广东广州市第八十九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一年级数学期中卷聚焦复数、向量、立体几何及解三角形，通过正四棱锥最短路径、三棱锥线面角等问题，考查空间观念与推理能力，适配阶段性知识巩固与能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|复数化简、向量运算、直观图面积|基础概念辨析，如复数实部求解| |多选题|3题|向量命题判断、解三角形性质|多角度考查，如向量共线条件分析| |填空题|3题|圆锥侧面积比、投影向量、塔高测量|结合实际情境，如测量问题体现数学眼光| |解答题|5题|复数几何意义、立体几何证明与体积、解三角形综合|分层设计，如三棱锥线面角考查空间观念与推理能力|

2025学年第二学期期中考试高一年级数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A D B A C BD ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】. 2．D 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 3．C 【分析】利用斜二测画法的面积性质即可求解. 【详解】由斜二测画法可知，又因为， 所以直角的面积为， 根据面积关系，可知原图形的面积为， 故选：C. 4．A 【详解】由，则， 所以. 5．D 【分析】结合已知条件，求得，再对两边同时平方求出， 【详解】由得=，由，得 又所以 故选：D 6．B 【分析】根据面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直的性质即可判断. 【详解】由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证得，故A正确； 对于B，或，故B错误； 对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确； 对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确. 故选：B. 7．A 【分析】根据平面向量基本定理得到. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A 8．C 【分析】将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内，求解三角形，即可求解. 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. 9．CD 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项. 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 若，则不一定平行，B不正确； 因为，所以与同向，C正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：BD 10．ACD 【分析】由正弦定理边角转化可判断A，D；根据数量积的定义确定角的大小即可判断B；根据三角形面积公式结合余弦定理化简已知等式即可得角的大小即可判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理得，所以，故A正确； 对于B，，则， 因为，所以，即角为锐角，但不一定为锐角三角形，故B不正确； 对于C，若面积为，因为，则， 所以，则，由于，则，故C正确； 对于D，若，由正弦定理得， 则，因为，则，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【分析】求出点P到平面的距离d不变，得到为定值即可判断A；求出与AD成角为且即可分析求解判断B；求证平面，取中点N，求出平面即平面即可求解点P轨迹长度判断C；分析出球心为外心，球半径R为外接圆半径，再由正弦定理即可分析求解判断D. 【详解】对于A，，由于，且由正方体性质可知， 所以由平面、平面，所以平面， 所以点P到平面的距离d即直线到平面的距离，其距离值为定值， 所以，为定值，故A正确； 对于B，过P作于H，连接，易知且平面， 因为平面，所以， 则与AD成角为，且， 随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大， 因此当点P位于点A时，成角最小为，故B正确. 对于C，线段在平面的射影为，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，平面， 故平面，又平面，所以， 而在平面内的射影为， 取BC中点M，连AM，则由正方形性质易知， 而平面，平面，则， 又，平面，故平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 取中点N，连接，易得， 所以可唯一确定一个平面，则平面即平面， 所以点P轨迹为四边形， 其长度为，故C错误； 对于D，取AC中点O，过O作平面的垂线，则球心在该直线上， 又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S， 球的半径R为外接圆半径，由正弦定理， 因为且， 又， 所以，故，即，故D正确. 12． 【分析】根据题意可知，结合圆锥的侧面积公式运算求解即可. 【详解】设底面圆的半径为，可知母线长， 所以该圆锥的侧面积与底面积之比为. 故答案为：. 13． 【分析】由公式求出投影的数量，在乘与同方向的单位向量得到投影向量. 【详解】在方向上的投影的数量为， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为：. 14． 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 15．【详解】（1）易知，，， ，，， ， . （2）设，则，， 由平行四边形ABCD可得， 故，. 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）利用等体积法，结合锥体的体积公式即可求解. 【详解】（1）连接交于，连接，如图， 因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点， 又是的中点，则是的中位线，故， 又面，面，所以平面． （2）因为正方体中，平面， 所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【详解】（1），由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． （2）由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法求解即可. 【详解】（1）取中点， 因为，是的中点，所以． 又，是的中点，所以． 又，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）因为平面平面， 且平面平面，， 可得平面． 如图，以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，． 则，，． 设平面的法向量为， 由，得， 取，，得． 设PA与平面PBC所成角为，则． 因此直线PA与平面PBC所成角的正弦值是． 19．(1) (2)（i）30（ii） 【分析】（1）切化弦整理可得，结合分析判断可得，即可得结果； （2）（i）根据等面积法可得，即，再利用正、余弦定理可得，即可得周长；（ii）整理可得，利用正弦定理边角转化结合三角恒等变换可得，进而分析最值. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）（ⅰ）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长； （ⅱ）由（ⅰ）可知： ，即， 则， 可得 ， 且，则，可得， 则，所以的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试 高一年级 数学试卷 命题：黄娇 审核：欧阳圣 命题时间：2026.04.23 一、单选题 1．化简：等于（   ） A． B． C． D． 2．复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．或1 3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（   ）    A． B．1 C． D．2 4．已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 5．已知向量满足，则（    ） A．-2 B． C．1 D．2 6．已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点是的中点.设，则（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若面积为，则，则 D．若则 11．已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值 B．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为 C．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为 D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为 三、填空题 12．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为_____. 13．已知向量，则向量在方向上的投影向量的坐标为______． 14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四、解答题 15．已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C. (1)求； (2)已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值. 16．如图，在正方体中，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 17．在中，内角，，的对边分别为，，，且，． (1)求的值； (2)若时，求的面积． 18．在三棱锥中，平面平面，和都是边长为的正三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的值. (2)设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $