精品解析：北京景山学校2025-2026学年第二学期期中考试高一年级数学试卷（1、2、3班）

北京景山学校2025～2026年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 注意事项 （1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共5页，共有三道大题，21道小题，考试时长120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在答题卡上，其余试题答案填写在答题卡上. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量，，，则__________；__________. 12. 求值：__________. 13. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 14. 已知函数．若，则______；若在区间上至少有3个零点，则的一个取值可以为______． 15. 已知中，，，若点是边上一点，是的中点，给出下列四个结论： ①若，则； ②若在方向上的投影向量为，则的最小值为； ③若，则的最大值为； ④若，则为定值． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值. 17. 如图，已知中，，点D是边BC上一点，且． （1）求AD的长； （2）求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； 19. 在中，，的平分线与交于点． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定．求的长． 条件①：边上的高为； 条件②：的面积为； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 20. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质P. （1）判断函数，是否具有性质P； （2）若函数具有性质P，且是偶函数，求证：是周期函数； （3）若函数（）具有性质P，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京景山学校2025～2026年度第二学期期中考试 高一年级数学试卷 注意事项 （1）请用黑色钢笔或签字笔答题，不得使用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共5页，共有三道大题，21道小题，考试时长120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在答题卡上，其余试题答案填写在答题卡上. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 3. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义和二倍角公式即可求得结果. 【详解】设点，因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点到轴的距离为， 所以,则,所以, 故选：A 4. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法以及共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：B. 5. 已知平面，，直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，由，则， 故“”是“”的充分条件； 若，平面，可能相交也可能平行， 故“”不是“”的必要条件； 综上可得：“”是“”的充分不必要条件. 6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 7. 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于B,根据结合线面平行的判断定理即可判断；对于C，根据，结合线面平行的判断定理即可判断；对于D，根据四边形是等腰梯形，与所在的直线相交，即可判断. 【详解】对于A,如下图所示， 易得, 则， 又平面,平面, 则平面，故A满足； 对于B，如下图所示， 为所在棱的中点，连接, 易得, 则四边形为平行四边形， 四点共面， 又易知， 又平面,平面, 则平面，故B满足； 对于C,如下图所示， 点为所在棱的中点，连接, 易得四边形为平行四边形，四点共面， 且, 又平面,平面, 则平面，故C满足； 对于D，连接, 由条件及正方体的性质可知四边形是等腰梯形， 所以与所在的直线相交， 故不能推出与平面不平行，故D不满足， 故选：D. 8. 在三角形中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得或，再结合三角形内角和及，即可求解． 【详解】由正弦定理得，，解得， 因为，所以或， 又因为，所以， 故选：A． 9. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解. 【详解】由可得，， 由，得，， 故， 故选：C 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知向量，，，则__________；__________. 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【详解】空1：因为向量，，，所以，解得. 空2：因为，所以，所以. 12. 求值：__________. 【答案】## 【解析】 【详解】 13. 如图，在正方体中，是的中点，平面将正方体分成体积分别为，（） 的两部分，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面与平面的交线，进而得出平面分正方体为两部分，再利用棱台的体积公式即可求出结果. 【详解】取的中点，连，因为平面，故平行于平面与面的交线，又分别为的中点，易知，即平面平面，故平面分正方体为两部分， 设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，， 故, 故答案为：. 14. 已知函数．若，则______；若在区间上至少有3个零点，则的一个取值可以为______． 【答案】 ①. 2 ②. 6（答案不唯一，只需大于即可） 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，若可直接得；令，根据在区间上至少有3个零点，得在区间上至少有3个零点，由此求得的取值范围，即可写出其取值． 【详解】函数． 若，则，所以； 令，则. 若在区间上至少有3个零点，则在区间上至少有3个零点. 所以，得. 故的一个取值可以为（不唯一）. 15. 已知中，，，若点是边上一点，是的中点，给出下列四个结论： ①若，则； ②若在方向上的投影向量为，则的最小值为； ③若，则的最大值为； ④若，则为定值． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正弦定理可知，再根据各向量关系分别判断三角形形状，数形结合可得解. 【详解】由已知，结合正弦定理可知， 即， ①如图所示，设中点为，则， 即，所以是以为底的等腰三角形， 所以，①正确； ②如图所示，若在方向上的投影向量为，则，即，即为直角三角形， 则当时，即时，取得最小值为，②错误； 若，则， 此时，即， 则， 又， 所以当点与重合时，取得最大值为，③正确； 若，即， 所以， 又，，则， 即是以为底的等腰三角形， 如图所示，， 所以，④正确； 故答案为：①③④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为 （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间． （2）利用整体思想求出函数的最大和最小值． 【小问1详解】 . 所以函数的最小正周期为， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以的最大值为2，最小值为. 17. 如图，已知中，，点D是边BC上一点，且． （1）求AD的长； （2）求的面积． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求AD的长； （2）在中，利用余弦定理可得，进而可得面积. 【小问1详解】 在中，可知，，可得， 由正弦定理可得. 【小问2详解】 在中，可知， 由余弦定理可得， 即，可得，解得或， 所以的面积为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：平面； （2）求证：F为的中点； 【答案】（1）详见解析； （2）详见解析； 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于点G，连接GE，根据ABCD为平行四边形，得到G为AC的中点，再由E为PC的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）先由，利用线面平行的判定定理得到 平面ABEF，再利用线面平行的性质定理得到求解. 【小问1详解】 证明：如图所示： 连接AC交BD于点G，连接GE， 因为ABCD为平行四边形， 所以G为AC的中点，又E为PC的中点， 所以，又平面BDE，平面BDE， 所以平面； 【小问2详解】 因为底面为平行四边形， 所以， 又 平面ABEF， 平面ABEF， 所以 平面ABEF，又平面平面， 所以， 又因为E 为PC的中点， 所以F为的中点. 19. 在中，，的平分线与交于点． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定．求的长． 条件①：边上的高为； 条件②：的面积为； 条件③：的周长为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选条件①时无解，选条件②和条件③时 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和同角三角函数基本关系求解即可； （2）选①：根据面积列方程无解，即可排除； 选②：根据三角形的面积公式求得，再用求解的长即可； 选③：根据周长和余弦定理求得，再用求解的长即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，由正弦定理，可得，所以. 【小问2详解】 若选①：因为边上的高为，，， 所以，无解，所以三角形不存在； 若选②：由三角形的面积公式，，解得. 所以，所以为等腰三角形，又，所以， 所以，三角形唯一， 由余弦定理可知， ， 由可得， 即，所以； 若选③：因为的周长为，，所以． 由余弦定理可知， 所以，解得，所以， 所以，所以为等腰三角形，又，所以， 所以，三角形唯一， ， 由可得， ，所以. 20. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； 【小问2详解】 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 21. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质P. （1）判断函数，是否具有性质P； （2）若函数具有性质P，且是偶函数，求证：是周期函数； （3）若函数（）具有性质P，且，求的最小值. 【答案】（1）函数不具有性质P，具有性质P； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合新定义，分别检验是否具有性质P ； （2）根据新定义、偶函数的性质及周期函数的定义证明即可； （3）根据新定义以及两角和差的正弦公式可得 ，利用同角关系得出，进一步得出，即可求出. 【小问1详解】 函数不具有性质P，具有性质P： 假设均具有性质P ， 则对任意的，，，恒成立， 即，对任意的恒成立， 令，则（舍）， ，则，得， 则， 若为偶数，则，得，舍； 若为奇数，则，得，则， 故函数不具有性质P，具有性质P； 【小问2详解】 因为函数具有性质P， 所以存在常数，使得对任意的成立， 所以， 因为是偶函数，所以，则， 则， 因为是偶函数，所以，则， 则， 因为，所以是周期为的周期函数. 【小问3详解】 因为函数（）具有性质P， 所以存在常数，使得对任意的成立， 即对任意的成立， 即对任意的成立， 则 ， 因为 ，所以， 因为，所以，所以，得 ， 因为，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $