高二数学下学期第三次月考卷（沪教版选择性必修第二册第5章～第7章，高效培优）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1． 8 2．12 3． 4． / 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．296 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 1 2 3 4 B D C A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【解析】（1）由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ，（2分） 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，， 时，， 时，. 所以，展开式中所有的有理项为.（6分） （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项，（12分） .（14分） 18．（14分） 【解析】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得.（3分） （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. .（8分） （3）由题意. ，又. ，（12分） 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ，（14分） 19．（14分） 【解析】（1）当时，在上单调递增. 证明：设，则 （2分） 因为，所以，则， 所以，那么0， 即，所以在上单调递增.（4分） （2）由在上有解，可得在上有解， 即在上有解.（6分） 令，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值. 因为在上有解，所以，即实数的取值范围是.（9分） （3）法一：对求导，根据求导公式， 可得.因为在区间上是增函数， 所以0在上恒成立，即在上恒成立，（11分） 因为，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，因为，所以在上单调递减， 则，所以，即实数的取值范围是.（14分） 法二：因为在区间上是增函数， 所以在上任取， 所以，（11分） 因为，所以，，所以， 所以对恒成立， 所以对恒成立， ，所以， 所以实数的取值范围是.（14分） 20．（18分） 【解析】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7（4分） （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，.（9分） （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大.（18分） 21．（18分） 【解析】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值．（4分） （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥，（6分） 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为．（10分） （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根，（12分） 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意，（14分） 若，令，得， 当时，，单调递减，（15分） 当时，，单调递增，（16分） 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围．（18分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第二册第5~7章导数及其应用、计数原理、概率初步（续）。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若，则__________. 2．若，则______ 3．在的二项展开式中的常数项______. 4．在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 5．已知随机变量服从二项分布，若，则______. 6．已知，则______． 7．在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 8．已知函数的值恒大于零，则实数的取值范围为__________. 9．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 10．已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 11．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为______. 12．如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 14．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 15．某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 16．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 18．（14分） 质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 19．（14分） 已知． (1)当时，若，判断的单调性并给出证明； (2)若在上有解，求实数a的取值范围； (3)若在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 20．（18分） 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 21．（18分） 已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第二册第5~7章导数及其应用、计数原理、概率初步（续）。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若，则__________. 【答案】8 【详解】由，得， 而，整理得， 所以. 2．若，则______ 【答案】12 【分析】将进行变形，得，利用导数的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 3．在的二项展开式中的常数项______. 【答案】 【详解】二项式展开式的通项为， 令，解得，所以常数项为. 4．在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 【答案】/ 【分析】利用正态分布的对称性来求解不同区间的概率. 【详解】由题意可得，所以正态分布关于对称， 由对称性可知，， 又易知，所以. 5．已知随机变量服从二项分布，若，则______. 【答案】 【分析】借助二项分布的期望与方差公式计算即可得. 【详解】，则，则. 6．已知，则______． 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合题意，直接计算即可. 【详解】， 故可得展开式的第三项为，展开式第四项为， 故，则. 故答案为：. 7．在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 8．已知函数的值恒大于零，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为，对恒成立，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】由题意，可得，即，对恒成立， 令，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为. 9．现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是______． 【答案】 【详解】用分别表示交换1次，2次后白球还在A罐中的事件， 依题意，，，， 由全概率公式得， 所以交换2次后，白球还在A罐子中的概率是. 10．已知定义在上的函数，其导函数为，若对，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】先根据条件构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为，结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集． 【详解】构造函数，， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 定义域要求，即， 不等式等价于， 即，所以，解得， 所以不等式的解集是． 11．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】等价转化为函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 则实数的取值范围为. 12．如图，有一个用8个完全一样的空心正方体框架所搭建的模型．现有一只蚂蚁沿着这些正方体的棱，并按照箭头所指的相互垂直的三个方向从A点爬到B点，可能的爬行路径共有______种（用数字作答）． 【答案】296 【分析】从高度为1的顶点沿竖直向上的棱爬到高度为2的顶点，一共有7处，计算通过这7条棱各自的情况总数，再相加即可. 【详解】 从高度为1的顶点沿竖直向上的棱爬到高度为2的顶点，一共有7处，分别记为，，，，，，，且，，，，， 点下方的点记为，，，，，另外，点上方的点记为， 从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有种路径， 从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有1种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 则从到有种路径，沿竖直的棱向上爬再到有1种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，再到有1种路径， 又到有种路径，则从到到有种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到有种路径，竖直的棱向上爬再到有1种路径， 则从到竖直向上再到有种路径， 从到到有种路径，从到到到有种路径， 沿竖直的棱向上爬再到有1种路径，则从到竖直向上再到有种路径， 从到到有种路径，从到到有种路径， 从到到到有种路径，从到到到有种路径， 再到有1种路径，则从到到有种路径， 因此从到可能的爬行路径共有种. 故答案为：296. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解：利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解. 【详解】对于A，由分布列的性质可得， 解得，故A正确； 对于C，由分布列可得：， 故，故C正确， 对于B，D，因为， 所以，故B错误，D正确． 故选：B． 14．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【分析】先安排讲座，再安排讲座和及其余三场讲座，最后利用分步乘法计算原理即可得出答案. 【详解】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法. 故选：D． 15．某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 16．已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，， 时，， 时，. 所以，展开式中所有的有理项为. （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项， . 18．（14分） 质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的面积和等于列出关于的方程，进而求出的值，再根据频率分布直方图中甲、乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小. （2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于的概率，然后求出恰有1桶食用油指标位于的概率. （3）先根据频率分布直方图求出，然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于的概率，最后根据二项分布的期望公式计算的数学期望. 【详解】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得. （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . （3）由题意. ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ， 19．（14分） 已知． (1)当时，若，判断的单调性并给出证明； (2)若在上有解，求实数a的取值范围； (3)若在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用单调性的定义可证函数的单调性. （2）不等式等价于，根据题意只需即可求解. （3）法一：由题意可得0在上恒成立，进而可得在上恒成立，可求得实数a的取值范围.法二：由在区间上是增函数，在上任取，则，进而计算可求得实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，在上单调递增. 证明：设，则 因为，所以，则， 所以，那么0， 即，所以在上单调递增. （2）由在上有解，可得在上有解， 即在上有解. 令，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值. 因为在上有解，所以，即实数的取值范围是. （3）法一：对求导，根据求导公式， 可得.因为在区间上是增函数， 所以0在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以在上恒成立，即在上恒成立. 令，因为，所以在上单调递减， 则，所以，即实数的取值范围是. 法二：因为在区间上是增函数， 所以在上任取， 所以， 因为，所以，，所以， 所以对恒成立， 所以对恒成立， ，所以， 所以实数的取值范围是. 20．（18分） 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】(1)6.7 (2) 1 2 3 ， (3) 【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可； （2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可； （3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可. 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 21．（18分） 已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $