精品解析：江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期期中数学试题

江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期期中数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且与共线，则实数（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为与共线， 所以， 解得， 故选：B 2. 在中，内角的对边分别为，且，则角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理可直接计算的大小. 【详解】因为，而， 所以，故选B. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题. 3. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆台的轴截面是等腰梯形即可求解. 【详解】 如图所示，圆台的轴截面是一个等腰梯形，母线的长度就是线段的长度， 由于圆台的上、下底面半径分别为 ，高为，因此等腰梯形的上底、下底分别为 ，高为， 则 ，即 ，故B正确. 4. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】C 【解析】 【分析】A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断. 【详解】A. 若，则，a与b相交或异面，故错误； B.若，a，b，c不一定在同一平面内， 如在正方体中，，,但 不共面，故错误； C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确； D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面， 如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误； 故选：C 5. 在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】取的中点为，连接， 在中，为的中点，为的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成角或其补角， 设三棱锥棱长为， 则，， 因为， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 6. 已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为是单位向量，所以， 由，得，所以， 所以在上的投影向量为. 7. 在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得 ，求解即可. 【详解】 如图所示，在中，内角 ，作于， 要使满足条件的三角形有且仅有两个，则 ，其中 ， 即 ，因此边长的取值范围为，故A正确. 8. 在四边形中，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与共线且反向 D. 若，且与的夹角为锐角，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，， 当与的夹角为时，也符合题意，故A错误； 对于B，，又因为， 所以，故B正确； 对于C，若，则与共线且反向，故C正确； 对于D，当时，， 此时与的夹角为，不是锐角，故D错误. 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A. 由，利用二倍角公式和正弦定理转化，再利用大角对大边判断；B.利用余弦定理判断；C.利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和与差的正弦公式求解；D.根据为锐角三角形，得到，即，再利用在上的单调性判断. 【详解】A. 由，得 ，即 ，又 ， ，所以 ，由正弦定理得 ，则 ，即 ，由大角对大边得，故错误； B. 因为，所以，又，则C为钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以为钝角三角形，故正确； C. 由得， ，化简得，因为， 所以，则，所以为直角三角形，故正确； D. 因为为锐角三角形，则，所以， 因为在上递增，则，故正确； 11. 在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ） A. 底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线 B. 异面直线和所成角的范围 C. 存在点，使得 D. 若，则过点的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线的判定定理即可判断； 对于B，异面直线和所成角即直线与所成角（或补角），结合正方体的性质即可求解； 对于C，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值，求出即可判断； 对于D，延长交于点，利用相似可得为的中点，取的中点，连接，可得过点的截面为菱形，利用菱形的面积公式即可求解. 【详解】对于A，由异面直线的判定定理可知：底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线，故A正确； 对于B，由于在正方体，,所以异面直线和所成角即直线与所成角（或补角） 由于，当位于中点时，异面直线和所成角最大，最大角为， 当位于或点时，异面直线和所成角最小，最小角为，所以异面直线和所成角的范围，故B正确； 对于C，如图所示，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度为的最小值， 在，可得 所以不存在点，使得，故C错误； 对于D，延长交于点 因为，所以，所以，即为的中点， 取的中点，连接， 所以，且，即四边形为平行四边形， 则过点的截面为平行四边形， 由于，则平行四边形为菱形， 由于，， 则菱形的面积为，即过点的截面面积为,故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在中，角所对的边分别为，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的和计算出的度数，再结合正弦定理求解. 【详解】根据三角形内角和为，则， 由正弦定理，得， 又，，， 则. 13. 已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得与的夹角的余弦值. 【详解】已知，由于与垂直，则 ，解得， 设与的夹角为，， 则由向量数量积的定义，有，即与的夹角的余弦值为 14. 若对于恒成立，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】因为，其中，， 所以. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）若的夹角为，求； （2）若，求当为何值时，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量模的计算公式及数量积运算律计算即可； （2）根据向量垂直得到，再根据向量数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，，的夹角为， 所以. 【小问2详解】 若，则，即，所以， 因为， 令，即时，， 所以当时，. 16. 已知为锐角，. （1）求的值： （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数基本关系式，化简求解； （2）利用同角三角函数基本关系求出和，再利用正切的差角公式求出的值，进而利用正切的和角公式求得的值. 【小问1详解】 已知为锐角，，由同角三角函数关系可得：， 由，代入得： 解得（为锐角，舍去），故， 由二倍角公式：. 【小问2详解】 因为为锐角，所以，由得： ， 因此. 由，代入，： ，解得. 所以. 17. 在中，点满足. （1）若点为AP的中点，试用向量表示； （2）若，求的余弦值； （3）过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值. 【答案】（1）， （2）0 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据，得到，再根据点为AP的中点利用向量的减法运算求解； （2），两边平方求解； （3）根据M，P，N共线，且，得到，再由，利用系数相等得到，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，又因为点为AP的中点， 所以， 所以； 【小问2详解】 设，由， 得， 即， 解得； 【小问3详解】 因为M，P，N共线，且， 所以， 又因为，则，即， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是3. 18. 如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点. （1）过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【答案】（1），过程见解析； （2）； （3）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，在正方体上底面内过点作直线，使得，由平行线的传递性，得解； （2）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解； （3）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证. 【小问1详解】 如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得， 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以. 【小问2详解】 取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . 【小问3详解】 因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，， 所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且. （1）证明：； （2）若，求； （3）求的取值范围. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式和余弦定理化简，得证； （2）由（1），利用同角关系式求得，将条件式，利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换化简得解； （3）由正弦定理边化角可得，令，设，利用函数单调性求出值域. 【小问1详解】 由，得， 所以，得. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，且， 所以，解得，. 若，由正弦定理得，又， 所以，即， 所以， 所以，得， 又为锐角，所以. 【小问3详解】 由正弦定理， 因为是锐角三角形， 所以，且， 解得或（舍去）， 令，设， 当时，单调递增，故， 又，所以， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江市丹阳市2025-2026学年高一下学期期中数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，且与共线，则实数（ ） A. 2 B. C. 8 D. 2. 在中，内角的对边分别为，且，则角为 A. B. C. D. 3. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，高为，则该圆台的母线长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 5. 在棱长均相等的三棱锥中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量是两个单位向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角，若满足条件的三角形有且仅有两个，则边长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在四边形中，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为非零向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与共线且反向 D. 若，且与的夹角为锐角，则 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 11. 在棱长为2的正方体中，是线段上的一动点，则（ ） A. 底面ABCD内任意不过点的直线均与互为异面直线 B. 异面直线和所成角的范围 C. 存在点，使得 D. 若，则过点的截面面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 在中，角所对的边分别为，若，则__________． 13. 已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________. 14. 若对于恒成立，则__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足. （1）若的夹角为，求； （2）若，求当为何值时， . 16. 已知为锐角，. （1）求的值： （2）求的值. 17. 在中，点满足. （1）若点为AP的中点，试用向量表示； （2）若，求的余弦值； （3）过点的直线与AB，AC所在的直线分别交于点，求的最小值. 18. 如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点. （1）过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； （2）求直线与所成角的余弦值； （3）若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 19. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记为的面积，且. （1）证明：； （2）若，求； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $