10.2.1 代入消元法-导学案 2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“代入消元法解二元一次方程组”，通过新疆采棉机实际问题导入，引导学生先设两未知数列二元一次方程组，再设一未知数列一元一次方程，对比引出消元思想，搭建从二元到一元的转化学习支架。 以问题探究为主线，从现实情境出发培养学生用数学眼光观察世界，通过消元思想及代入步骤分解提升抽象能力与运算能力，实际问题解决强化模型意识与应用意识，变式训练和达标检测助力巩固，适合自主学习与教学评估。

姓名: 学科: 日期: 10.2.1代入消元法 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年5月18日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究，认识消元思想，理解与掌握利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 问题探究 （一）问题 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机,就完成了棉田的采摘.如果大型采棉机完成棉田的采摘,小型采棉机完成棉田的采摘,那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 1.探究1 如果设两个未知数：该种棉大户租用大型采棉机台，小型采棉机台，由问题中的等量关系可列二元一次方程组 2.探究2 如果设一个未知数：该种棉大户租用大型采棉机台，小型采棉机台，由问题中的等量关系可列一元一次方程 （二）思考 你能由上面所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗? 探究3 我们发现,二元一次方程组中方程① 可以写为注：方程 ，叫做用含的式子表示. ∵两个方程中的都表示租用小型采棉机的台数, ∴可以通过等量代换,把方程② 中的换为,即将方程③代入方程②， 从而可将二元一次方程 ② 化为一元一次方程 解这个一元一次方程,得 把代入方程③ ,得 从而得到这个方程组的解为 2、 消元思想与代入消元法 （1） 消元思想 二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫作消元思想. （2） 代入消元法——解二元一次方程组 问题探究3的解法,是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法,简称代入法. （3） 实例运用 例1．用代入消元法解方程组：一变：选一个较简单的方程，通过变形（移项、化系数为1），用含一个未知数的式子来表示另一个未知数. 【详解】解：由得 把代入，得二代：利用整体思想与等量代换，将方程③代入未变形的另一个二元一次方程. 解这个方程，得 三解：解所得到的一元一次方程. 把代入，得四回代：将所得到的一个未知数的值代入方程③，从而求出另一个未知数的值. 所以这个方程组的解是 五答. （四）变式训练 变式1：用代入法解方程组 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了运用代入消元法进行解方程，先根据得，再把代入，得，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， 把代入， 得， ∴， 即 ∴， 把代入， ∴， ∴方程组的解为 变式2 用代入法解方程组 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法进行解二元一次方程组，先整理得，再代入，得，整理得，然后把代入进行计算，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， 把代入， 得， 整理得， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∴． 【温馨提示】用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； ② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形； ③ 当未知数的系数都不是1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值较小的方程进行变形. 3、 用代入消元法解决实际问题 （1） 实例分析 例2快递员把货物送到客户手中称为送件,帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件,报酬为270元;他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件,报酬为185元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同,他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元? 分析： 由题意可知,问题的相等关系为 由此可以列出方程组,通过解方程组解决问题. 解:设这名快递员每送一件的报酬是元,每揽一件的报国酬是元 根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系,列得方程组 由①,得 把③代人②,得 解这个方程,得 把代入③,得 所以这个方程组的解是 答:这名快递员每送一件的报酬是1.5元,每揽一件的报酬是2元. （2） 用代入消元法解决实际问题的步骤 1.一审：通过认真审题，弄清楚题目的已知量、未知量与相等关系. 2.二设：根据题意设出两个未知数； 3.三列：列二元一次方程组； 4.四解：用代入消元法解二元一次方程组； 5.五答. （三）变式训练 变式3．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车厢数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 第二批 (1)试问每节火车车厢和每辆汽车平均各装物资多少吨？ (2)现有物资280吨，若需要安排相同数量的火车车厢和汽车，则如何安排恰好将这批物资全部运走？ 【答案】(1)每节火车车厢平均装50吨，每辆汽车平均装6吨 (2)安排火车车厢5节和汽车5辆恰好将这批物资全部运走 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的应用． （1）通过设未知数，结合两批物资的运输数据列出二元一次方程组，求解得到每节火车车厢与每辆汽车的平均装载量． （2）利用第一问的结果，设相同数量的火车车厢和汽车为未知数，根据总物资量列一元一次方程求解运输工具的数量． 【详解】（1）解：设每节火车车厢平均装物资吨，每辆汽车平均装物资吨，根据题意得， 解得： 答：每节火车车厢平均装物资50（吨），每辆汽车平均装物资6（吨）. （2）解：设安排火车车厢和汽车的数量均为（为正整数）. 根据题意得， 合并同类项得， 解得． 答：安排火车车厢5（节）和汽车5（辆）恰好将这批物资全部运走． 4、 达标检测 1．用代入法解方程组： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】代入消元法 【详解】解： 由①，得③ 把③代入②，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解是． 2．解方程组： 【答案】 【难度】0.85 【知识点】代入消元法 【详解】解： 把①代入②，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴. 3．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)二，整体代入未添加括号 (3)见解析 【难度】0.72 【知识点】代入消元法 【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可． 【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法； 根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法； （2）二，整体代入未添加括号； （3）解：由①得③ 将③代入②得，解得； 把代入③，即：，解得x＝2， 原方程组的解为：． 4．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． (1)房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？ (2)该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？ 【答案】(1) 房票安置每户可获得57万元，货币化安置每户可获得42万元 (2) 这批村民总计可获得万元补偿款 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及有理数四则运算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每户房票安置可获得万元补偿款，每户货币化安置可获得万元补偿款，根据3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元，建立二元一次方程组，求解即可； （2）根据（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：设每户房票安置可获得万元补偿款，每户货币化安置可获得万元补偿款， 根据题意，得， 解得， 答：房票安置每户可获得57万元，货币化安置每户可获得42万元； （2）解：（万元）， 答：这批村民总计可获得万元补偿款． 5．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【难度】0.65 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 5、 课堂小结 经历问题探究，认识了消元思想，理解与掌握了利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 10.2.1代入消元法 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年5月18日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 经历问题探究，认识消元思想，理解与掌握利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） 【学习过程】 1、 问题探究 （一）问题 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来,机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机,就完成了棉田的采摘.如果大型采棉机完成棉田的采摘,小型采棉机完成棉田的采摘,那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 1.探究1 如果设两个未知数：该种棉大户租用大型采棉机台，小型采棉机台，由问题中的等量关系可列二元一次方程组 2.探究2 如果设一个未知数：该种棉大户租用大型采棉机台，小型采棉机 台，由问题中的等量关系可列一元一次方程 （二）思考 你能由上面所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗? 探究3 我们发现,二元一次方程组中方程① 可以写为注：方程 ，叫做用含 的式子表示 . ∵两个方程中的都表示租用小型采棉机的台数, ∴可以通过 ,把方程② 中的换为 ,即将方程③代入方程②， 从而可将二元一次方程 ② 化为一元一次方程 解这个一元一次方程,得 把代入方程③ ,得 从而得到这个方程组的解为 二、消元思想与代入消元法 （1） 消元思想 二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的 一次方程,我们可以先求出一个未知数,然后再求另一个未知数.这种将未知数的个数由 化 、逐一解决的思想,叫作消元思想. （2） 代入消元法——解二元一次方程组 问题探究3的解法,是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含 未知数的式子表示出来,再代入另一个方程,实现 ,进而求得这个二元一次方程组的解,这种解二元一次方程组的方法叫作 ,简称 法. （3） 实例运用 例1．用代入消元法解方程组：一 ：选一个较简单的方程，通过变形（ 、化系数为 ），用含一个未知数的式子来表示另一个未知数. 【详解】解：由得 把代入，得二 ：利用 思想与 代换，将方程③代入 的另一个二元一次方程. 解这个方程，得三 ：解所得到的 一次方程. 把代入，得四 ：将所得到的一个未知数的值代入方程③，从而求出另一个未知数的值. 所以这个方程组的解是五 . （四）变式训练 变式1：用代入法解方程组 变式2 用代入法解方程组 【温馨提示】用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时， 代入； ② 当方程组中有未知数的系数为 或 时，选择含有系数为 或 的方程进行变形； ③ 当未知数的系数都 1或-1时，一般选择未知数系数的绝对值 的方程进行变形. 三、用代入消元法解决实际问题 （1） 实例分析 例2快递员把货物送到客户手中称为送件,帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件,报酬为270元;他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件,报酬为185元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同,他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元? 分析： 由题意可知,问题的相等关系为 由此可以列出方程组,通过解方程组解决问题. 解:设这名快递员每送一件的报酬是元,每揽一件的报国酬是元 根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系,列得方程组 由①,得 把③代人②,得 解这个方程,得 把代入③,得 所以这个方程组的解是 答:这名快递员每送一件的报酬是 元,每揽一件的报酬是 元. （2） 用代入消元法解决实际问题的步骤 1.一 ：通过认真审题，弄清楚题目的 量、 量与 关系. 2.二 ：根据题意设出 个未知数； 3.三列：列 一次方程组； 4.四解：用 消元法解二元一次方程组； 5.五答. （三）变式训练 变式3．某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示： 所用火车车厢数量（节） 所用汽车数量（辆） 运输物资总量（吨） 第一批 第二批 (1)试问每节火车车厢和每辆汽车平均各装物资多少吨？ (2)现有物资280吨，若需要安排相同数量的火车车厢和汽车，则如何安排恰好将这批物资全部运走？ 四、达标检测 1．用代入法解方程组： 2．解方程组： 3．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 4．我市2025年高新区城中村改造项目创新采用“房票安置货币化安置”模式．已知3户选择房票安置和2户选择货币化安置的村民，共获得补偿款255万元；2户选择房票安置和3户选择货币化安置的村民，共获得补偿款240万元． (1)房票安置和货币化安置两种方式下，每户村民分别可获得多少万元补偿款？ (2)该项目某批次有4户村民选择房票安置、5户选择货币化安置，这批村民总计可获得多少万元补偿款？ 5．学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．已知一包A食品含热量和蛋白质，一包B食品含热量和蛋白质，若要从这两种食品中恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 2、 课堂小结 经历问题探究，认识了消元思想，理解与掌握了利用代入消元法解二元一次方程组的方法与步骤，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算·重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $