精品解析：广东广州市第八十九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 命题：黄娇 审核：欧阳圣 命题时间：2026.04.23 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 2. 复数 是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 或 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，不正确的有（ ） A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B. 若，，则 C. 若为非零向量，则与同向 D. 已知，为实数，若，则与共线 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若面积为，则，则 D. 若则 11. 已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（    ） A. 当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B. 当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 C. 当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 D. 当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为_____. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________ 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C． （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值． 16. 如图，在正方体中，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试 高一年级数学试卷 命题：黄娇 审核：欧阳圣 命题时间：2026.04.23 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 化简：等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】 . 2. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】考查复数的基本概念，对于复数，当时，该复数为实数. 【详解】已知 是实数，故虚部，解得，因此，=或. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】直观图中，直角中，，又，故 由勾股定理得， 画出原图形，则，，， 故，故原图形的面积为. 4. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由两边平方得， 解得. 6. 已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断. 【详解】由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证得，故A正确； 对于B，或，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确； 对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确. 故选：B. 7. 如图，在中，，点是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A 8. 如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，不正确的有（ ） A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B. 若，，则 C. 若为非零向量，则与同向 D. 已知，为实数，若，则与共线 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B：当时，和可以是任意向量，不一定平行，B错误； 选项C：是与同向的单位向量，C正确； 选项D：当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若面积为，则，则 D. 若则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理边角转化可判断A，D；根据数量积的定义确定角的大小即可判断B；根据三角形面积公式结合余弦定理化简已知等式即可得角的大小即可判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理得，所以，故A正确； 对于B，，则， 因为，所以，即角为锐角，但不一定为锐角三角形，故B不正确； 对于C，若面积为，因为，则， 所以，则，由于，则，故C正确； 对于D，若，由正弦定理得， 则，因为，则，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（    ） A. 当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B. 当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 C. 当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 D. 当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出点P到平面的距离d不变，得到为定值即可判断A；求证平面，取中点N，求出平面即平面即可求解点P轨迹长度判断B；求出与AD成角为且即可分析求解判断C；分析出球心为外心，球半径R为外接圆半径，再由正弦定理即可分析求解判断D. 【详解】对于A，，由于，且由正方体性质可知， 所以由平面、平面，所以平面， 所以点P到平面的距离d即直线到平面的距离，其距离值为定值， 所以，为定值，故A正确； 对于B，线段在平面的射影为，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 故平面，又平面，所以， 而在平面内的射影为， 取BC中点M，连AM，则由正方形性质易知， 而平面，平面，则， 又，平面，故平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 取中点N，连接，易得， 所以可唯一确定一个平面，则平面即平面， 所以点P轨迹为四边形， 其长度为，故B错误； 对于C，过P作于H，连接，易知且平面， 因为平面，所以， 则与AD成角为，且， 随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大， 因此当点P位于点A时，成角最小为，故C正确. 对于D，取AC中点O，过O作平面的垂线，则球心在该直线上， 又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S， 球的半径R为外接圆半径，由正弦定理， 因为且， 又， 所以，故，即，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，结合圆锥的侧面积公式运算求解即可. 【详解】设底面圆的半径为，可知母线长， 所以该圆锥的侧面积与底面积之比为. 故答案为：. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】若向量， 则在上的投影向量为. 14. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C． （1）求； （2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值． 【答案】（1） （2） 点坐标为， 【解析】 【分析】（1）先计算得到三个复数对应的复平面内点的坐标，得到坐标后计算模长即可； （2）根据平行四边形对边向量相等求出点坐标，再根据向量夹角公式计算. 【小问1详解】 由已知条件可得 ， ， ， 所以，则，故； 【小问2详解】 由平行四边形的性质可得，已知， 设，则，于是有， 解得，即，进而有， 所以. 16. 如图，在正方体中，是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【小问1详解】 连接交于，连接，如图， 因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点， 又是的中点，则是的中位线，故， 又面，面，所以平面． 【小问2详解】 因为正方体中，平面， 所以． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）过作平面，垂足为，连接得即为直线与平面所成的角，再结合等体积法求解即可. 【小问1详解】 证明：取中点，连接， 因为，是的中点，所以． 又，是的中点，所以． 又，平面， 所以平面，又平面，所以． 【小问2详解】 解：由（1）知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以 因为和都是边长为2的等边三角形， 所以， 过作平面，垂足为，连接， 则即为直线与平面所成的角， 因为， 取中点，连接，则， 因为， 所以，解得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）30（ii） 【解析】 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【小问1详解】 因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $