10.2.1 第1课时 代入消元法解简单的二元一次方程组-导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 10.2 消元—解二元一次方程组 第1课时 代入消元法解较简单的二元一次方程组 【学习目标】本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的解的概念，能判断一个数对是否为方程组的解，培养学生的方程思想和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重实例引导、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握二元一次方程组的核心概念。 一、复习铺垫，导入新课（5分钟） 1. 师生互动：教师提问“我们之前学过一元一次方程，谁能说出一元一次方程的定义？”，引导学生回忆——只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=0，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“一元一次方程的核心是‘一个未知数、次数为1’”。2. 情境导入：展示实际问题：“现有鸡和兔共8只，它们的脚共有26只，问鸡和兔各有几只？”，引导学生思考：若设鸡有x只，兔有y只，可列出两个关系式：x+y=8、2x+4y=26，提问“这两个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？”，进而引出课题——二元一次方程组，明确本节课学习任务：理解二元一次方程、二元一次方程组及解的概念，能判断方程类型和数对是否为方程组的解。 二、探究新知，突破核心（15分钟） 本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究二元一次方程组的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。 1. 二元一次方程的定义：结合导入环节的两个方程x+y=8、2x+4y=26，讲解二元一次方程的定义——含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。强调三个关键条件：① 含有两个未知数（如x和y）；② 未知数的项的次数都是1（不含平方、立方等次数）；③ 等号两边都是整式（分母不含未知数）。举例说明：3x+2y=5是二元一次方程，而x²+y=3（未知数次数为2）、1/x + y=2（分母含未知数）都不是二元一次方程，通过正反例对比，帮助学生准确理解定义。 2. 二元一次方程组的定义：讲解“把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组”，强调“合在一起”的含义——两个方程共同含有两个相同的未知数，且每个方程都是二元一次方程。 1.通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想. 2.会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力； 在解题过程中渗透代入消元法的化归思想. 【学习重点】用代入消元法解二元一次方程组. 【学习难点】探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的 消元过程. 【自主学习】 1.二元一次方程的概念是什么? 2.什么叫方程组的解? 引言：新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机， 1 h就完成了 8 hm2 棉田的采摘. 如果大型采棉机 1 h 完成 2 hm2 棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm2 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 一元一次方程：设大型采棉机 x 台，则小型采棉机 (6-x) 台. 2x + (6 - x) = 8 二元一次方程组：设大型采棉机 x 台，小型采棉机 y 台. 提问：如何求这个二元一次方程组的解 【合作探究】 探究点一：用一个未知数表示另外一个未知数 问题 1：你能把方程 ① 改写成用含 x 的式子表示y的形式吗? 问题 2：你能把方程 ② 改写成用含 y 的式子表示x的形式吗? [练一练] 1. 将以下方程用含 x 的式子表示y ，含有y的式子表示x. (1) x - 3y = 6； (2) x + y = -2； (3) 3x + 2y = 1. 探究点二：用代入法解较简单的二元一次方程组 问题1：在情境问题里 ①② 两个方程中的 x 和 y 所表示的意义一样吗? 问题2：把探究点一问题1 中所得的式子代入②中得到的方程是什么方程? 问题3：以上做法达到怎样的目的? 追问1：解方程 2x + (6 - x) = 8的结果是什么?能否由 x 的值得出y的值? 总结：将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫作___________. 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种解方程的方法称为代入消元法，称为代入法. [典型例题] 例1 解方程组 归纳总结: 解二元一次方程组的步骤： 变形：用含有未知数的式子表示另一个未知数； 代入：把 y = ax + b (或 x = ay + b )代入另一个没有变形的方程； 求解：解一元一次方程得到一个未知数的值； 回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程中； 写解：写出方程组的解 例2 用代入法解方程组 归纳总结: 代入法解二元一次方程组的变形技巧： ① 若方程组中已有一个未知数用另一个未知数表示的等式，直接将其代入另一方程求解； ② 若方程组内存在未知数系数为 1 或 -1 的方程，优先对该方程进行变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数. 【练一练】 1. 解二元一次方程组：(1) (2) 2. 解二元一次方程组： [典型例题] 例3 第一次买 3 个篮球和 1 个排球共花费 380 元，第二次买 2 个篮球和 3 个排球共花费 440 元，求篮球和排球的价格分别是多少元？ 【练一练】3. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分.负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次，想在全部20 场比赛中得到 35 分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 课堂检测 1.用代入法解方程组，下列说法正确的是（ ） A. 直接把①代入②，消去y B. 直接把①代入②，消去x C. 直接把②代入①，消去y D. 直接把②代入①，消去x 2. 代入法解方程组时，代入正确的是(　　) A. x－2－x＝7 B. x－2－2x＝7 C. x－2＋2x＝7 D. x－2＋x＝7 3.由方程组可得x与y的关系是(　　) A. 2x＋y＝4 B. 2x＋y＝－4 C. 2x－y＝4 D. 2x－y＝－4 4.方程组 的解是________. 5. 在2(3y－3)＝5x－4中，用含x的式子表示y，则y＝_______. 6. 解方程组： (1) (2) 7. 若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求k的值. 参考答案 【自主学习】 (1)每个方程都含有两个未知数 (x和y)，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程. (2)二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. 【合作探究】 探究点一、用一个未知数表示另外一个未知数 问题1 y = 6 - x 问题2 x = 【练一练】 (1) x = 3y + 6；y = x -2 . (2) x = -2 - y y = -2 -x . (3) x = - y；y = - x . 探究点二、用代入法解二元一次方程组 【典型例题】 例1 例2 【练一练】 1.(1) (2) 2. 例3.解：设篮球单价为 x元，排球单价为 y 元，依题意得 解得： ，答：篮球的价格是 100 元，排球的价格是 80 元. 【练一练】3.解： 设胜的场数是 x，负的场数是 y，可列方程组： 由①得 y = 20 - x. 将③代入②，得 2x + 20 - x = 35， 解得 x = 15. 将 x = 15 代入③得 y = 5. 则这个方程组的解是 解得： ，答：这个队胜 15 场，负 5 场. 课堂检测 1.B 2.C 3.A 4. 5. 6. (1) (2) 7.解：由题意得y＝－x，则原方程组可化为 ，将③代入④中，得3(－k＋3)＝2k＋1，解得k＝8/5 . 学科网（北京）股份有限公司 $