数学（云南卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 以等高线海拔、智能手表销量、无人机运输等真实情境为载体，融合云南民族文化与科技前沿，通过基础巩固（如科学记数法）、能力提升（如增长率方程）、创新应用（如圆的综合证明）三级梯度，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|实数、轴对称、相似三角形、反比例函数|以“云南民族图案”考轴对称，体现文化传承；“原油产量”考科学记数法，关联社会热点| |填空题|4/8|因式分解、中位数、矩形判定、圆锥展开|“编织草帽”考圆锥展开，融合传统工艺与空间观念| |解答题|8/62|分式方程、概率、菱形证明、二次函数、圆的综合|25题无人机运输结合方程组与不等式，培养模型意识；27题圆的切线证明与定值探究，发展推理能力|

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，某盆地低于海平面，在等高线上标注为（　　） A． B． C． D． 2．2025年我国原油产量达216000000吨，创历史新高．216000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．彩云之南，民族聚居，自然人文，七彩绚丽．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线c与直线a，b都相交，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则与的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 7．一个正六边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 8．下列几何体中，主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 9．反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是(　　) A． B． C． D． 10．每年的4月15日是“全民国家安全教育日”．某校为了增强学生国家安全意识，在全校举行了国家安全知识竞赛活动．竞赛结束后，学校随机抽取了部分学生的成绩进行了整理和分析，将学生成绩分成A（合格）、B（良好）、C（优秀）、D（卓越）四个层级，将结果绘制成如下扇形统计图．若D层级的学生有8人，则B层级的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．12人 D．15人 11．某科技公司推出一款新型智能手表，因其健康监测功能精准，市场反响热烈．已知该款手表第一个月销量为5000台，在接下来的两个月里，月平均增长率保持稳定．若第三个月的销量达到7200台，设该款智能手表的月销量平均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 13．如图，点，，在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 15．如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于点M、N；分别以点M、N为圆心，以的长为半径画弧．两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），作直线交直线l于点O，连接，，，，则（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．分解因式： _______ ． 17．为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛．随机抽取了10名参赛选手的成绩如下表所示，则这10名选手成绩的中位数是______分． 人数/人 1 2 5 2 成绩/分 80 85 90 95 18．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 19．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）计算：． 21．（6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 22．（7分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 23．（6分）化学课上，小丽学到：将一根带火星的木条放在实验结果会产生氧气（）的出气口，会使木条复燃：将一根燃着的木条放在实验结果会产生氢气（）的出气口，会产生淡蓝色火焰．以下是小丽做的四个化学实验： a．锌粒和稀硫酸制取氢气： b．双氧水（过氧化氢）制取氧气： c．一氧化碳还原氧化铁： d．电解水： (1)若小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃的概率是 ； (2)若小丽从四个实验中随机选择1个实验，小丽的化学老师也从四个实验中随机选择1个实验，请通过画树状图法或列表法求两人选择的实验，其化学方程式中的气体生成物均能产生淡蓝色火焰的概率． 24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积． 25．（8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 26．（8分）已知抛物线的顶点在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)设t是直线与抛物线交点的横坐标，记，比较T与t的大小． 27．（12分）如图，内接于，的平分线交于点D，交于点F，延长至点E，使，连接．P是劣弧上异于A，B的任意一点，连接和． (1)求证：D是的中点； (2)求证：直线与相切； (3)探究，发现与证明： 过点D作于点H，是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，某盆地低于海平面，在等高线上标注为（　　） A． B． C． D． 2．2025年我国原油产量达216000000吨，创历史新高．216000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 3．彩云之南，民族聚居，自然人文，七彩绚丽．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线c与直线a，b都相交，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则与的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 7．一个正六边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 8．下列几何体中，主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 9．反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是(　　) A． B． C． D． 10．每年的4月15日是“全民国家安全教育日”．某校为了增强学生国家安全意识，在全校举行了国家安全知识竞赛活动．竞赛结束后，学校随机抽取了部分学生的成绩进行了整理和分析，将学生成绩分成A（合格）、B（良好）、C（优秀）、D（卓越）四个层级，将结果绘制成如下扇形统计图．若D层级的学生有8人，则B层级的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．12人 D．15人 11．某科技公司推出一款新型智能手表，因其健康监测功能精准，市场反响热烈．已知该款手表第一个月销量为5000台，在接下来的两个月里，月平均增长率保持稳定．若第三个月的销量达到7200台，设该款智能手表的月销量平均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 12．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 13．如图，点，，在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 15．如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于点M、N；分别以点M、N为圆心，以的长为半径画弧．两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），作直线交直线l于点O，连接，，，，则（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．分解因式： _______ ． 17．为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛．随机抽取了10名参赛选手的成绩如下表所示，则这10名选手成绩的中位数是______分． 人数/人 1 2 5 2 成绩/分 80 85 90 95 18．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 19．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 3、 解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20． （7分）计算：． 21．（6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 22．（7分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 23．（6分）化学课上，小丽学到：将一根带火星的木条放在实验结果会产生氧气（）的出气口，会使木条复燃：将一根燃着的木条放在实验结果会产生氢气（）的出气口，会产生淡蓝色火焰．以下是小丽做的四个化学实验： a．锌粒和稀硫酸制取氢气： b．双氧水（过氧化氢）制取氧气： c．一氧化碳还原氧化铁： d．电解水： (1)若小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃的概率是 ； (2)若小丽从四个实验中随机选择1个实验，小丽的化学老师也从四个实验中随机选择1个实验，请通过画树状图法或列表法求两人选择的实验，其化学方程式中的气体生成物均能产生淡蓝色火焰的概率． 24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积． 25．（8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 26．（8分）已知抛物线的顶点在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)设t是直线与抛物线交点的横坐标，记，比较T与t的大小． 27．（12分）如图，内接于，的平分线交于点D，交于点F，延长至点E，使，连接．P是劣弧上异于A，B的任意一点，连接和． (1)求证：D是的中点； (2)求证：直线与相切； (3)探究，发现与证明： 过点D作于点H，是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B C A A C D D B D B B C D A A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16． 17． 18．（答案不唯一） 19． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分） 【详解】解：原式．（7分） 21．（6分） 【详解】证明：∵， ∴，即，（2分） 在和中， ， （5分） ∴．（6分） 22．（7分） 【详解】解：设乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时，则甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时， （1分） 根据题意得，， （3分） 解得， （4分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，（5分） ，（6分） 故甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时．（7分） 23． （6分） 【详解】（1）解：（1）小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃，即能产生氧气的实验有2个， 则概率为；（3分） （2）解：列表如下： a b c d a b c d 共有16种等可能的结果，其中两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的结果有4种，即、、、， 则两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的概率为．（6分） 24．（8分） 【详解】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，（1分） 在△AEF和△DEB中， ∵， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝DB，（2分） ∵D是BC的中点， ∴AF＝DB＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形，（3分） ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∴四边形ADCF是菱形；（4分） （2）解：设AF到CD的距离为h， ∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°， ∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．（8分） 25．（8分） 【详解】（1）解：设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克， 由题意，得解得（3分） 答：甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克；（4分） （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克，（5分） 由题意，得， ∵总租金不超过3000元， ∴， ∴， ∴，且m为整数，（6分） ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（千克）， 此时，乙型无人机的数量为（架），（7分） 答：租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克．（8分） 26．（8分） 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴只有一个交点，即判别式．（1分） ∴ （2分） 令，得， 即， ∵， ∴． 将代入原抛物线解析式得：．（3分） （2）解：联立直线与抛物线，得： 整理得． ∵是直线与抛物线交点的横坐标， ∴是方程的解，即，且． 由，两边同除以，得： ， ， 对两边平方： ， ， ， 再对两边平方： ， ， ， 对，分子分母同除以： 将、、代入上式： 解方程，由求根公式： （5分） ①当时： ∵，， ∴，即．（6分） ②时： 即．（7分） 答：当时，；当时，．（8分） 27．（12分） 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴D是的中点；（3分） （2）证明：如图①，连接， 由（1）得，D是的中点，且是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切；（7分） （3）解：为定值． 解法一：如图②，在上截取，连接， 由（1）得，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．（12分） 解法二： 解：为定值． 如图③，连接，将沿翻折得到， 则， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，P，B三点共线， ∵， ∴， ∴．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共30分） LAJ[BJ[C][D] 6.[AJ[B][C][D] 11[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 7AJIB][C][D] 12[AJ[B][CJ[D] 3[A][BJIC][D] 8[A][B][C]ID] 13[A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 9[A][B][C][D] 14.[AJ[B][C][D] 5[AJ[B]ICJ[D] 10.[A][B][CJ[D] 15[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 17. 18 19 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共8个小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20.(7分) 2026++（-5-3m30 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) 23.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 万 B D 25.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) B H P E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．等高线指的是地形图上高度相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若高于海平面的山峰，在等高线上标注为，某盆地低于海平面，在等高线上标注为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和一对具有相反意义的量可以用正负数表示，进行解答即可． 【详解】解：由于高于海平面的山峰，在等高线上标注为， 则低于海平面，在等高线上标注为． 2．2025年我国原油产量达216000000吨，创历史新高．216000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的方法是：将原数化为时，小数点移动的位数即为的绝对值，原数绝对值大于时，为正整数． 【详解】解：． 3．彩云之南，民族聚居，自然人文，七彩绚丽．下列四个选项中，是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解： B、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； A选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它是轴对称图形． 4．如图，直线c与直线a，b都相交，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，故A错误； B选项：积的乘方等于各因式乘方的积， ，故B错误； C选项：单项式乘单项式，系数相乘，同底数幂相乘， ，等式成立，故C正确； D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，故D错误． 6．如图，在中，，若，则与的面积之比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方这一知识点，熟知这条知识点是解题的关键． 7．一个正六边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一个正六边形的内角和为． 8．下列几何体中，主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，分别从不同的方向看几何体，逐项判断即可． 【详解】解：A、长方体的正视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为矩形，但三个矩形的形状不一样，故本选项不符合题意； B、球体的主视图（也称正视图）、左视图（也称侧视图）、俯视图均为圆，故本选项符合题意； C、圆柱的正视图为矩形，左视图为矩形，俯视图为圆，故本选项不符合题意； D、圆锥的正视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为含圆心的圆，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．反比例函数的图象经过点，下列各点在该反比例函数图象上的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接把点代入反比例函数，求出k的值，进而可得出结论， 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、∵，不符合题意； B、∵，不符合题意； C、∵，不符合题意； D、∵，符合题意． 10．每年的4月15日是“全民国家安全教育日”．某校为了增强学生国家安全意识，在全校举行了国家安全知识竞赛活动．竞赛结束后，学校随机抽取了部分学生的成绩进行了整理和分析，将学生成绩分成A（合格）、B（良好）、C（优秀）、D（卓越）四个层级，将结果绘制成如下扇形统计图．若D层级的学生有8人，则B层级的学生有（   ） A．8人 B．10人 C．12人 D．15人 【答案】B 【分析】先根据D层级的人数和占比，反推出抽取的学生数，再结合B层级所占的圆心角推算出占比，最后相乘即可得出B层级的学生数． 【详解】解：由统计图可知，D层级的占比为， ∴一共抽取了（名）学生的成绩， ∴B层级的学生有（人）． 11．某科技公司推出一款新型智能手表，因其健康监测功能精准，市场反响热烈．已知该款手表第一个月销量为5000台，在接下来的两个月里，月平均增长率保持稳定．若第三个月的销量达到7200台，设该款智能手表的月销量平均增长率为x，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据增长后的销量等于初始销量乘以（1+月平均增长率）2，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该款手表这两个月销量的月平均增长率为x， 由于第一个月销量为5000台， 则第三个月销量为台， 因此，列方程为：． 12．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵这5个多项式第1项的系数分别为，，，，， ∴第n个多项式第1项的系数为， ∵这5个多项式第1项的次数分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式第1项的次数为n， ∵这5个多项式的常数项分别为1，2，3，4，5， ∴第n个多项式的常数项为n， ∴第n个多项式是． 13．如图，点，，在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 14．估计的值在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【详解】解：， ， ， 的值在2和3之间． 15．如图，点A是直线l外一点，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交直线l于点M、N；分别以点M、N为圆心，以的长为半径画弧．两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧），作直线交直线l于点O，连接，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出垂直平分，得到、，即可求出的值． 【详解】解：由题意得到：、， 点和点P都在线段的垂直平分线上， 垂直平分， 、， 在中，． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16．分解因式： _______ ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 17．为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛．随机抽取了10名参赛选手的成绩如下表所示，则这10名选手成绩的中位数是______分． 人数/人 1 2 5 2 成绩/分 80 85 90 95 【答案】 【分析】根据中位数的定义进行计算即可． 【详解】解：将名参赛选手的成绩按从小到大排序如下： ，，，，，，，，，， 其中第5名参赛选手和第6名参赛选手的成绩均为分， ∴这名选手成绩的中位数是（分）． 18．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件______使平行四边形ABCD是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形的判定方法即可解决问题； 【详解】解：若使▱ABCD是矩形，可添加的条件是： AC=BD；（对角线相等的平行四边形是矩形），∠ABC=90°等（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：任意写出一个正确答案即可，如：AC=BD或∠ABC=90°． 故答案为：AC=BD（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键． 19．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 20．（7分）计算：． 【详解】解：原式．（7分） 21．（6分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【详解】证明：∵， ∴，即，（2分） 在和中， ， （5分） ∴．（6分） 22．（7分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 为深化实践育人，某校组织学生前往红色教育基地开展研学旅行，计划租赁甲、乙两种型号的大巴车接送师生． 素材一 甲型大巴车比乙型大巴车平均每小时多行驶千米； 素材二 甲型大巴车行驶千米的时间与乙型大巴车行驶千米的时间相同． 请完成以下任务： 任务 求甲、乙两种大巴车的平均行驶速度． 【详解】解：设乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时，则甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时， （1分） 根据题意得，， （3分） 解得， （4分） 经检验，是原方程的解，且符合题意，（5分） ，（6分） 故甲型大巴车的平均行驶速度为千米/时，乙型大巴车的平均行驶速度为千米/时．（7分） 23．（6分）化学课上，小丽学到：将一根带火星的木条放在实验结果会产生氧气（）的出气口，会使木条复燃：将一根燃着的木条放在实验结果会产生氢气（）的出气口，会产生淡蓝色火焰．以下是小丽做的四个化学实验： a．锌粒和稀硫酸制取氢气： b．双氧水（过氧化氢）制取氧气： c．一氧化碳还原氧化铁： d．电解水： (1)若小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃的概率是 ； (2)若小丽从四个实验中随机选择1个实验，小丽的化学老师也从四个实验中随机选择1个实验，请通过画树状图法或列表法求两人选择的实验，其化学方程式中的气体生成物均能产生淡蓝色火焰的概率． 【详解】（1）解：（1）小丽从四个实验中随机选择一个实验，实验产生的气体能使带火星的木条复燃，即能产生氧气的实验有2个， 则概率为；（3分） （2）解：列表如下： a b c d a b c d 共有16种等可能的结果，其中两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的结果有4种，即、、、， 则两人选择的实验产生的气体均能产生淡蓝色火焰的概率为．（6分） 24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积． 【详解】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，（1分） 在△AEF和△DEB中， ∵， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝DB，（2分） ∵D是BC的中点， ∴AF＝DB＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形，（3分） ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∴四边形ADCF是菱形；（4分） （2）解：设AF到CD的距离为h， ∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°， ∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．（8分） 25．（8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 在科技日新月异的背景下，无人机正深度融入现代农业生产．某时令水果种植基地为提升物流效率、降低人力成本，计划引入甲、乙两种无人机，用于果园到集散点的水果运输作业． 素材一 租用2架甲型无人机和3架乙型无人机，一次可运输水果1300千克； 租用3架甲型无人机和1架乙型无人机，一次可运输水果900千克； 素材二 每架甲型无人机的租金为300元/次，每架乙型无人机的租金为400元/次； 素材三 该计划租用甲、乙两种无人机共9架，且总租金不超过3000元． 完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种无人机一次分别可运输水果多少千克； (2)任务二：选择哪种租用方案，能使一次运输水果的总重量最大？并求出此时的最大运输重量． 【详解】（1）解：设甲型无人机一次可运输水果x千克，乙型无人机一次可运输水果y千克， 由题意，得解得（3分） 答：甲型无人机一次可运输水果200千克，乙型无人机一次可运输水果300千克；（4分） （2）设租用甲型无人机m架，则租用乙型无人机架，一次运输水果的总重量为W千克，（5分） 由题意，得， ∵总租金不超过3000元， ∴， ∴， ∴，且m为整数，（6分） ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取最大值，最大值为（千克）， 此时，乙型无人机的数量为（架），（7分） 答：租用甲型无人机6架，乙型无人机3架，能使一次运输水果的总重量最大，此时的最大运输重量为2100千克．（8分） 26．（8分）已知抛物线的顶点在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)设t是直线与抛物线交点的横坐标，记，比较T与t的大小． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴只有一个交点，即判别式．（1分） ∴ （2分） 令，得， 即， ∵， ∴． 将代入原抛物线解析式得：．（3分） （2）解：联立直线与抛物线，得： 整理得． ∵是直线与抛物线交点的横坐标， ∴是方程的解，即，且． 由，两边同除以，得： ， ， 对两边平方： ， ， ， 再对两边平方： ， ， ， 对，分子分母同除以： 将、、代入上式： 解方程，由求根公式： （5分） ①当时： ∵，， ∴，即．（6分） ②时： 即．（7分） 答：当时，；当时，．（8分） 27．（12分）如图，内接于，的平分线交于点D，交于点F，延长至点E，使，连接．P是劣弧上异于A，B的任意一点，连接和． (1)求证：D是的中点； (2)求证：直线与相切； (3)探究，发现与证明： 过点D作于点H，是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴D是的中点；（3分） （2）证明：如图①，连接， 由（1）得，D是的中点，且是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切；（7分） （3）解：为定值． 解法一：如图②，在上截取，连接， 由（1）得，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．（12分） 解法二： 解：为定值． 如图③，连接，将沿翻折得到， 则， ∴， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，P，B三点共线， ∵， ∴， ∴．（12分） / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题2分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 6.[AIIBIICIIDI 11.JAJ[BIICIIDI 2.IAIIBIICIIDI 7AIIBIICIIDI 12.1AIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 8.IAlIBIICIIDI 13.[AIIBI[CIID] 4.1AIIBIICIIDI 9.AIIBIICIIDI 14.1AIIB]ICIID] 5.1AJIBIICIIDI 10.1AJIBIICIIDI 15.[AIIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共8分） 16. 17. 18. 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共62分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20.(7分) 2026°+万+-6-3am30 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) 23.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) A 25.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(12分) B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！