精品解析：江苏省无锡市滨湖区江南大学附属实验中学2025-2026学年下学期期中质量监测卷八年级数学

江南大学附属实验中学2026年春学期期中质量监测卷 初二数学 2026.4 注意事项：1.本卷满分120分，考试时间为100分钟. 2.本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上. 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．掌握这个概念是解答本题的关键． 化简各选项之后，根据二次根式的定义判断与是同类二次根式的选项． 【详解】解：A．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； B．与被开方数相同，故是同类二次根式，符合题意； C．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意； D．与被开方数不同，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选B． 2. 为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（ ） A. 被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B. 被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C. 被抽取的100名学生是总体的一个样本 D. 样本容量是100 【答案】D 【解析】 【分析】先根据总体、个体、样本、样本容量的定义确定考查对象，再逐一对应概念判断选项． 【详解】解：A、总体是我校八年级480名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； B、个体是我校八年级每一名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； C、抽取的100名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，不是100名学生本身，故本选项错误； D、样本容量是100，故本选项正确． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，从而得到的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 5. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ） A. P（C）＜P（A）=P（B） B. P（C）＜P（A）＜P（B） C. P（C）＜P（B）＜P（A） D. P（A）＜P（B）＜P（C） 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得 【详解】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1； 事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1； 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0． ∴P（C）＜P（A）＜P（B）． 故选B． 【点睛】本题考查了事件的分类及可能性大小，熟练掌握随机事件的概率大于0小于1，必然事件发生的概率等于1，不可能事件发生的概率为0是解题的关键． 6. 李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形统计图中对应选项的圆心角度数，直接用360度乘以巧妙用水的人数占比即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 7. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】菱形，理由为：利用三角形中位线定理得到EF与HG平行且相等，得到四边形EFGH为平行四边形，再由EH＝EF，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】解：菱形，理由为： 如图所示， ∵E，F分别为AB，BC的中点， ∴EF为△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， ∴EF∥HG，且EF=HG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵EH=BD，AC=BD， ∴EF=EH，则四边形EFGH为菱形， 故选B． 【点睛】此题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 8. 如图，正方形的面积为4，的长是，则菱形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求出正方形的边长，利用勾股定理求出，然后根据菱形的面积即可求解． 【详解】解：如图，连接，则在菱形中，， ∵正方形的面积为， ∴，， ∴， ∵的长是， ∴菱形的面积为． 9. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交延长线于点，利用平行线+中点模型构造全等三角形，可得，从而可得，，再利用勾股定理在求出即可解题． 【详解】解：延长交延长线于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 10. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】过作，过作于，如图所示，根据正方形性质得，，推出四边形是正方形，由矩形性质得，，根据全等三角形的性质得，推出矩形是正方形，故①正确；根据正方形性质得，推出，得到，，由此推出，故③正确；进而求得，故②错误；当时，点与点重合，则，，得到不一定等于，故④错误． 【详解】解：过作，过作于，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； ∴， ∵四边形是正方形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴，， ∵ ∴，故③正确； ∴，故②错误； 当时，点与点重合，则，， ∴不一定等于，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置.） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 12. 成语“水中捞月”所描述的事件是____________；（填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”） 【答案】不可能事件 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：成语“水中捞月”所描述的事件是不可能事件． 故答案为：不可能事件 13. 将个数据分成个组，前组的频数分别是，则第组的频数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数和频率，利用总次数减去一、二、三组的频数和，进行计算即可． 【详解】 第组的频数为： 故答案为：． 14. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 15. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平行四边形的性质可得，，由，可得，由的周长是27，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长是27， ∴， 解得， ，． 故答案为：11． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，设，将、和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，，， 在中， 根据勾股定理，得， 即， 解得． 故答案为：． 17. 四条边长分别为1、2、3、4的梯形的面积是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查梯形；给出4条线段分别为1、2、3、4，因为要构成梯形需满足一定条件，讨论确定可能的上、下底，梯形只可能是上底1，下底4，腰为2，3，最后代入梯形面积公式计算即可． 【详解】解：如图所示：过点D作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴，， 若， 则， ∵， ∴此时不能构成三角形，也就不能组成梯形， 同理可得，只有当时，才能组成梯形， 过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、用轴对称方法解决最短路径问题，以及勾股定理等知识． 首先证明，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上，过点D作于点F，得到点D和F关于直线l对称，连交直线l于点H，连，证明当点P与点H重合时，的值最小，再分别求出，即可． 【详解】解：过P作于点N，交于点M， 由题意，， ∴， ∵点P是CE的中点， ∴， ∴， ∴， 则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上 过点D作于点F， 则此时点D和F关于直线l对称， 连交直线l于点H，连， 则， 当点P与点H重合时，的值最小， 由题意，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题（本大题共有8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的基本性质先化简每个二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘法法则及完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 20. 已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质求得，，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：∵，，均为实数 ∴ 解得：， ∴ ． 21. 某市马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在赛道上挑战自我．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表： 初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 5 0.1 10 0.2 a 0.24 14 b 9 0.18 （1）统计表中， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 【答案】（1）12； （2）见解析 （3）120人 【解析】 【分析】（1）可的频率为，即可求出a的值，根据的频数为14可以求出b的值； （2）由（1）得，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本中的频率，估计总体数量即可． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：补全图如下： 【小问3详解】 解：由题意得：（人）， 答：估计成绩在“”范围的人数有120人． 22. 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； （2）若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； （3）请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 【答案】（1）； （2）； （3）封闭图形的面积是平方米． 【解析】 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积； 本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据；；，，， 当投掷的次数很大时，则的值越来越接近， 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察表格得：；；，， 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 答：封闭图形的面积为平方米． 23. 如图，在平行四边形中，E，F分别是和的中点，且． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，根据平行四边形的性质可得，可得四边形为平行四边形，再根据，即可得到四边形是菱形，熟知相关性质是解题的关键． 【详解】证明：，分别是BC和AD的中点． ，． 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 24. 按要求作图： （1）如图1，四边形是平行四边形，点是中点，作边的中点（要求：仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，点在的内部，过点作直线与，分别交于点，，且（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接并延长交于点，则点即为所求； （2）作平行四边形即可求解，作射线，在上截取，作交于点，连接并延长交于点，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示，，即为所求 25. 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____； （2）当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2）当时，有最小值，为 （3）四边形面积的最小值为25 【解析】 【分析】（1）当时，直接根据公式计算即可； （2）将原式化为：，再利用公式计算的形式，计算即可； （3）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴的最小值为2； 【小问2详解】 解：∵， 当，即时等号成立， ∴当时，有最小值，为． 【小问3详解】 解：设， ∵与等高，与等高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵，当且仅当即时取等号， ∴， ∴四边形面积的最小值为25． 26. （综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，． （1）操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） （2）实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． （3）拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形 （2）①，理由见解析，② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，设与交于点O，由翻折可知，，是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，，由矩形的性质可得，推出，，证明得出，即可得证； （2）①连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，证明是的中位线，得出，即可得解；②连接交于点E，由翻折可知垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，求出，由勾股定理可得，由等面积法求出，得出，最后再由勾股定理计算即可得解； （3）连接，由勾股定理可得，，得出当，，在同一条直线上时，点与点距离最小，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 理由如下：如图，连接，，设与交于点O， 由翻折可知：，，是的垂直平分线， 即有，， 因为四边形是矩形，有， 所以，， 所以， 于是，所以四边形是平行四边形， 又因为，因此四边形是菱形． 【小问2详解】 解：①， 理由如下：连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 因为点为的中点， 所以是的中位线， 因此，即； ②如图，连接交于点E， 由翻折可知：垂直平分， 所以，， 在矩形纸片中，，， 因为点为的中点，所以， 在中，， 因为， 所以， 而， 又因为，，所以， 所以， 所以． 【小问3详解】 解：如图，连接， 在矩形中，，， 于是， 因为， 当，，在同一条直线上时，点与点距离最小， 此时， 设，则， 由翻折可知：， ， ， 解得：，即． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 27. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先证，推出，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）先求出，根据可得，进而可证，再求出的长即可； （3）分为对角线时、为对角线时、为对角线时三种情况，利用顶点坐标关系列式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 点D为对角线的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：矩形中点B的坐标为， ，， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，点D为对角线的中点， ， 中边上的高为3， ， ， 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知， ． 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形时，设， 分三种情况： 当为对角线时，， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得，（舍）， ， ，， ，， ，， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， ，， ，， ，， ； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，第三问有一定难度，注意分情况讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江南大学附属实验中学2026年春学期期中质量监测卷 初二数学 2026.4 注意事项：1.本卷满分120分，考试时间为100分钟. 2.本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上. 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（ ） A. 被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B. 被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C. 被抽取的100名学生是总体的一个样本 D. 样本容量是100 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 5. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（ ） A. P（C）＜P（A）=P（B） B. P（C）＜P（A）＜P（B） C. P（C）＜P（B）＜P（A） D. P（A）＜P（B）＜P（C） 6. 李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 8. 如图，正方形的面积为4，的长是，则菱形的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 9. 如图，在矩形中，点在的延长线上，，连接，是的中点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③；④．下列正确的选项是（ ） A. ①②④ B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置.） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 12. 成语“水中捞月”所描述的事件是____________；（填“必然事件”、“随机事件”或“不可能事件”） 13. 将个数据分成个组，前组的频数分别是，则第组的频数为_________． 14. 化简：__________． 15. 如图，的对角线，相交于点，且，的周长为27．则______． 16. 如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为 ______． 17. 四条边长分别为1、2、3、4的梯形的面积是_______． 18. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共有8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 已知，，均为实数，求的值． 21. 某市马拉松鸣枪开跑，35000名跑者在赛道上挑战自我．初一“和畅”部有50位同学参与了5公里的“欢乐跑”项目，经过调查，将50位同学的成绩绘制成了如下不完整的统计图表： 初一“和畅”部50名同学“欢乐跑”成绩 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 5 0.1 10 0.2 a 0.24 14 b 9 0.18 （1）统计表中， ， ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若我校参加此次“欢乐跑”比赛的共有500名同学，请估计成绩在“”范围的人数有多少？ 22. 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 （1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； （2）若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； （3）请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 23. 如图，在平行四边形中，E，F分别是和的中点，且． 求证：四边形是菱形． 24. 按要求作图： （1）如图1，四边形是平行四边形，点是中点，作边的中点（要求：仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，点在的内部，过点作直线与，分别交于点，，且（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 25. 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现： 当，时，； ，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）当时，的最小值为_____； （2）当时，求当取何值，有最小值，最小值是多少？ （3）如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值． 26. （综合与实践）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，，． （1）操作发现：操作一：将矩形纸片折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平得到图1，则四边形是什么特殊四边形？（不用说明理由） （2）实践探究：操作二：如图2，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②求的长． （3）拓展应用：如图3，若M为上任意一点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，当点A与点距离最小时，求的长． 27. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，点D为对角线的中点，点P是边上一动点，直线交边于点E． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若的面积与四边形的面积之比为，求点P的坐标； （3）设点Q是x轴上方平面内的一点，以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $