微专题02 求解二次函数解析式的五大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02求解二次函数解析式的五大题型 题型1用“一般式"求解二次函数解析式 题型2用“顶点式"求解二次函数解析式 求解二次函数解析式 题型3用“交点式"求解二次函数解析式 五大题型 题型4根据平移求解二次函数解析式 题型5根据二次函数关于点或直线对称求二次函数解析式 微点金玻 题型一用“一般式”求二次函数的解析式 啸方法 己知3个独立的函数图像上的点坐标(x1)、(2y2)(x为)，将其分别代入一般式，得到3 个关于a、b、c的方程，解方程组即可确定解析式。 具体步骤 1.设解析式：直接设二次函数为y=a2+bx+c(a≠0)，明确待求量是a、b、c。 2.代点列方程：把3个已知点的x、y值代入解析式，得到方程组： -y =axt 2+bx +c -y2 =ax2 2+bx2 +c -y3=ax32+b3+c 3.解方程组：通过消元法（代入消元或加减消元）求出a、b、c的具体值。 4.写最终解析式：将a、b、c的值代回一般式，得到完整的二次函数解析式。 1.(2526九年级上·河南安阳阶段练习)已知二次函数y=2的图像经过A1,- 2 则a的值是() B. c.4 D.4 2.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)己知二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1，，则代数式 1-a-b的值为() A.-1 B.0 C.2 D.5 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上湖北黄冈阶段练习)抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,0)，(5,0)，且与y轴交于点 (0,6,则抛物线的顶点坐标为 4.(25-26九年级上·浙江杭州阶段练习)若抛物线y=x2+bx+c与x轴交于(1,0)和3,0)，则2b+c的值 是 5.(25-26九年级上内蒙古乌兰察布阶段练习)已知抛物线过点(-1,0)，（3,0)，（2，-6)，求抛物线的解析 式 6.(24-25九年级上.甘肃张掖期中)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,-3),B(3,0). 3 2 -3-2-10 4衣 9 3 -1 0 1 y 0 -3 -4 (1)求该二次函数的解析式： (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象， 题型二用“顶点式”求二次函数的解析式 嫁方法 二次函数顶点式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，核心是先确定顶点坐标(，k),再求系数a,方法总结如 下： 核心思路 顶点式的优势的是直接体现顶点(h,k),只需1个额外条件（如函数图像上的另一个点）即可求出a,无需 解三元方程组，计算更简便。 具体步骤 1.设解析式：根据顶点信息，设二次函数为y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是顶点坐标。 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.确定(h,k): 若直接给出顶点（如顶点为(2,3）)，直接代入h=2、3; 若给出对称轴x=h（如对称轴x=1),则h=1,k需结合其他条件推导（如已知顶点在某直线上)： 若给出最高点/最低点纵坐标，即k的值（如最小值为-2，则-2) 3.求系数a:将另一个已知点(o,o)代入顶点式，解方程yo=a(o-h)2+k,求出a的值。 4.写最终解析式：将a、h、k的值代回顶点式，可根据需求整理为一般式。 1。(2425九年袋上山东济商阶段练习》一抛物线的形线、开口方的与抛简线y=方式+红-5相时，顶点 为(-3,2)，则此抛物线的解析式为() 1 1 A.y=-5(x-3)2+2 B.y=-5(x+3)2+2 2 2 C.y=- 6r-3)2-2 1 D.y=2x+3-2 2.(24-25九年级上北京门头沟期中)一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=，x:2-2x+3相同，顶点为 2 (-2,1,则此抛物线的解析式为（) 4.x-2+1B.yx+2-1cy=x+2+1D.=x-2-1 3.(2025九年级上·全国.专题练习)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为2,3)，且过点 (0,1),则函数解析式为() 4,y三)x-2+3 B=x-2+3 C.y=-2(x+2+3 D.y=2(x+2)+3 4.(25-26九年级上山东滨州阶段练习)形状与开口方向都与抛物线y=-2x2相同，顶点坐标是1，-5)的抛 物线对应的函数解析式为 5.(25-26九年级上陕西阶段练习)如图，二次函数的图象的顶点为(-1,4)，且经过点(1,0). 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求这个二次函数的解析式： (2)将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点(-2,0)，求m的值. 6.(25-26九年级上·吉林阶段练习)如图，该二次函数的图象的顶点坐标为1，-4)，与x轴正半轴的一个交 点的坐标为3,0). (1)求该二次函数的解析式； (2)当y≤2时，请结合图象直接写出x的取值范围； 3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移(n>0)个单位长度，图象恰好经过点 (5,-2),求的值. 题型三用“交点式”求二次函数的解析式 啸方法 二次函数交点式（也叫两根式）为y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，核心是先确定函数与x轴的交点坐 标，再求系数a,方法总结如下： 核心思路 交点式直接关联二次函数与x轴的两个交点(，0)和(x2,0),、x2本质是对应一元二次方程x 2+bx+c=0的两个根。只需1个额外条件（如函数图像上的任意一个非交点），即可求出a,计算简洁高效。 具体步骤 1.设解析式：根据与x轴的交点信息，设二次函数为y=a(x-)(x-x2)(a≠0)，其中、x2是 交点的横坐标。 2.确定1和2： 若直接给出与x轴的交点（如(2,0）和(-3,0))，则=2、x2=-3; 若给出一元二次方程的两个根（如方程x2-5x+6=0的根为2和3），则x1=2、=3; 若给出交点的间接信息（如“与x轴交于(1,0），且对称轴为=3”，可由对称轴公式x=(+x2)/2求 出x2=5)。 3.求系数a:将另一个已知点(o,yo)(非x轴交点)代入交点式，解方程yo=a(o-x)(o 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2),求出a的值。 4.写最终解析式：将a、、?的值代回交点式，可根据需求整理为一般式。 1.(23-24九年级上山东德州期中)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为(-1,0)，(2,0)，其形状和开 口方向与抛物线y=-2x2相同，则抛物线y=ax2+bx+c的表达式为() A.y 2x2 2x 3 B.y=-2x2+2x+4 C.y=-2x2-2x+4 D.y=-2x2+4x+6 2.(24-25九年级上河北期中)抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点(-1,0)，(3,0)，其形状与抛物线 y=-2x2相同，则该二次函数的解析式为 3.(2025九年级上浙江.专题练习)己知抛物线经过点(0，-2)，(3,0)，（-1,0)，则抛物线的解析 式 4.(2025九年级上浙江.专题练习)如图，已知抛物线过A,B,C三点，点A的坐标为-3,0)，点B的坐 标为9,0)，且3AB=40C,则此抛物线的表达式为 5.(25-26九年级上广西崇左阶段练习)求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过1,0)，（-3,0)，(0，-3)，求函数解析式： (2)抛物线的顶点坐标为2，-1)，且图像经过点(0,3)，求函数解析式 6.(25-26九年级上广东东莞阶段练习)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点 A3,0,B(5,0),C0,-15. 5/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 YA (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标： (2)判断点P(-1,-24)是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若P点在二次函数图像上，求出△ABP的面 积； 题型四根据平移求二次函数的解析式 啸方法 根据平移求二次函数解析式，核心是*“形状不变（α值不变），位置改变（顶点/图像平移）”*，优先用 顶点式分析（平移只影响顶点坐标），方法总结如下： 核心原理 二次函数平移不改变开口方向和大小，因此系数α保持不变； 平移规律遵循“上加下减、左加右减”，针对的是顶点式中的“x”和常数项“k”(而非一般式的x、y)。 具体步骤（以顶点式为核心） 1.确定原函数的顶点式：先将原函数化为顶点式y=ac-h)+k,明确原顶点坐标(h,)和a值 (a不变，直接沿用)。 2.根据平移方向，计算新顶点坐标(h,R): - 左右平移（影响h):向左平移m个单位，h=h-m；向右平移m个单位，h2=h+m(“左减右 加”针对h): -上下平移（影响k):向上平移n个单位，化=k+n;向下平移n个单位，龙=k-n(“上加下减” 针对k); 复合平移（先左/右再上/下）：按顺序叠加计算，例：原顶点(2,3)，向左移1个、向上移2个，新顶点 为(2-1,3+2)=(1,5)。 3.写出新函数的顶点式：将a和新顶点(h,)代入顶点式，得y=ax-h)+化 1.(25-26九年级上·天津北辰阶段练习)将抛物线y=-(x+2)2-1向右平移1个单位，则所得拋物线的解析 式是(). A.y=-(x+2)2B.y=-(x+2)2-2C.y=-(x+1)2-1D.y=-(x+3)2-1 2.(2025九年级上.全国.专题练习)将二次函数y=(x+1)2-2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到的二次函数解析式是() A.y=(x-12-5 B.y=(x-1)2+1 6/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.y=(x+3)2+1 D.y=(x+32-5 3.(新疆维吾尔自治区吐鲁番市2025-2026学年九年级上学期10月期中考试数学试题)将抛物线y=x2-5 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为】 4.(25-26九年级上吉林长春阶段练习)二次函数y=x2-4x+5化为y=a(x-h)+k的形式. (1)用配方法化为y=a(x-h)+k的形式-；对称轴为直线-；顶点坐标为- (2)抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，所得的表达式为：- (3)抛物线关于x轴翻折后，所得的表达式为：一 5.(2025-山东泰安三模)在平面直角坐标系中，己知抛物线y=-x2+2ax-a2+3a-2(a为常数). (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点(0，-4)，求a的值： (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求α的取值范围； (3)若a=1, ①在抛物线上有两点M(m-2,y),N(m,y2),若y>2,则m的取值范围是 ②当-1≤x≤n时，该二次函数的最大值与最小值的和为-2，求n的取值范围. 6.(25-26九年级上·安微安庆阶段练习)把抛物线C:y=x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平 移5个单位长度得到抛物线C, (1)直接写出抛物线C,的函数关系式： (2)若点A(m,y),B(n,y2)都在抛物线C2上，且m<n<0,比较片，的大小，并说明理由， 题型五根据二次函数关于点或直线对称求二次函数的解析式 啸方法 利用“对称/中心对称的点坐标关系”+“原函数α值不变”，通过“找对应点”或“用性质公式”求解，分“关于直线 对称”和“关于点中心对称”两类，方法总结如下： 一、关于直线对称（轴对称，最常考x轴、y轴、对称轴x=h) 核心原理 -对称后函数的a值：关于x轴对称时a变号（开口方向相反），关于y轴、直线x=h对称时a值不变（开 口方向/大小不变)： ·关键是找到原函数上任意点的对称点，代入设好的解析式求解（优先用顶点式，简化计算）。 具体方法（分常见对称类型） 1.关于x轴对称 7/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -步骤：①原函数化为顶点式y=ac-h)2+k,顶点为(h,);②)对称后顶点为(h,),a变为-a;③)新 函数解析式：y=-ac-h)2-k。 -例：原函数y=2c-1)2+3,关于x轴对称后为y=-2-1)2-3。 2.关于y轴对称 -步骤：①原顶点(h,对称后为(-h,,a不变；②新函数解析式：y=ac+h2+k(替换x为-x也可验 证)。 -例：原函数y=3x-2)2-1,关于y轴对称后为y=3(x+2)2.1。 3.关于某直线x=m对称（含对称轴、垂直于x轴的直线） -步骤：①原顶点(h,)对称后为(2m-h,)(横坐标满足“中点在x=m上”，即frach+'}{2}=m,得H=2m h);(②a值不变，代入顶点式得新函数：y=ac-(2m-h)2+k。 若对称直线不特殊，可：①设新函数解析式（同原函数形式，α值按规律确定）；②取原函数3个特殊点 (如顶点、与坐标轴交点)，求其对称点；③将对称点代入新解析式，解方程组求出未知系数。 二、关于点中心对称（中心对称，常考原点、任意点(m,n)》 核心原理 -中心对称后，函数的α值不变（形状、开口方向均不变），仅位置平移； 关键是利用“中点公式”：若原函数上一点cy)关于中心点(m,n)的对称点为c'y),则m=fracx+x'}{2},n =frac{y+y}{2},即x=2m-x,y=2n-y。 具体步骤 1.设原函数为y=x)(一般式或顶点式均可)，新函数为y=gx); 2.由中心对称性质，对新函数上任意点c,y),其对称点(2m-x,2n-y)必在原函数上，即2n-y=2m-x 3.整理等式得新函数y=2n-2m-x,代入原函数表达式化简即可。 常见特例（关于原点对称） -此时m=0,n=0,对称点公式为x=x',y=y; 步骤：原函数y=ac-h)2+k,对称后顶点为(-h,-,新函数为y=ac+h2-k; 1.(23-24九年级上山东济南·期中)将二次函数y=(x-2)2+1的图象绕点(2,1)旋转180°得到的图象满足的 解析式为() A.y=(x-22+1 B.y=(x+22+1 C.y=-(x-22+1 D.y=-(x+22-1 2.(22-23九年级上·吉林长春阶段练习)在平面直角坐标系中，将抛物线y=X2+2x-1,绕原点旋转180°， 所得到的抛物线的函数关系式是() A.y=x-2x+1B.y=-x2-2x-1C.y=-x2+2x-1D.y=-x2+2x+1 3.(23-24九年级上江西上饶期中)已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(1,0)且关于直线x=2对称， 则这个二次函数的解析式为一 8/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(2025九年级.全国.专题练习)如图，己知抛物线y,=ax2+bx+c分别交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点，且 与y轴交于点C(0,-3). A 4 3 2 B -5-4-3-2-L12B45x -4P -5 (1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标 (2)将该抛物线绕点(4,0)旋转180°，求旋转后的抛物线的表达式。 5.(23-24九年级上浙江衢州阶段练习)已知抛物线y=x2-2x, (1)若把该抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位，则平移后抛物线解析式为； (2)若把该抛物线绕它的顶点旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为_一· 6.(2026江西模拟预测)已知抛物线L:y=x2+2x+2x≤0)的顶点为A,与y轴交于点B. (1)点A的坐标为-，点B的坐标为- (2)如图，将抛物线L:y=x2+2x+2(x≤0绕点B旋转180°后，得到抛物线L2,L2与x轴交于点D. ①求抛物线L的解析式及点D的坐标； ②记抛物线L,L,组合得到的新图象为L,若L与直线y=-x+b有三个交点，试求b的取值范围. 9/9 微专题02 求解二次函数解析式的五大题型 题型一 用“一般式”求二次函数的解析式 已知3个独立的函数图像上的点坐标（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃），将其分别代入一般式，得到3个关于a、b、c的方程，解方程组即可确定解析式。 具体步骤 1. 设解析式：直接设二次函数为 y = ax² + bx + c（a≠0），明确待求量是a、b、c。 2. 代点列方程：把3个已知点的x、y值代入解析式，得到方程组： - y₁ = a x₁² + b x₁ + c - y₂ = a x₂² + b x₂ + c - y₃ = a x₃² + b x₃ + c 3. 解方程组：通过消元法（代入消元或加减消元）求出a、b、c的具体值。 4. 写最终解析式：将a、b、c的值代回一般式，得到完整的二次函数解析式。 1．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数的图像经过，则a的值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 将代入解析式求解． 【详解】解：将代入得． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将已知点代入解析式是解题关键． 直接将已知点代入函数解析式，进而求出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点 ∴ ∴   ∴ 故选：A. 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）抛物线经过点，，且与轴交于点，则抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数表达式，以及二次函数的顶点坐标，熟练解三元一次方程及掌握求解二次函数顶点的公式是解题的关键． 先将三个坐标代入，求出，，的值，再根据求出顶点横坐标，代入表达式求出纵坐标． 【详解】解：抛物线经过点，，且与轴交于点， 将三个坐标代入得： ， 解得． 抛物线的表达式为 ， 代入得，， ， 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）若抛物线与x轴交于和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线和轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，根据抛物线与x轴交于、，将点代入求出的值，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于、， ∴将点代入解析式：， 解得：， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知抛物线过点，，，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：， 抛物线的解析式为． 6．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）已知二次函数的图象经过点． … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)求该二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可进行作图． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题中表格可作图象如下： 题型二 用“顶点式”求二次函数的解析式 二次函数顶点式为 y = a(x - h)² + k（a≠0），核心是先确定顶点坐标（h,k），再求系数a，方法总结如下： 核心思路 顶点式的优势的是直接体现顶点（h,k），只需1个额外条件（如函数图像上的另一个点）即可求出a，无需解三元方程组，计算更简便。 具体步骤 1. 设解析式：根据顶点信息，设二次函数为 y = a(x - h)² + k（a≠0），其中（h,k）是顶点坐标。 2. 确定（h,k）： - 若直接给出顶点（如顶点为（2,3）），直接代入h=2、k=3； - 若给出对称轴x=h（如对称轴x=1），则h=1，k需结合其他条件推导（如已知顶点在某直线上）； - 若给出最高点/最低点纵坐标，即k的值（如最小值为-2，则k=-2）。 3. 求系数a：将另一个已知点（x₀,y₀）代入顶点式，解方程 y₀ = a(x₀ - h)² + k，求出a的值。 4. 写最终解析式：将a、h、k的值代回顶点式，可根据需求整理为一般式。 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 2．（24-25九年级上·北京门头沟·期中）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 3．（2025九年级上·全国·专题练习）若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解： 因为抛物线的顶点坐标为， 则令二次函数的解析式为， 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为， 故选：A． 4．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握相关的性质是解题的关键；根据顶点坐标可设顶点式，再根据形状与开口方向相同可求a，即可得解． 【详解】解：顶点坐标是， 设抛物线的解析式为， 形状与开口方向都与抛物线相同， ， 抛物线对应的函数解析式为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西·阶段练习）如图，二次函数的图象的顶点为，且经过点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向上平移m个单位长度后恰好过点，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，函数平移的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据待定系数法求函数解析式即可； （2）根据平移的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴； （2）解：根据题意得， 平移后的解析式为， 将代入上式得，， 解得． 6．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）已知顶点坐标，设顶点式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可； （2）令，代入函数解析式求出两个的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定的取值范围； （3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可． 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 将函数与轴正半轴交点的坐标代入得， 解得， 则该二次函数的解析式为． （2）当时，， 整理得，解得， ∵二次函数中， ∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是． （3）由题意，平移后的函数解析式为， 将点代入得，解得． 题型三 用“交点式”求二次函数的解析式 二次函数交点式（也叫两根式）为 y = a(x - x₁)(x - x₂)（a≠0），核心是先确定函数与x轴的交点坐标，再求系数a，方法总结如下： 核心思路 交点式直接关联二次函数与x轴的两个交点（x₁, 0）和（x₂, 0），x₁、x₂本质是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根。只需1个额外条件（如函数图像上的任意一个非交点），即可求出a，计算简洁高效。 具体步骤 1. 设解析式：根据与x轴的交点信息，设二次函数为 y = a(x - x₁)(x - x₂)（a≠0），其中x₁、x₂是交点的横坐标。 2. 确定x₁和x₂： - 若直接给出与x轴的交点（如（2,0）和（-3,0）），则x₁=2、x₂=-3； - 若给出一元二次方程的两个根（如方程x²-5x+6=0的根为2和3），则x₁=2、x₂=3； - 若给出交点的间接信息（如“与x轴交于（1,0），且对称轴为x=3”，可由对称轴公式x=(x₁+x₂)/2求出x₂=5）。 3. 求系数a：将另一个已知点（x₀, y₀）（非x轴交点）代入交点式，解方程 y₀ = a(x₀ - x₁)(x₀ - x₂)，求出a的值。 4. 写最终解析式：将a、x₁、x₂的值代回交点式，可根据需求整理为一般式。 1．（23-24九年级上·山东德州·期中）抛物线与x轴的两个交点为，，其形状和开口方向与抛物线相同，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，及用交点式求函数解析式，明确a决定抛物线的开口方向和形状是解题关键．根据题意可设抛物线的交点式，再由两抛物线形状及开口相同得到a相同，从而确定解析式即可． 【详解】解：由题意设抛物线的交点式为：， ∵该抛物线的形状和开口与相同， ∴， ∴抛物线的解析式为：， 整理得：， 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北·期中）抛物线与轴的交点，，其形状与抛物线相同，则该二次函数的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点及待定系数法法求函数解析式，抛物线的形状与抛物线相同，．抛物线与轴的交点为，，利用交点式求表达式即可． 【详解】解：∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∵抛物线与x轴的交点为，， ∴其解析式， 当时，， 当时，， 故答案为：或． 3．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线经过点，，，则抛物线的解析式 ． 【答案】 【分析】本题考查求抛物线解析式．掌握交点式和利用待定系数法求解析式是解题关键．根据题意可设抛物线的解析式为：，再将点代入，求出a的值，最后化为一般式即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， 故可设该抛物线的解析式为：， ∵该抛物线又经过点， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 整理，得：． 故答案为：． 4．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为，点B的坐标为，且，则此抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．先得到，，则，再利用得到，可得到C点坐标为，设二次函数的解析式为，把C点坐标代入可求出a的值为，代入求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴C点坐标为， 设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的二次函数的解析式： (1)图象经过，，，求函数解析式； (2)抛物线的顶点坐标为，且图像经过点，求函数解析式 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式. （1）根据所经过点的坐标特征，设二次函数表达式为，然后将代入求得a值即可； （2）先设顶点式，再把代入，解方程即可求解，即可求出函数解析式． 【详解】（1）解：二次函数图象经过点， 设二次函数表达式为， 二次函数图象经过点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：由题意设解析式为， 将代入，则， 解得：， 所以函数解析式为． 6．（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求抛物线的解析式及其顶点坐标； (2)判断点是否在该二次函数的图象上，并说明理由，若点在二次函数图像上，求出的面积； 【答案】(1)，顶点 (2)在该二次函数的图象上，理由见解析；的面积为 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设抛物线解析式为，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意， 设抛物线， 代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点坐标为； （2）在该二次函数的图象上，理由如下， 当时，， ∴在该二次函数的图象上， ∵ ∴ ∴ 题型四 根据平移求二次函数的解析式 根据平移求二次函数解析式，核心是**“形状不变（a值不变），位置改变（顶点/图像平移）”**，优先用顶点式分析（平移只影响顶点坐标），方法总结如下： 核心原理 - 二次函数平移不改变开口方向和大小，因此系数a保持不变； - 平移规律遵循“上加下减、左加右减”，针对的是顶点式中的“x”和常数项“k”（而非一般式的x、y）。 具体步骤（以顶点式为核心） 1. 确定原函数的顶点式：先将原函数化为顶点式 y = a(x - h) + k ，明确原顶点坐标 (h, k) 和a值（a不变，直接沿用）。 2. 根据平移方向，计算新顶点坐标 (h', k') ： - 左右平移（影响h）：向左平移m个单位， h' = h - m ；向右平移m个单位， h' = h + m （“左减右加”针对h）； - 上下平移（影响k）：向上平移n个单位， k' = k + n ；向下平移n个单位， k' = k - n （“上加下减”针对k）； - 复合平移（先左/右再上/下）：按顺序叠加计算，例：原顶点(2,3)，向左移1个、向上移2个，新顶点为(2-1, 3+2)=(1,5)。 3. 写出新函数的顶点式：将a和新顶点 (h', k') 代入顶点式，得 y = a(x - h') + k' 1．（25-26九年级上·天津北辰·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ 原抛物线为向右平移1个单位， ∴ 新解析式为 故选C． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 3．（新疆维吾尔自治区吐鲁番市2025-2026学年九年级上学期10月期中考试数学试题）将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律：左加右减，上加下减，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度， ∴， 即得到新抛物线为， 故答案为： 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）二次函数化为的形式． (1)用配方法化为的形式 ；对称轴为直线 ；顶点坐标为 ． (2)抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，所得的表达式为： ． (3)抛物线关于x轴翻折后，所得的表达式为： ． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的平移与二次函数顶点式，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．熟知二次函数图象平移时，上加下减，左加右减．即上下平移时，纵坐标加减，左右平移时，横坐标加减． （1）先根据配方法化为的形式，然后根据的性质求出对称轴和顶点坐标即可； （2）根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． （3）求出抛物线关于x轴翻折后的顶点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴为直线；顶点坐标为． 故答案为：；；； （2）解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移4个单位，所得的表达式为： ． 故答案为：； （3）解：∵顶点坐标为， ∴抛物线关于x轴翻折后的顶点坐标为， ∴抛物线关于x轴翻折后的表达式为， 故答案为：． 5．（2025·山东泰安·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）． (1)将抛物线向上平移2个单位，若平移后的抛物线过点，求a的值； (2)若抛物线的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，求a的取值范围； (3)若， ①在抛物线上有两点，，若，则m的取值范围是________； ②当时，该二次函数的最大值与最小值的和为，求n的取值范围． 【答案】(1)或4； (2)； (3)①；②． 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设平移后的抛物线为，即，又图象过点，则，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，由，则抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为，又二次函数为常数）的图象上有且仅有两个点到轴的距离等于个单位长度，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，由时，抛物线为，则顶点为，开口向下． ①由抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合，则，进而计算可以得解； ②依据题意，由抛物线开口向下，且对称轴是直线，再结合时，该二次函数的最大值与最小值的和为，可以分类讨论计算得解． 【详解】（1）解：设平移后的抛物线为：，即， 又∵图象过点， ∴， 解得：或4； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∵二次函数（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴顶点，开口向下， ①由题意，∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 又， ∴， ∴当时， ， ∴无解； 当时，， ∴，则， 当时， ∴， 综上，， 故答案为：； ②由题意，∵抛物线开口向下，且对称轴是直线， 当时，最大值在，最小值在， ， ∴． 当时，最大值在顶点，最小值在或， 若，则最小值为， ，符合题意， 若，则最小值在， ， ， 综上，． 6．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）把抛物线：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． (1)直接写出抛物线的函数关系式； (2)若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的平移以及比较函数值的大小，解题的关键是熟练掌握平移规律以及二次函数的性质． （1）根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可； （2）根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：， 把抛物线：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到抛物线：，即， 抛物线的函数关系式为：． （2）由（1）知，抛物线的函数关系式为：， 抛物线的开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， 点，都在抛物线上，且， ． 题型五 根据二次函数关于点或直线对称求二次函数的解析式 利用“对称/中心对称的点坐标关系”+“原函数a值不变”，通过“找对应点”或“用性质公式”求解，分“关于直线对称”和“关于点中心对称”两类，方法总结如下： 一、关于直线对称（轴对称，最常考x轴、y轴、对称轴x=h） 核心原理 - 对称后函数的a值：关于x轴对称时a变号（开口方向相反），关于y轴、直线x=h对称时a值不变（开口方向/大小不变）； - 关键是找到原函数上任意点的对称点，代入设好的解析式求解（优先用顶点式，简化计算）。 具体方法（分常见对称类型） 1. 关于x轴对称 - 步骤：① 原函数化为顶点式 y = a(x - h)2 + k ，顶点为(h,k)；② 对称后顶点为(h, -k)，a变为-a；③ 新函数解析式： y = -a(x - h)2 - k 。 - 例：原函数 y = 2(x - 1)2 + 3 ，关于x轴对称后为 y = -2(x - 1)2 - 3 。 2. 关于y轴对称 - 步骤：① 原顶点(h,k)对称后为(-h, k)，a不变；② 新函数解析式： y = a(x + h)2+ k （替换x为-x也可验证）。 - 例：原函数 y = 3(x - 2)2 - 1 ，关于y轴对称后为 y = 3(x + 2)2- 1 。 3. 关于某直线x=m对称（含对称轴、垂直于x轴的直线） - 步骤：① 原顶点(h,k)对称后为(2m - h, k)（横坐标满足“中点在x=m上”，即\frac{h + h'}{2} = m，得h' = 2m - h）；② a值不变，代入顶点式得新函数： y = a(x - (2m - h))2 + k 。 若对称直线不特殊，可：① 设新函数解析式（同原函数形式，a值按规律确定）；② 取原函数3个特殊点（如顶点、与坐标轴交点），求其对称点；③ 将对称点代入新解析式，解方程组求出未知系数。 二、关于点中心对称（中心对称，常考原点、任意点(m,n)） 核心原理 - 中心对称后，函数的a值不变（形状、开口方向均不变），仅位置平移； - 关键是利用“中点公式”：若原函数上一点(x,y)关于中心点(m,n)的对称点为(x',y')，则m = \frac{x + x'}{2}，n = \frac{y + y'}{2}，即x = 2m - x'，y = 2n - y'。 具体步骤 1. 设原函数为 y = f(x) （一般式或顶点式均可），新函数为 y = g(x) ； 2. 由中心对称性质，对新函数上任意点(x', y')，其对称点(2m - x', 2n - y')必在原函数上，即 2n - y' = f(2m - x') ； 3. 整理等式得新函数 y' = 2n - f(2m - x') ，代入原函数表达式化简即可。 常见特例（关于原点对称） - 此时m=0，n=0，对称点公式为x = -x'，y = -y'； - 步骤：原函数 y = a(x - h)2 + k ，对称后顶点为(-h, -k)，新函数为 y = a(x + h)2 - k ； 1．（23-24九年级上·山东济南·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象满足的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．求出原抛物线的顶点坐标以及绕点旋转后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上 绕点旋转后的抛物线的顶点坐标为，开户口向下， 所得到的图象的解析式为， 故选：C． 2．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线，绕原点旋转后顶点坐标变为，， ∴旋转后的函数关系式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a的值． 3．（23-24九年级上·江西上饶·期中）已知二次函数的图象过点A（1，0）且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据对称轴公式可以解出b的值，再将A点坐标代入原式即可解出答案． 【详解】对称轴公式：                  解得：b=﹣4 将A（1,0）代入，得 0=1－4＋c       解得：c=3 ∴二次函数的解析式为： 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，熟记对称轴公式是解题关键． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知抛物线分别交轴于两点，且与轴交于点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标． (2)将该抛物线绕点旋转，求旋转后的抛物线的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用待定系数法求得解析式及顶点坐标即可； （2）首先利用旋转的性质求得旋转后抛物线的顶点的坐标为，然后利用待定系数法求得解析式即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入，得， ， 抛物线的表达式为． 故抛物线的顶点的坐标为． （2）解：设旋转后的抛物线的顶点坐标为． 为和的中点， 点的坐标为． 设旋转后的抛物线的表达式为． 旋转前后图形的形状不变，开口相反， ． 故旋转后的抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式和旋转的性质，解题关键是灵活运用待定系数法求二次函数解析式，并熟练掌握旋转的性质． 5．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知抛物线， （1）若把该抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位，则平移后抛物线解析式为 ； （2）若把该抛物线绕它的顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式为 ． 【答案】 【分析】（1）先把抛物线解析式转化为顶点式，再根据二次函数平移的性质求解即可； （2）根据抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反，再根据抛物线的开口方向与a的正负有关，使旋转后的抛物线的开口方向相反，取a的相反数即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴把抛物线向右平移1个单位，再向上移动2个单位后，得到的抛物线解析式为， 故答案为：； （2）∵， ∴抛物线开口方向向上， ∵抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反， ∴把该抛物线绕它的顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，把二次函数的解析式转化为顶点式是解题的关键． 6．（2026·江西·模拟预测）已知抛物线：的顶点为A，与y轴交于点B． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ． (2)如图，将抛物线：绕点B旋转后，得到抛物线与x轴交于点D． ①求抛物线的解析式及点D的坐标； ②记抛物线组合得到的新图象为，若与直线有三个交点，试求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，中心对称的性质，二次函数和一元二次方程的关系等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用二次函数的顶点式求顶点坐标即可，利用二次函数的抛物线特征进行求解即可； （2）①根据中心对称的性质求出顶点坐标，然后利用顶点式求函数解析式即可，然后利用二次函数的性质求交点坐标即可； ②联立解析式，利用一元二次方程的根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 当时，， ∴． （2）解：①设抛物线的顶点为C，则点C与点A关于点B对称， ，． ∴点C的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 令，解得（不合题意，舍去)， ∴点D的坐标为． ②当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， 当直线与抛物线只有一个交点时，令， 即， ∴， 解得， ∴若与直线有三个交点，则b的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $