式=(m2+2m)(m2+2m-2)-3=(m2+2m)2.2(m2+2m-3, 把m2+2m看成一个整体，令m2+2m=A, 则原式=A2-2A-3=(A-3)(A+1), 再将A=m2+2m重新代入，得： 原式=(m2+2m-3)(m2+2m+1)=(m+3)(m-1)(m+1)2, 20.(本题8分)(1)解：根据图形得：a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b): (2)解：画出图形如下： a b bb b ∴2a2+5ab+3b2=(a+b)(2a+3b): (3)解：设4a2+kab+3b2=(ma+nb)(pa十gb),其中m、p是4的正因数，n、9是3的正因数， ∴(4a+b)(a+3b)=4a2+13ab+3b2,k=13: 2/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4a+3b)(a+b)=4a2+7ab+3b2,k=7; (2a+b)(2a+3b)=4a2+8ab+3b2,k=8; 综上，k所有可能的取值为7或8或13. 21.(本题10分)(1)解：x2+6x+8 =x2+6x+8+1-1 =(x+3)21 =(x+3+1)(x+3-1) =(x+4)(x+2): (2)解：4+64y4 =x4+16x2y2+64y4-16x2y2 =(x2+8y2)2-16x2y2 =(x2+8y2+4xy)(x2+8y2-4xy). 22.（本题12分) 2 解：(1) 3. ∴.1×3+1×(-2)=1， ∴.x2+x-6=(x-2)(x+3), 故答案为：(x-2)(x+3) (2)①.1 ∴.2x2-5x-7=(2x-7)(x+1) -2 ②.4 .3×(-1)+4×(-2)=-11, .12x2-11xy+2y2=(3x-2y)(4x-y), 故答案为：(3x-2y)(4x-y): 3/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)①根据题意得： .2xy+3y+2x+3=(2x+3y+1), 故答案为：(2x+3y+1): ②6ab+8b-15a=308, 30 26- -5 ∴.(3a+4(2b-5=308-20, .(3a+42b-5=288, ,a、b均为整数， ∴.2b-5为奇数，3a+4不能为3的倍数， ∴当3a+4=32,2b-5=9时，a=9,b=7,不符合题意； 当3a+4=-32,2b-5=-9时，a=-12,b=-2,符合题意； .a+b=-14 23.(本题12分)(1)解：由图可知：边长为a+b)的大正方形由四个边长为a、b的长方形和一个边长为 (a-b)正方形组成，(a+b)2=(a-b)+4ab 知识生成：(a+b)2=(a-b)2+4ab, 故答案为：(a+b)2=(a-b)子+4ab: (2)正方体棱长为a+b, ∴体积为(a+b)3, :正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2, .(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2; ∴.a3+b3=(a+b)-(3a2b+3ab=(a+b)-3ab(a+b), ,a十b=6,ab=7, ∴a3+b3=63-3×7×6=216-126=90 4/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)由图可知：x2+y2=34,x+y=8. 2xy=(x+y)2-(x2+y2)=82-34=30, ∴.(x-y2=x2+y2-2xy=34-30=4,xy=15, x>y, x-y=2, 图中阴影部分的面积=x2+yx-y) =(x2-y2+xy) =x-y)(x+y)+xy] =2×8+15) =费 5/5 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十一章 因式分解·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 2．如图四张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则，满足（   ） A． B． C． D． 3．已知均为正整数，且满足，则的值是（    ） A．12 B．13 C．25 D．36 4．下列从左到右的变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（） A． B． C． D． 6．如图，用4个相同的矩形与1个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知这个正方形图案的面积为49，小正方形的面积为9，我们用x、y表示小矩形的两边长（）．请观察图案，指出以下关系式中不正确的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．0 B．1 C．2 D．3 7．有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长、宽分别为，的长方形有6张，边长为的正方形卡片有9张．用这16张卡片拼成一个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 8．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 9．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：，5就是一个“智慧数”．下列各数不是“智慧数”的是（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 10．数学服务于生活，灵活运用数学知识解决生活中的问题是需要倡导的重要理念．在日常生活中如取款上网等都需要有密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理：如多项式因式分解的结果为，当，时，各因式的值是，，，于是密码就可以为018162，也可以是180162，对于多项式，取，时，密码不可能为（   ） A．124824 B．241248 C．122448 D．482124 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若多项式分解因式的结果中有因式和，则_____． 12．已知，则的值是_____． 13．已知，，，则代数式的值为______． 14．已知有理数a、b、x、y满足，且，那么__________ 15．在对整式进行因式分解时，甲同学看错了常数项b，因式分解的结果为；乙同学看错了一次项系数a，因式分解的结果为．根据以上信息，我们可以求得正确的因式分解结果为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）因式分解： (1)； (2)． 17．（本题8分）阅读下列材料：分解因式：． 方法一：原式； 方法二：原式． 对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式． 请尝试利用材料中的方法分解因式： (1)； (2)． 18．（本题8分）分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)三边，，满足，判断的形状． 19．（本题9分）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 20．（本题8分）数学活动课上，李老师说：在《第九章整式乘法与因式分解》中，我们借助拼图验证了许多整式乘法的公式，如单项式乘多项式，多项式乘多项式，完全平方公式与平方差公式等等，反过来，我们也可以利用拼图，将一些多项式因式分解． 初步尝试：如图①，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有若干张，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（三种卡片都要取到），把取出的卡片拼成一个长方形． (1)小华取出了1张A，3张B，2张C，拼出的长方形如图②，并根据图②，将多项式因式分解，则_____； (2)小丽利用拼图将进行因式分解，画出你的拼图，并直接写出因式分解的结果； (3)深入思考：若多项式（k为正整数）可以用拼图法因式分解，直接写出k所有可能的取值． 21．（本题10分）对于二次三项式，不能直接运用公式法分解因式．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变．过程如下： ． 像这样，先添加一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 请解答下列问题： (1)用“配方法”分解因式：． (2)19世纪的法国数学家苏菲·热尔曼解决了“把分解因式”这个问题： ．请分解因式：． 22．（本题12分）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 23．（本题12分）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)【知识探究】如图1，是用长为，宽为的长方形，沿图中虚线均分成四个小长方形，然后按照图2拼成一个正方形，可以得到、、三者之间的等量关系式：__________； (2)【知识迁移】类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图3，观察大正方体分割，写出可以得到的等式_______________；若，，求的值； (3)【拓展探究】如图4，两个正方形、的边长分别为，若这两个正方形的面积之和为34，且，求图中阴影部分的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $