精品解析：江苏省东台市2024-2025学年高一下学期期中数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业水平考试 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 若复数（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的相关概念判断即可. 【详解】复数的虚部为. 故选：A 2. 已知向量，不共线，，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，即， 又向量，不共线，所以，解得. 故选：C 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式求出，再由两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为，又， 所以， 所以. 故选：D 4. 已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及坐标表示求解. 【详解】令坐标原点为，由，得，则， 而点，，因此， 所以点坐标为. 故选：D 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】向量，，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 6. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200 m B. 400 m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 7. 在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得. 【详解】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：C 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B、D根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10. 已知复数，，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则的最小值为2 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，根据复数模的性质判断D、B，根据复数模的计算公式及函数的性质计算C. 【详解】对于A：若，则，而，，，故A错误； 对于D：设，，， 则， 所以， 又，， 所以，故D正确； 对于B：因为，所以或，即或，故B正确； 对于C：设，由， 所以，即，则，解得， 所以， 所以的最小值为，故C错误. 故选：BD 11. 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（ ） A. 的周长大于2 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用给定图形，结合勾股定理计算判断AC；利用和角的正切求解判断B；利用面积法，结合基本不等式推理判断D. 【详解】对于A，，则的周长为2，A错误； 对于C，由，得，整理得，C正确； 对于B，，则， 而为锐角，则，，B正确； 对于D，由，得， 整理得，即，而， 即，又，解得，当且仅当时取等号， 又，因此的最小值为，D错误. 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 13. 已知，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方，即可求出，再由二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 14. 若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角正弦化简已知等式为，再利用三角形外心、向量数量积及正弦定理、和角的余弦公式求出即可. 【详解】在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为， 则，由， 得， ，则， 于是，即， 则，即， 因此，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15. 已知复数，其中为虚数单位. （1）求为何值时，为纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实部为，虚部不为得到方程（不等式）组，解得即可； （2）根据实部、虚部均小于得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 因为为纯虚数， 所以，解得； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点为， 依题意，解得，即的取值范围为. 16. 设为实数，已知向量，. （1）若，求的值； （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的坐标表示，列式求解. （2）利用向量垂直的坐标表示求出，再利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 向量，，由，得， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由，得，解得， 因此，，，，， 则，而， 所以. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1），对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）由的范围求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期； 令，，解得，． 所以的对称中心为． 【小问2详解】 当时，， 又，，且在上单调递减，在上单调递增， 因为在的值域为， 所以，解得， 即的取值范围为． 18. 在中，已知为边上一点，满足，. （1）若，，求的面积； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到，再由将两边平方，即可求出，再由计算可得； （2）根据边长关系得到，结合三角形面积公式和即可得解； 【小问1详解】 因为，，所以，且， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以; 【小问2详解】 因为为上一点，满足， 所以，所以， 因为，所以， 所以，又，所以； 19. 在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，. （1）求的大小； （2）若，求； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】(1) 由正弦定理及三角恒等变换得，进行求解； (2)依题意得，再结合余弦定理求出，进行求解； (3) 由，令，得，得，再由正弦定理及三角恒等变换求出，再求的范围得到t 的范围即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理得，， 得， 得， 因为，所以， 得，得， 得，即， 因为，所以. 【小问2详解】 如图： 连接，并延长交为点M， 因为G为的重心，所以M为的中点，且， 而， 得， 得， 即， 因为，所以， 即， 由余弦定理得，，而， 得， 故，得， 故． 【小问3详解】 由(2)知，， 得，而， 得， 故， 令，得， 得， 由正弦定理得， 得， 故 ， 由(1)知，，则，而是锐角三角形， 有，解得， 则，得， 即， 即， 因为， 所以， 而， 因为， 所以， 故的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：因为G为的重心，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中学业水平考试 高一数学试题 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上. 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 若复数（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知向量，不共线，，，若，则（ ） A. B. C. 6 D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ） A. 200 m B. 400 m C. D. 7. 在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知复数，，下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若，则的最小值为2 D. 11. 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（ ） A. 的周长大于2 B. C. D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.） 12. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________. 13. 已知，则_________. 14. 若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为_________. 四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.） 15. 已知复数，其中为虚数单位. （1）求为何值时，为纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 设为实数，已知向量，. （1）若，求的值； （2）设，向量与的夹角为，求的大小. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围. 18. 在中，已知为边上一点，满足，. （1）若，，求的面积； （2）若，求的长. 19. 在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，为的重心，已知，. （1）求的大小； （2）若，求； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $