【轮轮清·齐鲁名校教育测评】2026年5月高三学业质量检测同类训练题 数学（一）

2026年5月高三年级号 米娄 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x1og1x>-2},则A∩B= A.{1,2,3} B.{2,3}》 C.{-1,0}》 D.{0,1,2,3} 2.设之=1十i2025,则x之十之= A.3+i B.3-i C.1+i D.1-i 的展开式中，x1的系数为 In A.-80 B.-10 C.10 D.80 4.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则AE·EF 5.已知表面积相同的圆锥与球的体积之比为1：2，则该圆锥侧面展开图圆心角的大小为 A号 经 C.π D晋 数 6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,且a2十4S=b2+c2,则A= A B背 n呀 7.已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,1)的直线1交C于A,B两点，弦AB被点P平分，则|AB|= 、厨 图 D.√35 8.1og35十e(e=2.72…是自然对数的底数)的值所在区间是 (2. (引 c 9.已知四棱柱ABCD-A1B,CD1的所有顶点均在球O的球面上，设OA=a,OB=b,OC=c, OD=d,则下列结论正确的是 A.四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱 B.若AB⊥CB1,则d=A1O+C1D C,若a·c=b·d,则点A,B,C1,D1共面 D.若a·b+c·d=a·d+b·c,则AC⊥BD 10.已知函数f(x)=(x2十ax)e,则下列说法正确的是 A.当a=一2时，f(x)在区间[-1,1]上单调递减 B.当a=一2时，f(x)没有最值 C.当a=一2时，过原点且与f(x)相切的直线有两条 D.对任意a∈R,f(x)恒有两个极值点 数学试题第1页（共4页）】 业质量检测同类训练题（一） 学 11.随着我国航天科技的快速发展，双曲面镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲 线的光学性质是从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长 线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点 线的夹角已知E,F2分别为双曲线C:一y1的左、右焦点，过C右支上二 A(2,)x。>2)作直线1交x轴于点M(0),交y轴于点V,则下列说法正确的是 1 A.C的渐近线方程为y=士 B过点F1作F1H⊥AM,垂足为H,则OH|=2 C点N的坐标为(o,) D.四边形AF1NF2面积的最小值为2√5 12.设样本数据x1,x2,…,x1o的平均数和方差分别为1和2，则数据2x1,2x2,…,2x1o,2,2, 2,2,2的方差为 C.4 .16 A.2 0.3 13.已知正项等差数列{a的前n项和为S,者)a:十1，S成等比数列，则的最小 1 值为 14.已知函数y=xe,过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，切点的横坐标分别为x1,x2, 则x1十x2= A.-3 B.3 C.-3 D.3 15.已知向量a=(4 sinr,-1),b=(co(ox+),-1)(o>0),f(x)=a·b,且f(x)图象 的对称中心到对称轴的距离的最小值为餐 (1)求f(x)的单调区间： (2)求f(x)在区间[0，]上的值域。 数学试题第2页（共4页） 16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=∠ACB=45°，PC=2, BC=1. (1)证明：PB⊥BC; (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. ------------ ------〉C x2 4y2 17.已知椭圆C:。+元=1a>b>0)的焦距为2，点(1,2)在C上. (1)求C的方程； (2)A,B分别为C的左、右顶点，P是C上位于第二象限内的点，点Q在直线x= 2k, 且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积. 数学试题第3页（共4页） 18.已知函数f(x)=asin x-ln(1+x). (1)若对任意的x∈（一1,0]，f(x)≥0，求正实数a的最大值； （2y证明之s如<h2: k=2 (3)若g(x)=f(x)十e+1一asin x的最小值为m,试判断方程el+x-"一ln(1十x)=0 实数根的个数，并说明理由. 19.课外活动时间，甲、乙两位同学进行投篮练习，均进行k(k∈N*)次投篮，用a:(i∈N*,且 1≤i≤k)表示甲第i次投篮的结果，若投中，则a;=1;若未投中，则a:=0.用b:(i∈N,且 1≤i≤k)表示乙第i次投篮的结果，若投中，则b:=1;若未投中，则b:=0.已知甲、乙每次投 篮投中的概率均为？，且甲、乙每次投篮是否投中互不影响。 1)i记2a,=S,2b:=T (ⅰ)求S3>T3的概率； (iⅱ)求在S4=2的情况下，a2=1的概率； (2)记X=2|a:一b,1,求随机变量X的分布列及数学期望. 数学试题第4页（共4页）2026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 参考答案及解析·数学 1.A【解析】由log号x>-2,得0<x<4,即B={x0< x<4},所以A∩B={1,2,3. 时+1e<所以号+1<e< 所 2.A【解析】由题意得之=1+i,则乏=1一i,所以之乏+ 之=(1+i)(1-i)+1+i=2+1+i=3+i. +号<log5+e<+即<b5t< 以6 5 3.A【解析】T,+1=C (-2)r=(-2)· 111 Cx号，令r=3,得x1的系数为-2C=-80. 9.ABD【解析】对于A,因为侧面ABB1A1是平行四边 4.一1【解析】连接BD,由题意得A它-AB+B正=AB+ 形，所以∠BAA1=∠BB1A1.又A,B,B1,A1四点共圆， 成-店+市应-2防=市-)所以 所以∠BAA十∠BB,A:=,所以∠BAM:=,即 AA1⊥AB.同理可得AA1⊥AD.所以AA1⊥平面ABCD, 应.萨-2（(+2ò)·动-A=2(2亦 所以四棱柱ABCD-A1B,C1D1是直四棱柱，故A正确； AB2）.因为正方形ABCD的边长为2，所以AD= 对于B,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 BB1⊥AB.若AB⊥CB1,则AB⊥平面BCC1B1,所以 A应=4，所以A范.亦=合×（号×1-）=-1. AB⊥BC.又四边形ABCD是底面圆O的内接四边形，所 以AC是圆O的直径，且由上可知O为矩形ACC1A,对 5.A【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为1，球的半 角线的中点，所以A10=OC,故d-Aò=d-O元 径为R.则4=r+m,经R-号。 CD=C,D,即d=AO+C1D,故B正确；对于C,因为 a=|b=c|=d,所以当a·c=b·d时，AC=BD, 整理得16R=号（十0=2r(1十r1-r).即(，十 AC AC BD 根据正弦定理得 l)2=8r(1一r),(l一3r)2=0,1=3r,所以圆锥侧面展开 sin∠ABC sin∠ADC sin∠BAD 图圆心角的大小为平-子 3 smBD所以ABC=∠BAD BD 或∠ABC=∠BCD. 1∠ADC=∠BCD,1∠ADC=∠BAD. 6.A【解析】因为a2十4S=b2十c2,所以a2十4× 当I∠ABC=∠BCD 时，BC∥AD,AB与CD不一定 2 bcsinAc sin A=itc-a2 ∠ADC=∠BAD 2bc =cosA,所 平行，所以AB与C1D1不一定平行，A,B,C1,D1不一 以tanA=1.又A∈(0，π)，则A=π 定共面，故C错误；对于D,若a·b十c·d=a·d十b· 41 c,则oA.Oi+O心.OD=OA·Oi+Oi·O元，所以 7.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2=4, OA.OB-OA,OD=OB.OC-O元.OD.所以OA· y1十y:=2.由y=4x1,y=4x2,得y1-业 DB=OC·DB,得DB·AC=0,所以BD⊥AC.又 X1一x2 4 BB1⊥AC,所以AC⊥平面BB1D1D,所以AC⊥BD1, y十y,2=2,所以直线1的方程为y-1=2(x一2》 故D正确. 即y=2x-3.联立=2x-3 10.ACD【解析】对于A,当a=-2时，f(x)=(x2-2x)e, 得4x2-16.x+9=0,△= y2=4x, 则f'(x)=(x2-2)e.当x∈[-1,1]时，恒有f'(x)< 162-4×4×9=112>0,故AB|=√1+4X√7=√35. 0,所以f(x)在区间[一1,1]上单调递减，故A正确；对 8C【解折】1og5=号1og25<21osr27=号，因为 于B,f'(x)=（x2-2)e,令f'(x)=0,得x=士2，所 以f(x)在区间（一∞，一√2）上单调递增，在区间（一2， 37=2187,5=3125,所以1og,5=写1og:173125> √2)上单调递减，在区间(W2,十∞)上单调递增.当x→ ew2187=号，故号<1og:5<又当o<<1 十o∞时，f(x)→十o,故f(x)无最大值.又当x→一∞ 时，f(x)→0，且当x<0时，f(x)>0,f(W2)=(2 。1 2W2)e<0,所以f(x)在x=√2处取得极小值，也是12.D【解析】由题意得x1十x2十…十x1o=l0,(x1 最小值，故B错误；对于C,设切点为(xo,y),则切线 1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2=20,记数据2x1, 方程为y一y。=f(xo)·(x一xa).因为该切线过原 2x2…,2x10,2,2,2,2,2的平均数为y,方差为s2,则 点，所以ya=xnf'(xn),即(x后十axo)eo=xo(x8十 axo+2x。+a)e6,即xo[x日+(a十1)xo]=0,当a= y=2x+2x:十…+2x+2X5_20+10 15 15 2,所以 一2时，方程有两解，故C正确；对于D,f'(x)= s2=[(2x1-2)2+(2x2-2)2十…十(2x10-2)2+ [x2+(a十2)x+a]e,令f'(x)=0,因为e'>0,所以 5×(2-2)2]÷15=4[(x1-1)2+(x2-1)2+·+ x2+(a十2)x十a=0,△=(a+2)2-4a=a2十4>0，即 f'(x)=0有两个不相等的实数根，所以f(x)恒有两 (x1o-1)2]÷15=4X20_16 153 个极值点，故D正确. 25 13.2 1 11.ABD【解析】对于A,由已知可得a=2,b=1,所以C 【解析】由题意得gS,=(a1十1)产，即 的渐近线方程为y=士号1，故A正确：对于B,如图， 9(a1十ag) =9(a1+1)2,则a6=a十2a1+1,而a1> =y=。,所以直线AM的方程为 x。-4号-44 0,因此S=2a:+a)X5 号(++3≥ a y= -x一 5 4yo yo y= 1联立 得x2-2x0x十 ×a·+3）-要当且仅当，=即 4 -y2=1, a=1时，等号成立，所以当a1=1时，S取得最小 x=0.因为△=4x一4x=0,所以AM为C的切线 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF:.设F1H 度5 21 与AF2的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即 H为FE的中点.又O是F1F2的中点，所以OH|= 14.B【解析】由y=xe,得y'=(x+1)e.设切点坐标 IF-(AEI-IAF,D-(IAF,I-IAF,D- 为(xo,xoe。),所以y',-。=(x。十1)e,所以切线方 程为y一xne”=(xg十1)e(x一x。),所以 “=2,故B正确：对于C,设N(0,yw),则n-0 -xoe=(xo+1)em(3-xo),即(-x8+3x。十3)· 4 e=0.因为过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，所 0八心，整理得-x十4w=4又-明=1.所 以关于x。的方程(-x?+3x。十3)em=0有两个不同 4一0 的解x1,x2,即关于x。的方程-x十3x。十3=0有两 个不同的解x1,x2,所以x1十x2=3. 以x=4十4y,所以-(4十4y)yN十4yN=4yo,解得 =一所以点V的坐标为(o一品)小放C错 15.解：因为a=(4 sin.-1D.b-(co(r+）-） 且f(x)=a·b 误；S四边形AF1NF,=S△A,F2十S△NF152=2XFF:X 所以fr)=4 sin(r+G）十1 (.+)≥2×26x2· -25, =4 sin(C0-sinin）+l 当且仅当y。=,即=士1时，等号成立，所以 =23 sin wx cos wx-2sin'wx+1 四边形AF1NF2面积的最小值为2V5,故D正确. =5sin2ar+cos2ar=2sin(2ar+6）片 又∫(x)图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为 8,且w>0, 所以- =π，即T=)=。,解得w=2, 所以f)=2simx+君）月 ·2· 令-2+2x≤4x十吾≤7+2kx:k∈Z.解得- (2)解：以O为坐标原点，OC,OP所在直线分别为 6 6 y轴、：轴，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为 π∠x≤品十分，ke乙 x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0), 12T2 √2√2 +经+] π C(0,√2,0)，B ,P(0,0√2)， 即f(x)的单调递增区间为 k∈Z: 所以O元=(02,0).BC= 令+21+<+2张∈解得+“≤ 62 -√2，N2) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 2 即f(x)的单调递减区间为 +经+ k1,k∈Z. 则·B元=0， 2 ,√ 2t 2y=0, n.CP=0. √2y十√2：=0. (②因为∈[】所以+后c[吾] 令x=1,得y=1,之=1，所以平面PBC的一个法向量 为n=(1,1,1). 测sin4虹+G)∈[-1,11， 由题意知OC为直线AC的一个方向向量， 设直线AC与平面PBC所成的角为0， 所以f)[-2,2].则f(x)在区同[o:]上的值 则sin0=-lcosm.0心1=n,0交-v2 √3 域为[-2,2] n1od3×23' 16.(1)证明：如图，过点P作P0⊥AC,垂足为点O,连 接OB 故直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 3 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC= 17.解：(1)由C的焦距为2，得c=1,则b2=a3-1. AC,POC平面PAC, 3 因为点(1,2)在C上 所以PO⊥平面ABC. 又BCC平面ABC,所以PO⊥BC. 所以1 9 a246 =1,解得a2=4,b2=3, 在Rt△POC中，由∠PCA=45°，PC=2,得OC= 所以C的方程为+ PCcos,∠PCA=2cos45°=√2. 1 在△OBC中，由余弦定理，得OB2=OC2+BC2 (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P(xy)(-2<x< 2OC·BCcos.∠ACB=2+1-2×√2cos45°=1， 0.0<5).(小≠0 即OB=1. 因为BP⊥BQ,所以BP·BQ=0, 因为OC2=OB2+BC2, 所以y= 3 (x-2)①. 所以OB⊥BC. 又PO∩OB=O,PO,OBC平面POB, +② 又BP=BQ1,所以(x-2)2+y2=9 所以BC⊥平面POB, 又PBC平面POB,所以PB⊥BC. 联立©得（售+1少=号+解得y= 又点P在第二象限，且清足+-1。 3 所以y= =-1.所以P(-1,2)） C 将x=-1,y= 三代入①，得1=3，所以Q(子3) 义A(-2.0),所以1AP1= 2,直线AP的方程为 2 B 3x-2y+6=0, ·3· 3x号-6+6 所以点Q到直线AP的距离d= W32+（-2) 3×3 n。n In 2×4 21v13 +…+ln(m-1)(n+)' 26· 即m是<[(×号）×(2x)×…X 所以S△APQ= 2 26 8 (×)门=0=2+<2+ 1 18.(1)解：由题意知∫'(x)=acosx一1十x' In 1=In 2, 1 所以2sim京<n2. 令h(x)=acos x一 1+x (3)解：方程e+"一ln(1十x)=0实数根的个数为1， 则h'(x)=-asin+a+x) 1 理由如下： 因为g(x)=e+1-ln(x+l), 因为当x∈(-1,0]时，sinx<0,a为正实数， 所以h'(x)>0在区间(-1,0]上恒成立， 所以g'(x)=e+1-1 x+1 所以f'(x)在区间（一1,0]上单调递增，且f'(0)= 1 1 令G(x)=e+1- +则G'(x)=e1+x+1)>0 a-1. 在区间（一1，十o∞）上恒成立， ①当0<a≤1时，f'(x)≤f'(0)≤0在区间(-1,0]上 所以g'(x)在区间（一1，十o○）上单调递增. 恒成立， 又go)=e-1>0g(- =√-2<0， 所以f(x)在区间(-1,0]上单调递减， 此时f(x)≥f(0)=0,符合题意 1 所以由零点存在定理，得3∈（一20）使得 @当a>1时，f(0)=a-1>0,f(日-1) 1 g'(x1)=0,即e+1= x1十1 aor(日一a<a-a= 所以x十1=1n十1 1 -ln(x1+1), 由零点存在定理，得3，（日一-1.0），使得f)=0 所以g(x)在区间（一1，x)上单调递减，在区间(x1,十∞） 上单调递增， 则∫(x)在区间（一1，x)上单调递减，在区间(x0,0]上 所以m=g（x)mm=g(x1)=e1+1-ln(x1十1)= 单调递增， 所以当x∈(x,0)时，f(x)<f(0)=0,此时不符合 x1+1+x1+1. 题意 又x+1(分令+1=1，(2小则m 综上，正实数a的最大值为1. (2)证明：由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx> t In(1+2). 所以m'=1-吉==《-1少+D<0在区间 /2 12 12 令=是>1k∈N)则m()>n1 (合)上恒成立， 是)= 即m=1+}在区同（分，小上单调造诚。 1 k·k 即sin京<n-=nk-1)k+D 所以2m<+2m∈（）月 所以s<n 2×2 3×3 1 15,sin5ln2,…,81nn2 令H(x)=e-eln(1+x),2<m<2,则H'(x)= n·1 1nm-1)(n+D' 1+x ·4· 令)=e-则)=e*+ 1+r)>0 所以P(S3>T:)=P(S3=1,T3=0)+P(S3=2, T8=0)十P(S3=2,T3=1)十P(S3=3,T3=0)+ 在区间（一1，十∞）上恒成立， 所以H'(x)在区间（一1，+∞）上单调递增， PS,=3,T:=1+p(S,=3,1,=2)=号Xg十 又H'(0)=e-e<0.H'(m-1D=em-1D>0. 3、13、31、1131311 8X8+8X8+8X8+8×8+8x8=32 所以由零点存在定理，得x2∈(0，m一1)，使得 所以S>T的概率为32 1 H'(x)=0,即e+=1十x -3 ()因为P(S=2)=2=8,P(S,=2,a:=1)= 所以m=1+x2+ln(1十x2). C3 m(x)=x+1nx,则m'(x)=1十>0在区 2-161 (0,十∞)上恒成立， 所以P(a2=1S4=2)= P(S4=2,a2=1)16 1 所以m(x)在区间(0，十∞)上单调递增. P(S4=2) 2 所以1十4=十方则1+)=0 故在S,=2的情况下a:=1的概率为号 -=1十x1 (2)X的所有可能取值为0,1,2，…，k, 又H(x)在区间（一1，x2)上单调递减，在区间(x2,十∞） CX2×24-iC P(X=i)= 上单调递增， 2×2 ,i=01,2,…,k, 所以H(x)m=H(x2)=e+?-e"ln(1十x2)= 故随机变量X的分布列为 e[,h1+小-e1+-1+小=0 0 1 2 3 C C C C 即H(x)有唯一零点x2, P 2k 2 2 2* 2 故方程e+-m-ln(1十x)=0实数根的个数为1. 19.解：(1)(i)当k=3时，{a1,a2,a3},{b1,b2,b3)均有8种 i·k! (k-1)！ 情况，分别为{0,0,0}，{0,0,1}，{0,1,0}，{0,1,1}，{1， 因为C=1h-1=k‘a-1D1[-1)-后-1j 0,0},{1,0,1},1,1,0},{1,1,1}, kC(i∈N,1≤i≤k), 则P(S,=0=P(T,=0)=gP(S,=1)=P(T, 所以E(x)=0x号+1x9+2x +…十6x 20 D=,P(S=2)=P(T,=2)=,PS,=》 2C+2c+3c+…+AG)=是(C-+c+ PT=》-日， C-1十…+C=)=·2=k 2=2 ·5·2026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 参考答案及解析·数学 1.A【解析】由log号x>-2,得0<x<4,即B={x0< x<4},所以A∩B={1,2,3. 时+1e<所以号+1<e< 所 2.A【解析】由题意得之=1+i,则乏=1一i,所以之乏+ 之=(1+i)(1-i)+1+i=2+1+i=3+i. +号<log5+e<+即<b5t< 以6 5 3.A【解析】T,+1=C (-2)r=(-2)· 111 Cx号，令r=3,得x1的系数为-2C=-80. 9.ABD【解析】对于A,因为侧面ABB1A1是平行四边 4.一1【解析】连接BD,由题意得A它-AB+B正=AB+ 形，所以∠BAA1=∠BB1A1.又A,B,B1,A1四点共圆， 成-店+市应-2防=市-)所以 所以∠BAA十∠BB,A:=,所以∠BAM:=,即 AA1⊥AB.同理可得AA1⊥AD.所以AA1⊥平面ABCD, 应.萨-2（(+2ò)·动-A=2(2亦 所以四棱柱ABCD-A1B,C1D1是直四棱柱，故A正确； AB2）.因为正方形ABCD的边长为2，所以AD= 对于B,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 BB1⊥AB.若AB⊥CB1,则AB⊥平面BCC1B1,所以 A应=4，所以A范.亦=合×（号×1-）=-1. AB⊥BC.又四边形ABCD是底面圆O的内接四边形，所 以AC是圆O的直径，且由上可知O为矩形ACC1A,对 5.A【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为1，球的半 角线的中点，所以A10=OC,故d-Aò=d-O元 径为R.则4=r+m,经R-号。 CD=C,D,即d=AO+C1D,故B正确；对于C,因为 a=|b=c|=d,所以当a·c=b·d时，AC=BD, 整理得16R=号（十0=2r(1十r1-r).即(，十 AC AC BD 根据正弦定理得 l)2=8r(1一r),(l一3r)2=0,1=3r,所以圆锥侧面展开 sin∠ABC sin∠ADC sin∠BAD 图圆心角的大小为平-子 3 smBD所以ABC=∠BAD BD 或∠ABC=∠BCD. 1∠ADC=∠BCD,1∠ADC=∠BAD. 6.A【解析】因为a2十4S=b2十c2,所以a2十4× 当I∠ABC=∠BCD 时，BC∥AD,AB与CD不一定 2 bcsinAc sin A=itc-a2 ∠ADC=∠BAD 2bc =cosA,所 平行，所以AB与C1D1不一定平行，A,B,C1,D1不一 以tanA=1.又A∈(0，π)，则A=π 定共面，故C错误；对于D,若a·b十c·d=a·d十b· 41 c,则oA.Oi+O心.OD=OA·Oi+Oi·O元，所以 7.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2=4, OA.OB-OA,OD=OB.OC-O元.OD.所以OA· y1十y:=2.由y=4x1,y=4x2,得y1-业 DB=OC·DB,得DB·AC=0,所以BD⊥AC.又 X1一x2 4 BB1⊥AC,所以AC⊥平面BB1D1D,所以AC⊥BD1, y十y,2=2,所以直线1的方程为y-1=2(x一2》 故D正确. 即y=2x-3.联立=2x-3 10.ACD【解析】对于A,当a=-2时，f(x)=(x2-2x)e, 得4x2-16.x+9=0,△= y2=4x, 则f'(x)=(x2-2)e.当x∈[-1,1]时，恒有f'(x)< 162-4×4×9=112>0,故AB|=√1+4X√7=√35. 0,所以f(x)在区间[一1,1]上单调递减，故A正确；对 8C【解折】1og5=号1og25<21osr27=号，因为 于B,f'(x)=（x2-2)e,令f'(x)=0,得x=士2，所 以f(x)在区间（一∞，一√2）上单调递增，在区间（一2， 37=2187,5=3125,所以1og,5=写1og:173125> √2)上单调递减，在区间(W2,十∞)上单调递增.当x→ ew2187=号，故号<1og:5<又当o<<1 十o∞时，f(x)→十o,故f(x)无最大值.又当x→一∞ 时，f(x)→0，且当x<0时，f(x)>0,f(W2)=(2 。1 2W2)e<0,所以f(x)在x=√2处取得极小值，也是12.D【解析】由题意得x1十x2十…十x1o=l0,(x1 最小值，故B错误；对于C,设切点为(xo,y),则切线 1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2=20,记数据2x1, 方程为y一y。=f(xo)·(x一xa).因为该切线过原 2x2…,2x10,2,2,2,2,2的平均数为y,方差为s2,则 点，所以ya=xnf'(xn),即(x后十axo)eo=xo(x8十 axo+2x。+a)e6,即xo[x日+(a十1)xo]=0,当a= y=2x+2x:十…+2x+2X5_20+10 15 15 2,所以 一2时，方程有两解，故C正确；对于D,f'(x)= s2=[(2x1-2)2+(2x2-2)2十…十(2x10-2)2+ [x2+(a十2)x+a]e,令f'(x)=0,因为e'>0,所以 5×(2-2)2]÷15=4[(x1-1)2+(x2-1)2+·+ x2+(a十2)x十a=0,△=(a+2)2-4a=a2十4>0，即 f'(x)=0有两个不相等的实数根，所以f(x)恒有两 (x1o-1)2]÷15=4X20_16 153 个极值点，故D正确. 25 13.2 1 11.ABD【解析】对于A,由已知可得a=2,b=1,所以C 【解析】由题意得gS,=(a1十1)产，即 的渐近线方程为y=士号1，故A正确：对于B,如图， 9(a1十ag) =9(a1+1)2,则a6=a十2a1+1,而a1> =y=。,所以直线AM的方程为 x。-4号-44 0,因此S=2a:+a)X5 号(++3≥ a y= -x一 5 4yo yo y= 1联立 得x2-2x0x十 ×a·+3）-要当且仅当，=即 4 -y2=1, a=1时，等号成立，所以当a1=1时，S取得最小 x=0.因为△=4x一4x=0,所以AM为C的切线 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF:.设F1H 度5 21 与AF2的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即 H为FE的中点.又O是F1F2的中点，所以OH|= 14.B【解析】由y=xe,得y'=(x+1)e.设切点坐标 IF-(AEI-IAF,D-(IAF,I-IAF,D- 为(xo,xoe。),所以y',-。=(x。十1)e,所以切线方 程为y一xne”=(xg十1)e(x一x。),所以 “=2,故B正确：对于C,设N(0,yw),则n-0 -xoe=(xo+1)em(3-xo),即(-x8+3x。十3)· 4 e=0.因为过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，所 0八心，整理得-x十4w=4又-明=1.所 以关于x。的方程(-x?+3x。十3)em=0有两个不同 4一0 的解x1,x2,即关于x。的方程-x十3x。十3=0有两 个不同的解x1,x2,所以x1十x2=3. 以x=4十4y,所以-(4十4y)yN十4yN=4yo,解得 =一所以点V的坐标为(o一品)小放C错 15.解：因为a=(4 sin.-1D.b-(co(r+）-） 且f(x)=a·b 误；S四边形AF1NF,=S△A,F2十S△NF152=2XFF:X 所以fr)=4 sin(r+G）十1 (.+)≥2×26x2· -25, =4 sin(C0-sinin）+l 当且仅当y。=,即=士1时，等号成立，所以 =23 sin wx cos wx-2sin'wx+1 四边形AF1NF2面积的最小值为2V5,故D正确. =5sin2ar+cos2ar=2sin(2ar+6）片 又∫(x)图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为 8,且w>0, 所以- =π，即T=)=。,解得w=2, 所以f)=2simx+君）月 ·2· 令-2+2x≤4x十吾≤7+2kx:k∈Z.解得- (2)解：以O为坐标原点，OC,OP所在直线分别为 6 6 y轴、：轴，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为 π∠x≤品十分，ke乙 x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0), 12T2 √2√2 +经+] π C(0,√2,0)，B ,P(0,0√2)， 即f(x)的单调递增区间为 k∈Z: 所以O元=(02,0).BC= 令+21+<+2张∈解得+“≤ 62 -√2，N2) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 2 即f(x)的单调递减区间为 +经+ k1,k∈Z. 则·B元=0， 2 ,√ 2t 2y=0, n.CP=0. √2y十√2：=0. (②因为∈[】所以+后c[吾] 令x=1,得y=1,之=1，所以平面PBC的一个法向量 为n=(1,1,1). 测sin4虹+G)∈[-1,11， 由题意知OC为直线AC的一个方向向量， 设直线AC与平面PBC所成的角为0， 所以f)[-2,2].则f(x)在区同[o:]上的值 则sin0=-lcosm.0心1=n,0交-v2 √3 域为[-2,2] n1od3×23' 16.(1)证明：如图，过点P作P0⊥AC,垂足为点O,连 接OB 故直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 3 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC= 17.解：(1)由C的焦距为2，得c=1,则b2=a3-1. AC,POC平面PAC, 3 因为点(1,2)在C上 所以PO⊥平面ABC. 又BCC平面ABC,所以PO⊥BC. 所以1 9 a246 =1,解得a2=4,b2=3, 在Rt△POC中，由∠PCA=45°，PC=2,得OC= 所以C的方程为+ PCcos,∠PCA=2cos45°=√2. 1 在△OBC中，由余弦定理，得OB2=OC2+BC2 (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P(xy)(-2<x< 2OC·BCcos.∠ACB=2+1-2×√2cos45°=1， 0.0<5).(小≠0 即OB=1. 因为BP⊥BQ,所以BP·BQ=0, 因为OC2=OB2+BC2, 所以y= 3 (x-2)①. 所以OB⊥BC. 又PO∩OB=O,PO,OBC平面POB, +② 又BP=BQ1,所以(x-2)2+y2=9 所以BC⊥平面POB, 又PBC平面POB,所以PB⊥BC. 联立©得（售+1少=号+解得y= 又点P在第二象限，且清足+-1。 3 所以y= =-1.所以P(-1,2)） C 将x=-1,y= 三代入①，得1=3，所以Q(子3) 义A(-2.0),所以1AP1= 2,直线AP的方程为 2 B 3x-2y+6=0, ·3· 3x号-6+6 所以点Q到直线AP的距离d= W32+（-2) 3×3 n。n In 2×4 21v13 +…+ln(m-1)(n+)' 26· 即m是<[(×号）×(2x)×…X 所以S△APQ= 2 26 8 (×)门=0=2+<2+ 1 18.(1)解：由题意知∫'(x)=acosx一1十x' In 1=In 2, 1 所以2sim京<n2. 令h(x)=acos x一 1+x (3)解：方程e+"一ln(1十x)=0实数根的个数为1， 则h'(x)=-asin+a+x) 1 理由如下： 因为g(x)=e+1-ln(x+l), 因为当x∈(-1,0]时，sinx<0,a为正实数， 所以h'(x)>0在区间(-1,0]上恒成立， 所以g'(x)=e+1-1 x+1 所以f'(x)在区间（一1,0]上单调递增，且f'(0)= 1 1 令G(x)=e+1- +则G'(x)=e1+x+1)>0 a-1. 在区间（一1，十o∞）上恒成立， ①当0<a≤1时，f'(x)≤f'(0)≤0在区间(-1,0]上 所以g'(x)在区间（一1，十o○）上单调递增. 恒成立， 又go)=e-1>0g(- =√-2<0， 所以f(x)在区间(-1,0]上单调递减， 此时f(x)≥f(0)=0,符合题意 1 所以由零点存在定理，得3∈（一20）使得 @当a>1时，f(0)=a-1>0,f(日-1) 1 g'(x1)=0,即e+1= x1十1 aor(日一a<a-a= 所以x十1=1n十1 1 -ln(x1+1), 由零点存在定理，得3，（日一-1.0），使得f)=0 所以g(x)在区间（一1，x)上单调递减，在区间(x1,十∞） 上单调递增， 则∫(x)在区间（一1，x)上单调递减，在区间(x0,0]上 所以m=g（x)mm=g(x1)=e1+1-ln(x1十1)= 单调递增， 所以当x∈(x,0)时，f(x)<f(0)=0,此时不符合 x1+1+x1+1. 题意 又x+1(分令+1=1，(2小则m 综上，正实数a的最大值为1. (2)证明：由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx> t In(1+2). 所以m'=1-吉==《-1少+D<0在区间 /2 12 12 令=是>1k∈N)则m()>n1 (合)上恒成立， 是)= 即m=1+}在区同（分，小上单调造诚。 1 k·k 即sin京<n-=nk-1)k+D 所以2m<+2m∈（）月 所以s<n 2×2 3×3 1 15,sin5ln2,…,81nn2 令H(x)=e-eln(1+x),2<m<2,则H'(x)= n·1 1nm-1)(n+D' 1+x ·4· 令)=e-则)=e*+ 1+r)>0 所以P(S3>T:)=P(S3=1,T3=0)+P(S3=2, T8=0)十P(S3=2,T3=1)十P(S3=3,T3=0)+ 在区间（一1，十∞）上恒成立， 所以H'(x)在区间（一1，+∞）上单调递增， PS,=3,T:=1+p(S,=3,1,=2)=号Xg十 又H'(0)=e-e<0.H'(m-1D=em-1D>0. 3、13、31、1131311 8X8+8X8+8X8+8×8+8x8=32 所以由零点存在定理，得x2∈(0，m一1)，使得 所以S>T的概率为32 1 H'(x)=0,即e+=1十x -3 ()因为P(S=2)=2=8,P(S,=2,a:=1)= 所以m=1+x2+ln(1十x2). C3 m(x)=x+1nx,则m'(x)=1十>0在区 2-161 (0,十∞)上恒成立， 所以P(a2=1S4=2)= P(S4=2,a2=1)16 1 所以m(x)在区间(0，十∞)上单调递增. P(S4=2) 2 所以1十4=十方则1+)=0 故在S,=2的情况下a:=1的概率为号 -=1十x1 (2)X的所有可能取值为0,1,2，…，k, 又H(x)在区间（一1，x2)上单调递减，在区间(x2,十∞） CX2×24-iC P(X=i)= 上单调递增， 2×2 ,i=01,2,…,k, 所以H(x)m=H(x2)=e+?-e"ln(1十x2)= 故随机变量X的分布列为 e[,h1+小-e1+-1+小=0 0 1 2 3 C C C C 即H(x)有唯一零点x2, P 2k 2 2 2* 2 故方程e+-m-ln(1十x)=0实数根的个数为1. 19.解：(1)(i)当k=3时，{a1,a2,a3},{b1,b2,b3)均有8种 i·k! (k-1)！ 情况，分别为{0,0,0}，{0,0,1}，{0,1,0}，{0,1,1}，{1， 因为C=1h-1=k‘a-1D1[-1)-后-1j 0,0},{1,0,1},1,1,0},{1,1,1}, kC(i∈N,1≤i≤k), 则P(S,=0=P(T,=0)=gP(S,=1)=P(T, 所以E(x)=0x号+1x9+2x +…十6x 20 D=,P(S=2)=P(T,=2)=,PS,=》 2C+2c+3c+…+AG)=是(C-+c+ PT=》-日， C-1十…+C=)=·2=k 2=2 ·5·2026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 数 学 1.已知集合A=(-1.0,1,2,3},B=(x1ogx>-2),则A∩B= 11.随着我国航天科技的快速发展，双曲面镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲 A.{1,2.3 B.{2,3 C.(-1.0】 D.{0,1,2,3 线的光学性质是从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长 2.设x=1十平5，则xx+x= 线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点 A.3+i B.3-i C.1+i D.1-i 连线的夹角.已知F,F,分别为双曲线C:一y=1的左，右焦点，过C右支上一点 3(信习)的展开式中：的系数为 A(xy,)x>2)作直线1交r轴于点M,0),交y轴于点N,则下列说法正确的是 A.-80 B.-10 C.10 D.80 A.C的渐近线方程为y=±2 4.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则A正.EF= B.过点F,作F:H⊥AM,垂足为H,则IOH=2 5.已知表面积相同的圆锥与球的体积之比为1：√2，则该圆锥侧面展开图圆心角的大小为 等 C点N的坐标为(0，动) C.π D.四边形AF,NF:面积的最小值为2,5 6.已知△ABC的内角A.B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,且a+4S=b十c,则A= 12.设样本数据x11…,x的平均数和方差分别为1和2，则数据2x1,2x…,2x1,2,2, A B写 c 2,2.2的方差为 A.2 C.4 7.已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,1)的直线1交C于A,B两点，弦AB被点P平分，则AB= 3 A图 B图 C265 D.35 18已正项等差数列a.)的前n项和为5，若)a1十1，S,成等比数列，则的最小 3 值为 8.1og15十c(e=2.72…是自然对数的底数)的值所在区间是 14.已知函数y=x,过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，切点的横坐标分别为x12, ( 引 c() D.(3) 则x1十x: A.-3 B.3 C.-3 D.3 9.已知四棱柱ABCD-AB,C,D1的所有顶点均在球O的球面上，设OA=a,OB=b.C=c, 15.已知向量a=(4sino,-1),b=(cos(r+g)-1)(w>0,fx)=a·b,且f(x)图象 OD=d,则下列结论正确的是 A.四棱柱ABCD-AB,C,D:是直四棱柱 的对称中心到对称轴的距离的最小值为8 B若AB⊥CB1,则d=A,O+CD (1)求f(x)的单调区间： C.若a·c=b·d,则点A,B,C1,D共面 (2)求f(x)在区间0，】]上的值城。 D.若a·b+c·d=a·d+b·c,则AC⊥BD 10.已知函数f(x)=(x'十a.x)e,则下列说法正确的是 A.当a=一2时，f(x)在区间[一1,1门上单调递减 B.当a=一2时，f(x)没有最值 C.当a=一2时，过原点且与f(x)相切的直线有两条 D.对任意a∈R,f(x)恒有两个极值点 数学试题第1页（共4页） 数学试题第2页（共4页】 16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=∠ACB=45°，PC=2, 18.已知函数f(x)=a sin r一ln(1+x). BC=1, (1)若对任意的x∈（一1,0们，f(x)≥0，求正实数a的最大值： (1)证明：PB⊥BC; (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. (2)证明：之sin<1n2: (3)若g(x)=∫(x)十e+1一usin r的最小值为m,试判断方程e+-"-ln(1十x)=0 实数根的个数，并说明理由. 17.已知椭圆C后+若-1a>6>0)的焦距为2，点，号)在C上 y3 19.课外活动时间，甲，乙两位同学进行投篮练习，均进行k(k∈N·)次投篮，用a,(:∈N”,且 1≤i≤k)表示甲第i次投篮的结果，若投中，则a,=1:若未投中，则a,=0.用b,(i∈N”,且 (1)求C的方程： 1≤ik)表示乙第1次投篮的结果，若投中，则b,=1:若未投中，则b,=0.已知甲、乙每次投 (②)A,B分别为C的左，右顶点，P是C上位于第二象限内的点，点Q在直线x-乙上， 篮投中的概率均为。，且甲，乙每次投篮是否投中互不影响。 且|BP|=BQ1.BP⊥BQ.求△APQ的面积. (1)记2a,=S,2b=T (1)求S>T1的概率： (1)求在S,=2的情况下，a2=1的概率： (2)记X=21a,一b,I,求随机变量X的分布列及数学期望. 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4页（共4页》 2026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 22)5<0,所以f(x)在x-2处取得极小值，也是12D【解析】由题意得1十1g十…十xm=10,(x1 最小值.故B错误：对于C,设切点为(x。y。),则切线 1》+(x:一1)十…+(x0一1)=20，记数据2r1 参考答案及解析·数学 方程为y一y=f(x)·(x一xm),因为该切线过原 2x:,…,2rm,2,2.2,2,2的平均数为y,方差为3，则 点，所以yn-xw(x),即(xi十axn)e-x,(x十 4x,+2x:+a)c.px[x+(a+1)r,]-0,当a- )=2+2十+2x+2X5_20+10=2,所以 15 15 1.A【解析】由logr>一2，得0<x<4.即B={x|0< 时+1长e<己所以号+长e< 一2时，方程有两解，故C正确：对于D,'(x)= x2=[(2x1-2)2+(2x:-2)2+…+(2xm-2)2+ x<41,所以A∩B=(1,2,3. [x2+(a+2)x十a]e.令f(x)=0.因为c>0.所以 5×(2-2)]÷15=4[(x1-1)+(x1-1)+…+ 2,A【解析折】由题意得之一1+i.则三=1一1.所以之+ x2+(a+2)x十a=0.d=(a+2)1-4a=a1十4>0.即 x=(1+i0(1-iD+1+i-=2+1+i=3+i 以g+号<lbg5+e<+,即<log5+e< 了'(x)=0有两个不相等的实数根，所以∫(x)恒有两 -灯*15=- 3A【期桥】T=C(左）"（-2=(-2》· 雨所以<5+e< 个极值点，故D正确。 11.ABD【解析】对于A,由已知可得4=2，b=1,所以C 空【解析】由题意得号s,-(a:十1以.即 Cr子，令，=3，得x1的系数为-2C=-80, 9.ABD【解析】对于A.因为侧面ABB:A1是平行四边 的新近线方程为y一士了，故A正确：对于B,如图， 96a十a=9a十1)，则a=ai+2a:+1.而a> 1,一1【解析】连按BD.由题意得AE-AB+B正=A店+ 形，所以∠BA=∠BB:A又A,B,BA四点共圆 成=店+市，成=面=号心-.所以 所以∠BAA,十∠B班，A:=,所以∠BAA,=受，即 二，所以直线AM的方程为 AA,⊥AB.问理可得AA1⊥AD,所以AA1⊥平面ABCD. 。-++产 花·成-号（店+号动）市--(2迹 、1 所以肉棱柱ABCD-A,B,C:D,是直四棱柱.故A正确 花）因为正方形ABCD的边长为2，所以A市= 对于B.因为四棱柱ABCD-A,B,C,D是直四棱柱，所以 联立 BB,⊥AB.若AB⊥CB,则AB⊥平面C,B,,所以 4-y=1 :=1时，等号成立，所以当a,=1时.S取得最小 4 a恋-，所以正，成-号×（侵×--1 AB⊥BC,又四边形ABCD是底面圆O的内接四边形，所 r=0,因为4=1r一4x=0,所以AM为C的切线 以AC是圆)的直径，且由上可知O为矩形AC1A:对 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F:AF:.设F:H 值 5.A【解析】设圆能的底面半径为r,母线长为1，球的半 与AF:的延长线交于点E,则AH垂直平分F,E,即 角线的中点，所以A0=元，故d-A,0=d-O元= H为F,E的中点，又O是F,F,的中点，所以1OH=B【解析】由y=re,得y=(r十1)e,设切点坐标 C市=C,D.即d=AO+C,D,故B正确：对于C,因为 为(xxe),所以y',-=(x十1)e,所以切线方 整理得16R=+=2r1+r1-小.即(+ a=lb=c=d,所以当a·c=b·d时，AC-BD, IF:E(AE]-IAF,I)(AF I-IAF,1)- 程为y一e=(xn十1)e(一)，所以 AC AC BD 根据正弦定理得m∠ABC“乙ADC“n∠BAD 4=2.放B正确：对于C,设N(0y),则一0 -rae=(r。十1)e(3-x。),即(-x+3r。+3)· 1)2=8r(1一r),(1一3r)=0.1=3r,所以圆锥侧而展开 4 e=0,因为过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，所 指调心角的大水为平-受 2RD所以/AC-∠BiD BD 或∠AC-∠cD, 以关于x。的方程（一x+3x。+3)e一0有两个不同 ∠AIDC-∠BCD, I∠AIC-∠BAD 理得-+y一又号-疗-1所 6.A【解析】因为a+4S=b+2,所以a2+4× 当AC-∠BCD时，BC∥AD.AB与CD不-定 0 的解x:江：，即关于x。的方程一x+3x。+3=0有两 A-6+,则A-6十-sA,所 ∠ADC=∠BAD 个不同的解x1·x:,所以r1十：=3. 以r-4十4y,所以一(4十4y)yN十4yx-4y。,解得 平行，所以AB与CD1不一定平行，A,B.C,D,不一 15,解：D图为a-(4mr.-D.b-气o(r+6)-） 以mA-1又A∈(0：，则A-子 定共面，故C错设：对于D,若a·b十c·d=a·d十b: =一，所以点N的坐标为(0，一)放C错 e.则0A·O成+O心·O币=O.Oi+O丽，O元.所以 且f(x)=a·b 7.D【解析】设A《,y1),B(x,y),则x十1=4， 误Sw,-S4十Sa4-×E,R:1X 0i.0i-0i·O币-0i,元-0元，0Oi.所以Oi, 所以fu)=4 sino(a+名)+与 十=2.由行=…好=r·得y Di=OC,Di,得DB,AC=0.所以BD⊥AC.又 (.+）户号×25x2·=26. 1 BB⊥AC,所以AC⊥平面BB,D,D,所以AC⊥BD,, =4inur(君-sinin看）十l y1+y:2 =2，所以直线1的方程为y一1=2(x一2)， 故D正确. 当组仅当一可即一士1时.等号成立.所以 -23 sin wrcos our-2sin'aur +I 即y-2-联立=2-3 10.ACD【解析】对于A.当4=一2时.f)=(2-2x)e. 四边形AF,NF:面积的最小值为2后，故D正确. 得4x1-16r+9-0,4 y=4x, 则f'(x)=(x2一2)e.当x∈[-1.1]时，恒有(x)< -5sn2mr+cos2ar-2sin(2aur+G）月 162-4×4×9=112>0,放AB=1+4×W7=√35. 0,所以(x)在区间[一1,1]上单测递减，故A正确，对 义(x)图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为 于B.f'(x)=(x1一2)e.令f(r)=0.得x=士Z,所 8.C【解析】1oR5-之1og25<之1ogn27-号，因为 8,且w>0. 以f(x)在区间（一©，一2）上单词递增，在区间（一√2. 3=2187.5=3125,所以1oga5=写10g:1m3125> √2)上单测递减，在区间(2，十)上单调适增，当x 所以-T--二解得一2 十时，f(:)·+,故fx)无最大值.又当x·-@ 号1oe2187=，放号<o5<又当0<< 时.f(x)0,且当x<0时，f(x)>0,f(2)=(2 所以fu)=2sim(+若） 1 2· 令-受+2+≤号+2k∈解得-吾+ (2)解：以O为坐标原点，OC,OP所在直线分别为 6 y轴，：轴.平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为 3×号-6+6 累加得如+++如是<淡 所以点Q到直线AP的距离d x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0.0). √3+(-2) 33 In2x+l (a-D(n+1 21V13 即)的单调递增区间为[一音十学音+打 26 即gm是<[（导×）×（倍×）×… kEZ: 所u-ow店.o.成-（号号o小-o 所以8w=×压×2v厘_2 2 26 8 (高×】=h0=h2+n<a2+ 令受+2张≤+后<经+2：∈7解刊音经 -√2.2). 18.1)解：由想意知f(x)一aco8r一1十z 1m1-ln2, <+e 设平面PBC的法向量为n=(x,y,), 令k(x)=4c01一1+士 所以之n是<n2 即x)的单调递减区同为[臣+经营+]乙 烟·武-0， 即 +-0… (3)解：方程e·-1n1十r)=0实数根的个数为1. m·Cp=0. 1 -2y+2=0 则h'(x)=-asin+0千r) 理由如下： 2调为x,]所以+若后] 令x=1,得y=12=1.所以平面PBC的一个法向量 因为g(x)=e1-ln(x十1)， 因为当x∈（一1,0]时，sinx<0,a为正实数， 1 为n=《1,1.1) 所以'(r)>0在区间（一1,0]上恒成立， 所以g'(x)=eT x+1 则m(+若）[-1.， 由题意知OC为直线AC的一个方向向量 所以'(x)在区间（一1,0]上单调递增，且'(0） 设直线AC与平面PBC所成的角为0， 今G)--则G(x)=e+>0 所以fxe-2.2].则fx)在区同0]上的值 a-1. 则in0=cosm.1=1n·O 在区间（一1，十）上恒成立 ①当0<a≤1时，f广()≤f'(0)≤0在区同（一1,0]1 域为[-2,21. n10C3×23· 所以x'(x)在区间（一1，十）上单湖递增： 恒成立· 16.(1)证明：如图，过点P作PO⊥AC,垂足为点O,连 故直线AC与平面PBC所成角的E袋值为 所以f(x)在区问（一1,0]上单调递减。 又o)-e->0g(）-6-2<0. 接OB. 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC 17,解：(1)由C的焦距为2，得c=1.则b=a一1. 此时f(x)≥f(0)=0,符合题意 所以由零点存在定理，得3∈（一子）使得 AC,POC平面PAC 因为点印，受)在C上· ②当a>1时f0)-4-1>0(日-） g'x=0,卿e=+ 1 所以PO⊥平面ABC 又BCC平而ABC,所以PO⊥BC. 所+名-1得=46- aos行--a<a-a=0, 所以x+1=ln十方=-lx+D 在R△POC中，由∠PCA=45,PC=2,得OC 所以C的方程为片+号-1 所以g(x)在风间（一1,1）上单调递减，在区间(x1·+o) PCcos/PCA=2cos 45'=2. 由零点存在定理，得3∈（日1,0，使得了）=0 (2)由(1)得A(一2,0).B(2,0).设P(x+y)(-2<x 上单刮递增， 在△OBC中.由余弦定理，得OB=O1+BC 则f(x)在区间(-1x)上单调递减.在区间(xa,0]上 所以m=g《x)=g(i1)=1一n(x:十1)= 2C·BCos∠ACB=2+1-2×V2c0s45'=1, 0.0y<.Q(经小u≠0n 单词递增， 即OB-L 因为BP⊥BQ,所以BP·B而=0， 所以当x∈(xa,0)时，f(x)<f(0)=0,此时不符合 1+1+1+1 因为(OC=OB+BC, 所以OB⊥BC. 所以少=-2-2)① 题意。 又x1+1(分小令+1=，e(侵小则m 综上，正实数a的最大值为1. 义P0∩OB=O,PO,OBC平面POB. 又B即=1BQ1,所以-2+-号+@. (2)证明：由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx> 所以BC⊥平面POB n(1+x). 又PBC平面POB,所以PB⊥BC, 联立①©（智+1）小少-号+：解得y-号 所以m-1-是-_-+D<0在K倒 2 又点P在第三象限且清起号+ 令x=-k>1k∈N则m(-)>n( (合上相成立 所以y=受=1所以P(-1.） )h是 即m=1+在区同（合）上单河遂减： k·k 将x=-1y=代入①.1=3所以Q(3 即m京<1n—-n(k-1)k+而 所以2<m<号+2=受，即m∈(3，）】月 又A(一2,01：所以AP1=区，直钱AP的方程为 所以血<h爱血<h血 令H)-et-n1+).2<m<号则H'x) 2 n·n 3r-2y+6=0 血(n-1D(m+1) e一1+x ·3 4 争r=e-品2周c=e+af>0 所以P(S,>T)=P(Sa=1,T=0)十P(S,=2, Tx-0)+P(S,-2.T,-1)+P(S,-3.T-0)+ 在区间（一1.十©）上恒成立， 所以H'(r)在区间（一1，+∞）上单调递增 P(S,=3,T,=1+P(,=3,T=2)=× 又H'0)=e-e<0.H'm-D=（m-D>0. ×+×+×+×+×-品 所以由零点存在定理，得31∈(0，m一1)，使得 所以5>T,的概率为32 H'x)=0,即e=+x 包票 (i)因为P(S,=2)=元=8P(5,=2a:=1) 所以m=1十x+ln(1十x:), 令m)=+n工，期m()-1+>0在区同 9- (0,十∞)上恒成立. 3 所以m(x)在区间(0.十∞)上单调递增. 所以P(a:=15,=2)=P(S:=2.a:=1)161 P(S=2) 32 8 又m=十1十mx十市 所u1十=之则n+)-B中 放在5，=2的情况下：=1的概率为 =1十x 《2)X的所有可能取值为0,1,2.….k, 又H(x)在区间（一1，：）上单测递减，在区间(x,十∞) P(X-1)-CX2X2G 上单调递增。 2X2” -0l,2…k 所以H(x)m=H(x:)=e-eln(1十：) 故随机变量X的分布列为 [2h1+小=0+-+小=o X0123…k 即H(x)有唯一苓点x:· P 故方程e+=-1n(1+x)=0实数根的个数为1 19解：(1)(1)当k=3时，(a1a2a,6:,b:6均有8种 (k1D川 情况，分别为(0,0,01，{0.0,1}，{0,1,0，(0.1.11，{1， 因为G=1快-=·a-1[-)-a-DJ 0.01.1.0.1.1.1.01.1.1.1, kC{(iEN,1≤i≤)， P(S:-0)-P(T-0)-P(S,=1)-P(T= 1-P(s-2-P(T-2)-Ps,-3 +20+3G++)-(G-+d+ P(T.-9-1. G-1++C)=·2=是 2=2 ·5·2026年5月高三年级号 米娄 1.已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x1og1x>-2},则A∩B= A.{1,2,3} B.{2,3}》 C.{-1,0}》 D.{0,1,2,3} 2.设之=1十i2025,则x之十之= A.3+i B.3-i C.1+i D.1-i 的展开式中，x1的系数为 In A.-80 B.-10 C.10 D.80 4.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则AE·EF 5.已知表面积相同的圆锥与球的体积之比为1：2，则该圆锥侧面展开图圆心角的大小为 A号 经 C.π D晋 数 6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,且a2十4S=b2+c2,则A= A B背 n呀 7.已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,1)的直线1交C于A,B两点，弦AB被点P平分，则|AB|= 、厨 图 D.√35 8.1og35十e(e=2.72…是自然对数的底数)的值所在区间是 (2. (引 c 9.已知四棱柱ABCD-A1B,CD1的所有顶点均在球O的球面上，设OA=a,OB=b,OC=c, OD=d,则下列结论正确的是 A.四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱 B.若AB⊥CB1,则d=A1O+C1D C,若a·c=b·d,则点A,B,C1,D1共面 D.若a·b+c·d=a·d+b·c,则AC⊥BD 10.已知函数f(x)=(x2十ax)e,则下列说法正确的是 A.当a=一2时，f(x)在区间[-1,1]上单调递减 B.当a=一2时，f(x)没有最值 C.当a=一2时，过原点且与f(x)相切的直线有两条 D.对任意a∈R,f(x)恒有两个极值点 数学试题第1页（共4页）】 业质量检测同类训练题（一） 学 11.随着我国航天科技的快速发展，双曲面镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲 线的光学性质是从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长 线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点 线的夹角已知E,F2分别为双曲线C:一y1的左、右焦点，过C右支上二 A(2,)x。>2)作直线1交x轴于点M(0),交y轴于点V,则下列说法正确的是 1 A.C的渐近线方程为y=士 B过点F1作F1H⊥AM,垂足为H,则OH|=2 C点N的坐标为(o,) D.四边形AF1NF2面积的最小值为2√5 12.设样本数据x1,x2,…,x1o的平均数和方差分别为1和2，则数据2x1,2x2,…,2x1o,2,2, 2,2,2的方差为 C.4 .16 A.2 0.3 13.已知正项等差数列{a的前n项和为S,者)a:十1，S成等比数列，则的最小 1 值为 14.已知函数y=xe,过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，切点的横坐标分别为x1,x2, 则x1十x2= A.-3 B.3 C.-3 D.3 15.已知向量a=(4 sinr,-1),b=(co(ox+),-1)(o>0),f(x)=a·b,且f(x)图象 的对称中心到对称轴的距离的最小值为餐 (1)求f(x)的单调区间： (2)求f(x)在区间[0，]上的值域。 数学试题第2页（共4页） 16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=∠ACB=45°，PC=2, BC=1. (1)证明：PB⊥BC; (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. ------------ ------〉C x2 4y2 17.已知椭圆C:。+元=1a>b>0)的焦距为2，点(1,2)在C上. (1)求C的方程； (2)A,B分别为C的左、右顶点，P是C上位于第二象限内的点，点Q在直线x= 2k, 且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积. 数学试题第3页（共4页） 18.已知函数f(x)=asin x-ln(1+x). (1)若对任意的x∈（一1,0]，f(x)≥0，求正实数a的最大值； （2y证明之s如<h2: k=2 (3)若g(x)=f(x)十e+1一asin x的最小值为m,试判断方程el+x-"一ln(1十x)=0 实数根的个数，并说明理由. 19.课外活动时间，甲、乙两位同学进行投篮练习，均进行k(k∈N*)次投篮，用a:(i∈N*,且 1≤i≤k)表示甲第i次投篮的结果，若投中，则a;=1;若未投中，则a:=0.用b:(i∈N,且 1≤i≤k)表示乙第i次投篮的结果，若投中，则b:=1;若未投中，则b:=0.已知甲、乙每次投 篮投中的概率均为？，且甲、乙每次投篮是否投中互不影响。 1)i记2a,=S,2b:=T (ⅰ)求S3>T3的概率； (iⅱ)求在S4=2的情况下，a2=1的概率； (2)记X=2|a:一b,1,求随机变量X的分布列及数学期望. 数学试题第4页（共4页） 2026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 参考答案及解析·数学 1.A【解析】由log号x>-2,得0<x<4,即B={x0< x<4},所以A∩B={1,2,3. 时+1e<所以号+1<e< 所 2.A【解析】由题意得之=1+i,则乏=1一i,所以之乏+ 之=(1+i)(1-i)+1+i=2+1+i=3+i. +号<log5+e<+即<b5t< 以6 5 3.A【解析】T,+1=C (-2)r=(-2)· 111 Cx号，令r=3,得x1的系数为-2C=-80. 9.ABD【解析】对于A,因为侧面ABB1A1是平行四边 4.一1【解析】连接BD,由题意得A它-AB+B正=AB+ 形，所以∠BAA1=∠BB1A1.又A,B,B1,A1四点共圆， 成-店+市应-2防=市-)所以 所以∠BAA十∠BB,A:=,所以∠BAM:=,即 AA1⊥AB.同理可得AA1⊥AD.所以AA1⊥平面ABCD, 应.萨-2（(+2ò)·动-A=2(2亦 所以四棱柱ABCD-A1B,C1D1是直四棱柱，故A正确； AB2）.因为正方形ABCD的边长为2，所以AD= 对于B,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，所以 BB1⊥AB.若AB⊥CB1,则AB⊥平面BCC1B1,所以 A应=4，所以A范.亦=合×（号×1-）=-1. AB⊥BC.又四边形ABCD是底面圆O的内接四边形，所 以AC是圆O的直径，且由上可知O为矩形ACC1A,对 5.A【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为1，球的半 角线的中点，所以A10=OC,故d-Aò=d-O元 径为R.则4=r+m,经R-号。 CD=C,D,即d=AO+C1D,故B正确；对于C,因为 a=|b=c|=d,所以当a·c=b·d时，AC=BD, 整理得16R=号（十0=2r(1十r1-r).即(，十 AC AC BD 根据正弦定理得 l)2=8r(1一r),(l一3r)2=0,1=3r,所以圆锥侧面展开 sin∠ABC sin∠ADC sin∠BAD 图圆心角的大小为平-子 3 smBD所以ABC=∠BAD BD 或∠ABC=∠BCD. 1∠ADC=∠BCD,1∠ADC=∠BAD. 6.A【解析】因为a2十4S=b2十c2,所以a2十4× 当I∠ABC=∠BCD 时，BC∥AD,AB与CD不一定 2 bcsinAc sin A=itc-a2 ∠ADC=∠BAD 2bc =cosA,所 平行，所以AB与C1D1不一定平行，A,B,C1,D1不一 以tanA=1.又A∈(0，π)，则A=π 定共面，故C错误；对于D,若a·b十c·d=a·d十b· 41 c,则oA.Oi+O心.OD=OA·Oi+Oi·O元，所以 7.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2=4, OA.OB-OA,OD=OB.OC-O元.OD.所以OA· y1十y:=2.由y=4x1,y=4x2,得y1-业 DB=OC·DB,得DB·AC=0,所以BD⊥AC.又 X1一x2 4 BB1⊥AC,所以AC⊥平面BB1D1D,所以AC⊥BD1, y十y,2=2,所以直线1的方程为y-1=2(x一2》 故D正确. 即y=2x-3.联立=2x-3 10.ACD【解析】对于A,当a=-2时，f(x)=(x2-2x)e, 得4x2-16.x+9=0,△= y2=4x, 则f'(x)=(x2-2)e.当x∈[-1,1]时，恒有f'(x)< 162-4×4×9=112>0,故AB|=√1+4X√7=√35. 0,所以f(x)在区间[一1,1]上单调递减，故A正确；对 8C【解折】1og5=号1og25<21osr27=号，因为 于B,f'(x)=（x2-2)e,令f'(x)=0,得x=士2，所 以f(x)在区间（一∞，一√2）上单调递增，在区间（一2， 37=2187,5=3125,所以1og,5=写1og:173125> √2)上单调递减，在区间(W2,十∞)上单调递增.当x→ ew2187=号，故号<1og:5<又当o<<1 十o∞时，f(x)→十o,故f(x)无最大值.又当x→一∞ 时，f(x)→0，且当x<0时，f(x)>0,f(W2)=(2 。1 2W2)e<0,所以f(x)在x=√2处取得极小值，也是12.D【解析】由题意得x1十x2十…十x1o=l0,(x1 最小值，故B错误；对于C,设切点为(xo,y),则切线 1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2=20,记数据2x1, 方程为y一y。=f(xo)·(x一xa).因为该切线过原 2x2…,2x10,2,2,2,2,2的平均数为y,方差为s2,则 点，所以ya=xnf'(xn),即(x后十axo)eo=xo(x8十 axo+2x。+a)e6,即xo[x日+(a十1)xo]=0,当a= y=2x+2x:十…+2x+2X5_20+10 15 15 2,所以 一2时，方程有两解，故C正确；对于D,f'(x)= s2=[(2x1-2)2+(2x2-2)2十…十(2x10-2)2+ [x2+(a十2)x+a]e,令f'(x)=0,因为e'>0,所以 5×(2-2)2]÷15=4[(x1-1)2+(x2-1)2+·+ x2+(a十2)x十a=0,△=(a+2)2-4a=a2十4>0，即 f'(x)=0有两个不相等的实数根，所以f(x)恒有两 (x1o-1)2]÷15=4X20_16 153 个极值点，故D正确. 25 13.2 1 11.ABD【解析】对于A,由已知可得a=2,b=1,所以C 【解析】由题意得gS,=(a1十1)产，即 的渐近线方程为y=士号1，故A正确：对于B,如图， 9(a1十ag) =9(a1+1)2,则a6=a十2a1+1,而a1> =y=。,所以直线AM的方程为 x。-4号-44 0,因此S=2a:+a)X5 号(++3≥ a y= -x一 5 4yo yo y= 1联立 得x2-2x0x十 ×a·+3）-要当且仅当，=即 4 -y2=1, a=1时，等号成立，所以当a1=1时，S取得最小 x=0.因为△=4x一4x=0,所以AM为C的切线 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF:.设F1H 度5 21 与AF2的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即 H为FE的中点.又O是F1F2的中点，所以OH|= 14.B【解析】由y=xe,得y'=(x+1)e.设切点坐标 IF-(AEI-IAF,D-(IAF,I-IAF,D- 为(xo,xoe。),所以y',-。=(x。十1)e,所以切线方 程为y一xne”=(xg十1)e(x一x。),所以 “=2,故B正确：对于C,设N(0,yw),则n-0 -xoe=(xo+1)em(3-xo),即(-x8+3x。十3)· 4 e=0.因为过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，所 0八心，整理得-x十4w=4又-明=1.所 以关于x。的方程(-x?+3x。十3)em=0有两个不同 4一0 的解x1,x2,即关于x。的方程-x十3x。十3=0有两 个不同的解x1,x2,所以x1十x2=3. 以x=4十4y,所以-(4十4y)yN十4yN=4yo,解得 =一所以点V的坐标为(o一品)小放C错 15.解：因为a=(4 sin.-1D.b-(co(r+）-） 且f(x)=a·b 误；S四边形AF1NF,=S△A,F2十S△NF152=2XFF:X 所以fr)=4 sin(r+G）十1 (.+)≥2×26x2· -25, =4 sin(C0-sinin）+l 当且仅当y。=,即=士1时，等号成立，所以 =23 sin wx cos wx-2sin'wx+1 四边形AF1NF2面积的最小值为2V5,故D正确. =5sin2ar+cos2ar=2sin(2ar+6）片 又∫(x)图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为 8,且w>0, 所以- =π，即T=)=。,解得w=2, 所以f)=2simx+君）月 ·2· 令-2+2x≤4x十吾≤7+2kx:k∈Z.解得- (2)解：以O为坐标原点，OC,OP所在直线分别为 6 6 y轴、：轴，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为 π∠x≤品十分，ke乙 x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0), 12T2 √2√2 +经+] π C(0,√2,0)，B ,P(0,0√2)， 即f(x)的单调递增区间为 k∈Z: 所以O元=(02,0).BC= 令+21+<+2张∈解得+“≤ 62 -√2，N2) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 2 即f(x)的单调递减区间为 +经+ k1,k∈Z. 则·B元=0， 2 ,√ 2t 2y=0, n.CP=0. √2y十√2：=0. (②因为∈[】所以+后c[吾] 令x=1,得y=1,之=1，所以平面PBC的一个法向量 为n=(1,1,1). 测sin4虹+G)∈[-1,11， 由题意知OC为直线AC的一个方向向量， 设直线AC与平面PBC所成的角为0， 所以f)[-2,2].则f(x)在区同[o:]上的值 则sin0=-lcosm.0心1=n,0交-v2 √3 域为[-2,2] n1od3×23' 16.(1)证明：如图，过点P作P0⊥AC,垂足为点O,连 接OB 故直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 3 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC= 17.解：(1)由C的焦距为2，得c=1,则b2=a3-1. AC,POC平面PAC, 3 因为点(1,2)在C上 所以PO⊥平面ABC. 又BCC平面ABC,所以PO⊥BC. 所以1 9 a246 =1,解得a2=4,b2=3, 在Rt△POC中，由∠PCA=45°，PC=2,得OC= 所以C的方程为+ PCcos,∠PCA=2cos45°=√2. 1 在△OBC中，由余弦定理，得OB2=OC2+BC2 (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P(xy)(-2<x< 2OC·BCcos.∠ACB=2+1-2×√2cos45°=1， 0.0<5).(小≠0 即OB=1. 因为BP⊥BQ,所以BP·BQ=0, 因为OC2=OB2+BC2, 所以y= 3 (x-2)①. 所以OB⊥BC. 又PO∩OB=O,PO,OBC平面POB, +② 又BP=BQ1,所以(x-2)2+y2=9 所以BC⊥平面POB, 又PBC平面POB,所以PB⊥BC. 联立©得（售+1少=号+解得y= 又点P在第二象限，且清足+-1。 3 所以y= =-1.所以P(-1,2)） C 将x=-1,y= 三代入①，得1=3，所以Q(子3) 义A(-2.0),所以1AP1= 2,直线AP的方程为 2 B 3x-2y+6=0, ·3· 3x号-6+6 所以点Q到直线AP的距离d= W32+（-2) 3×3 n。n In 2×4 21v13 +…+ln(m-1)(n+)' 26· 即m是<[(×号）×(2x)×…X 所以S△APQ= 2 26 8 (×)门=0=2+<2+ 1 18.(1)解：由题意知∫'(x)=acosx一1十x' In 1=In 2, 1 所以2sim京<n2. 令h(x)=acos x一 1+x (3)解：方程e+"一ln(1十x)=0实数根的个数为1， 则h'(x)=-asin+a+x) 1 理由如下： 因为g(x)=e+1-ln(x+l), 因为当x∈(-1,0]时，sinx<0,a为正实数， 所以h'(x)>0在区间(-1,0]上恒成立， 所以g'(x)=e+1-1 x+1 所以f'(x)在区间（一1,0]上单调递增，且f'(0)= 1 1 令G(x)=e+1- +则G'(x)=e1+x+1)>0 a-1. 在区间（一1，十o∞）上恒成立， ①当0<a≤1时，f'(x)≤f'(0)≤0在区间(-1,0]上 所以g'(x)在区间（一1，十o○）上单调递增. 恒成立， 又go)=e-1>0g(- =√-2<0， 所以f(x)在区间(-1,0]上单调递减， 此时f(x)≥f(0)=0,符合题意 1 所以由零点存在定理，得3∈（一20）使得 @当a>1时，f(0)=a-1>0,f(日-1) 1 g'(x1)=0,即e+1= x1十1 aor(日一a<a-a= 所以x十1=1n十1 1 -ln(x1+1), 由零点存在定理，得3，（日一-1.0），使得f)=0 所以g(x)在区间（一1，x)上单调递减，在区间(x1,十∞） 上单调递增， 则∫(x)在区间（一1，x)上单调递减，在区间(x0,0]上 所以m=g（x)mm=g(x1)=e1+1-ln(x1十1)= 单调递增， 所以当x∈(x,0)时，f(x)<f(0)=0,此时不符合 x1+1+x1+1. 题意 又x+1(分令+1=1，(2小则m 综上，正实数a的最大值为1. (2)证明：由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx> t In(1+2). 所以m'=1-吉==《-1少+D<0在区间 /2 12 12 令=是>1k∈N)则m()>n1 (合)上恒成立， 是)= 即m=1+}在区同（分，小上单调造诚。 1 k·k 即sin京<n-=nk-1)k+D 所以2m<+2m∈（）月 所以s<n 2×2 3×3 1 15,sin5ln2,…,81nn2 令H(x)=e-eln(1+x),2<m<2,则H'(x)= n·1 1nm-1)(n+D' 1+x ·4· 令)=e-则)=e*+ 1+r)>0 所以P(S3>T:)=P(S3=1,T3=0)+P(S3=2, T8=0)十P(S3=2,T3=1)十P(S3=3,T3=0)+ 在区间（一1，十∞）上恒成立， 所以H'(x)在区间（一1，+∞）上单调递增， PS,=3,T:=1+p(S,=3,1,=2)=号Xg十 又H'(0)=e-e<0.H'(m-1D=em-1D>0. 3、13、31、1131311 8X8+8X8+8X8+8×8+8x8=32 所以由零点存在定理，得x2∈(0，m一1)，使得 所以S>T的概率为32 1 H'(x)=0,即e+=1十x -3 ()因为P(S=2)=2=8,P(S,=2,a:=1)= 所以m=1+x2+ln(1十x2). C3 m(x)=x+1nx,则m'(x)=1十>0在区 2-161 (0,十∞)上恒成立， 所以P(a2=1S4=2)= P(S4=2,a2=1)16 1 所以m(x)在区间(0，十∞)上单调递增. P(S4=2) 2 所以1十4=十方则1+)=0 故在S,=2的情况下a:=1的概率为号 -=1十x1 (2)X的所有可能取值为0,1,2，…，k, 又H(x)在区间（一1，x2)上单调递减，在区间(x2,十∞） CX2×24-iC P(X=i)= 上单调递增， 2×2 ,i=01,2,…,k, 所以H(x)m=H(x2)=e+?-e"ln(1十x2)= 故随机变量X的分布列为 e[,h1+小-e1+-1+小=0 0 1 2 3 C C C C 即H(x)有唯一零点x2, P 2k 2 2 2* 2 故方程e+-m-ln(1十x)=0实数根的个数为1. 19.解：(1)(i)当k=3时，{a1,a2,a3},{b1,b2,b3)均有8种 i·k! (k-1)！ 情况，分别为{0,0,0}，{0,0,1}，{0,1,0}，{0,1,1}，{1， 因为C=1h-1=k‘a-1D1[-1)-后-1j 0,0},{1,0,1},1,1,0},{1,1,1}, kC(i∈N,1≤i≤k), 则P(S,=0=P(T,=0)=gP(S,=1)=P(T, 所以E(x)=0x号+1x9+2x +…十6x 20 D=,P(S=2)=P(T,=2)=,PS,=》 2C+2c+3c+…+AG)=是(C-+c+ PT=》-日， C-1十…+C=)=·2=k 2=2 ·5·2026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 参考答案及解析·数学 1.A【解析】由log号x>-2,得0<x<4,即B={x0< 时x+1<e<1义 人 所以号+1<<，' 5 x4},所以A∩B={1,2,3}. 2.A【解析】由题意得之=1+i,则z=1一i,所以之乏+ 之=(1+i)(1-i)+1+i=2+1+i=3+i. 以67 号+号<og5+e<+即<be5+e< 5 3.A【解析】T+1=C (-2)=(-2)· 片而号>号所以<1g5+e< 11 13、5 111 Cx号，令r=3,得x1的系数为-2C=-80. 9.ABD【解析】对于A,因为侧面ABB1A1是平行四边 4.一1【解析】连接BD,由题意得AE=AB+B正=AB+ 形，所以∠BAA1=∠BB1A1.又A,B,B1,A1四点共圆， 2成-店+2A市萨=2励=（市-）.所以 所以∠BAA:十∠BBA=,所以∠BAA:=2,即 AA1⊥AB.同理可得AA1⊥AD,所以AA1⊥平面ABCD, A恋·成=2(+2动)-恋=(2亦 所以四棱柱ABCD-A1B1C1D,是直四棱柱，故A正确； AB2).因为正方形ABCD的边长为2，所以AD2= 对于B,因为四棱柱ABCD-AB1C1D1是直四棱柱，所以 BB1⊥AB.若AB⊥CB1,则AB⊥平面BCC1B1,所以 A店=4，所以A应.正成=号×（合×4-）=-1 AB⊥BC.又四边形ABCD是底面圆O的内接四边形，所 以AC是圆O的直径，且由上可知O为矩形ACC1A,对 5.A【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为(，球的半 角线的中点，所以Aδ=OC,故d-A10=d-O元= 径为R.则4=+，经R 3w2·-r, CD=CD,即d=AO+C1D,故B正确；对于C,因为 a=|b=c|=d,所以当a·c=b·d时，AC=BD, 整理得16R6=3(r+)=2r*(1+r)(U-r),即(r中 AC 根据正弦定理得 Ac BD l)2=8r(1一r),(l一3r)2=0,I=3r,所以圆锥侧面展开 sin∠ABC sin∠ADC sin∠BAD 图圆心角的大小为要- 3 sin BCD:所以ABC=∠BAD. BD '或∠ABC=∠BCD. 1∠ADC=∠BCD,1∠ADC=∠BAD. 6.A【解析】因为a2十4S=b2十c2,所以a2十4× 当∠ABC=∠BCD, 时，BC∥AD,AB与CD不一定 2 bcsin A+c sin Aic-a 2b0 =cosA,所 \∠ADC=∠BAD 平行，所以AB与C1D1不一定平行，A,B,CD1不一 以tanA=1,又A∈(0，π)，则A=T 定共面，故C错误；对于D,若a·b+c·d=a·d+b· 4 c,则oA.O店+O心.O币=OA.O币+O.O元，所以 7.D【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1十x2=4, OA.OB-OA.oD=OB.OC-O元.OD.所以OA· y1+y:=2.由y=4x1,y号=4x2,得y1-y= DB=OC·DB,得DB·AC=0,所以BD⊥AC.又 x1-x2 BB1⊥AC,所以AC⊥平面BB,D1D,所以AC⊥BD1, y,十v,=2=2,所以直线1的方程为y-1=2(x-2) 故D正确. 即y=2x-3.联立y=2-3 10.ACD【解析】对于A,当a=-2时，f(x)=(x2-2x)e, 得4x2-16.x十9=0，△= y2=4x, 则f'(x)=(x2-2)e.当x∈[-1,1]时，恒有f'(x)< 162-4×4×9=112>0,故|AB|=√1+4×7=√35. 0,所以f(x)在区间[一1,1]上单调递减，故A正确；对 8C【解析】16g5=名oe25<}oe27=号，因为 于B,f'(x)=(x2-2)e,令'(x)=0,得x=±2，所 以f(x)在区间（一∞，一√2）上单调递增，在区间（一√2， 9=2187.5=3125,所以16e.5=号og:1w3125> √2)上单调递减，在区间(W2,十∞)上单调递增.当x→ 十∞时，f(x)→十∞，故f(x)无最大值.又当x→一∞ 号1g:m2187=号，放号<16g5<2又当0<r<1 时，f(x)→0，且当x<0时，f(x)>0,f(2)=(2 1 22)e<0,所以f(x)在x=√2处取得极小值，也是12.D【解析】由题意得x1十x2十…十x1o=10,(x1一 最小值，故B错误；对于C,设切点为(x0,yo),则切线 1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2=20,记数据2x1, 方程为y一ya=f'(x)·(x一xa).因为该切线过原 2x2,…,2x0,2,2,2,2,2的平均数为y,方差为s2,则 点，所以yo=xof'(xo),即(x6十axo)e=xo(x十 2x1十2x2十…+2x10十2X5_20+10 axo+2xo+a)e0,即x[x8+(a+1)xo]=0,当a= 15 15 =2,所以 一2时，方程有两解，故C正确；对于D,f'(x)= s2=[(2x1-2)2十(2x2-2)2+…+(2x10-2)2十 [x2+(a十2)x+a]e,令f'(x)=0,因为e>0,所以 5×(2-2)2]÷15=4[(x1-1)2+(x2-1)2+…+ x2+(a+2)x十a=0,△=(a+2)2-4a=a2+4>0,即 f'(x)=0有两个不相等的实数根，所以f(x)恒有两 （x16-1)2]÷15=4X20_16 15-3 个极值点，故D正确。 25 1 11.ABD【解析】对于A,由已知可得a=2,b=1,所以C 13.2 【解析】由题意得gS,=(a1+1),即 的渐近线方程为y=士2x,故A正确；对于B,如图， 9(a1十ag) 2 =9(a1十1)2，则a5=a+2a1+1,而a1> yo kAM=- Ioyo xo -4x6-44 -,所以直线AM的方程为 0,因此S-2a+a)X5 5 = (++)≥ y= 1 4yo yo ×(2a·+3-当且仅当a,=即 5 25 y- 联立 得x2-2x0x十 a 4yo 4-y2=1, a1=1时，等号成立，所以当a1=1时，S取得最小 x=0.因为△=4x一4.x8=0,所以AM为C的切线. 由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF,.设F1H 与AF,的延长线交于点E,则AH垂直平分F1E,即 5 H为F,E的中点.又O是F,F2的中点，所以1OH=14.B【解析】由y=xe,得y'=(x+1).设切点坐标 (AEI-IAF,-(AF,I-IAF,D- 为(xo,xne),所以y'|,-。=(xo十1)e,所以切线方 程为y一xoe。=(x0十1)e,(x一x。),所以 a=2故B正确：对于C,设N(0,yN),则y。-0 -x0e=(x。十1)e。(3-x。),即(-x8+3x。+3)· 4 x0 e=0,因为过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，所 0当整理得-yw十4×=4又号-=1，所 以关于x。的方程（一x+3x。+3)e=0有两个不同 4一0 的解x1,x2,即关于x。的方程-x十3x。十3=0有两 xo 个不同的解x1,x2,所以x1十x2=3. 以x8=4+4y,所以-(4+4y)yN十4yN=4yo,解得 w=一品所以点N的坐标为(0，-放C错 15.解：I)因为a=(4snar.-.b-(o(or+)小-） 且f(x)=a·b 误；S图边形A,N,=SAA,r,十SANF,=2XFF:X 所以fu)=4 in(or+)十l (+)≥×25×2√· =2√5， =4sin ox coS wx cos 6 -sin sin）+l 当且仅当|y|= 。即y。=士1时，等号成立，所以 =2√3sinωccos wx- 2sin2o+1 四边形AF1NF2面积的最小值为25，故D正确. -sin 2cos 2-2sin2) 又∫(x)图象的对称中心到对称轴的距离的最小值为 8,且w>0, 所以- ,即T= 2,解得w=2, 2 所以f)=2sim(4红+君) ·2· 令-2+2张x<4x十吾≤号+2x,k∈Z解得- (2)解：以O为坐标原点，OC,OP所在直线分别为 6 6 y轴、之轴，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为 x≤品十k∈乙 x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0), 12T2 C(0,W2,0),B 22 即f(x)的单调递增区间为 22 ,0,P(0,0W2), k∈Z: 所以O元=(0√2,0)，BC 2√2 2,20）cp=(0, 令+2n<4+<+2xk∈7.解得+ 6 2 -√2N2) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z), 2 则n·B元-0， 2y=0, 即f(x)的单调递减区间为 kπ1，k∈Z n.CP=0, -√2y十√2：=0. ②)因为[0，]所以r+合∈] 令x=1,得y=1,z=1,所以平面PBC的一个法向量 为n=(1,1,1). 则sin4虹+G）e[-11], 由题意知OC为直线AC的一个方向向量， 设直线AC与平面PBC所成的角为0， 所以fx)e[-2,2].则fx)在区间[0]上的值 3 域为[-2,2]. 则sin0=cosn.0心1=n·0文。2 n10d3×23' 16.(1)证明：如图，过点P作PO⊥AC,垂足为点O,连 接OB 故直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC= 17.解：(1)由C的焦距为2，得c=1,则b2=a2-1. AC,POC平面PAC, 因为点，)在C上 所以PO⊥平面ABC. 所以1 9 又BCC平面ABC,所以PO⊥BC, =1,解得a2=4,b2=3, 在Rt△POC中，由∠PCA=45°，PC=2,得OC= PCcos,∠PCA=2cos45°=√2. 所以C的方程为后+苦=1 在△OBC中，由余弦定理，得OB2=OC2+BC2 (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),设P(x,y)(-2<x< 2OC·BCcos.∠ACB=2+1-2×W2cos45°=1， 即OB=1. 因为BP⊥BQ,所以BP·BQ=0, 因为OC2=OB2+BC2, 所以y=一 3 (x-2)①. 所以OB⊥BC. 2t 又PO∩OB=O,PO,OBC平面POB, 又BP1=BQ1,所以(x-2)2+y2= 4+② 所以BC⊥平面POB, 又PBC平面POB,所以PB⊥BC. 联立@得（售+1小y=号+解得= 又点P在第二象限，且清足+号 =1 所以y==-1.所以P(1,)月 3 将x=一1y= 代入①，得1=3，所以Q(3 义A(-2.0),所以AP1= B 2 °，直线AP的方程为 3x-2y+6=0, ·3 3x-6+6 累加得如十m子+…十如是<h淡号 所以点Q到直线AP的距离d= √/32+(-2) 3×3 In 2×4 21√/13 +…+ln(n-1)(n+D 26 即含m是<[（导×号）×(×)×…X 所以S△APQ= ×E×21v3_21 2 2 26 8 (×升)月=0=n2+1<n2+ 1 18.(1)解：由题意知∫'(x)=acos一1十x' In 1=In 2, 1 令h(x)=acos x-1+x' 所以2in是<ln2, R一2 (3)解：方程e+x"-ln(1+x)=0实数根的个数为1， 则h'(x)=-asin+1+x) 1 理由如下： 因为g(x)=e+1-ln(x+1), 因为当x∈（一1,0]时，sinx<0,a为正实数， 所以h'(x)>0在区间(-1,0]上恒成立， 所以g'(x)=c+1一1 x+11 所以f'(x)在区间(-1,0]上单调递增，且f'(0)= x十1：则G'(x)=e+1 1 1 令G(x)=e+1- (x+1)2>0 a-1. 在区间（一1，十∞）上恒成立， ①当0<a≤1时，f'(x)≤f'(0)≤0在区间(-1,0]上 所以g'(x)在区间（一1，十∞）上单调递增. 恒成立， 又go)=e-1>0g(-2） =√-2<0 所以f(x)在区间（一1,0]上单调递减， 此时f(x)≥f(0)=0,符合题意 所以由零点存在定理，得31∈（一2,0）使得 @当a>1时，f(0)=a-1>0.f(日-1） g'(x1)=0,即e*1+1= 1 x1+1 aor(日--a<a-a=0 1 所以x1十1=ln x1+1 =-ln(x1+1). 由零点存在定理得3，（日一-1.0）使得了）=0 所以g(x)在区间（一1，x1)上单调递减，在区间(x1,十∞） 上单调递增， 则f(x)在区间（一1，x。)上单调递减，在区间(x0,0]上 所以m=g(x)mm=g(x1)=e1+1-ln(x1十1)= 单调递增， 1 所以当x∈(xo,0)时，f(x)<f(0)=0,此时不符合 x1+1十x+1. 题意. 又x+1(分1令x+1=1,(2则m 综上，正实数a的最大值为1. (2)证明：由(1)知，当a=1,x∈(-1,0)时，sinx> 1+1 ln(1+x). 所以m'=1-=1=《-)1+D<0在区间 2 12 2 令=是>1kN)则m()>61 (2上恒成立， 是)=是 即m=1+在区间（合）上单调通诚。 k·k 即sin京<lnA-=lnk-1)k+i, 所以2<m<+2=号即m（）】 所以安<h淡如<h, 3×3 1 令H(x)=e+-eln1+x),2<m<2,则H'(x)= n·n em 1nm-1)(n+1)' 1+x1 ·4· 令)=e-,则r(x)=e:+ e 1+x)>0 所以P(S3>T:)=P(S=1,T3=0)+P(S3=2, T3=0)十P(S3=2,T3=1)十P(S3=3,T3=0)十 在区间（一1，十∞）上恒成立， 所以H'(x)在区间（一1，+∞）上单调递增， PS,=3,T=1+p(S,=3,1,=2)=g×g+ 又H'(0)=e-e<0.H'(m-1D=e（m-1D>0. 3、13、31、1,1.31、311 8×8+8X8+8X8+8×8+88=32 所以由零点存在定理，得x2∈(0，m一1)，使得 所以S>T,的概率为32 1 H'(x2)=0,即e+=1十x (I)因为P(S=2)=2=8,P(S,=2,a:=1)= 所以m=1+x2+ln(1+x2). C3 m(x)=x+nx,则m'(x)=1十1>0在区i 216’ (0,十∞)上恒成立， 1 所以m(x)在区间(0，十∞)上单调递增. 所以P(ae=1S,=2)=P(S,=2,a:=1)16 P(S4=2) 32 所以1+，=十则a1十)-B 1 故在S,=2的情况下a:=1的概率为 -=1十x1 (2)X的所有可能取值为0,1,2，…，k, 又H(x)在区间（一1，x2)上单调递减，在区间(x2,十o∞） C×2×24-iC P(X=i)= 上单调递增， 2X2 i=01,2,…,k, 所以H(x)mm=H(x2)=e+?-e"ln(1十x2) 故随机变量X的分布列为 e[i+,h+小=e1+-1+小=0 0 1 2 3 C C C C 即H(x)有唯一零点x2, P 2 2 2 2 2 故方程e1+-m-ln(1+x)=0实数根的个数为1. 19.解：(1)(i)当k=3时，{a1,a2,a3},{b1,b2,b》均有8种 i·k! (k-1)1 情况，分别为{0,0,0}，{0,0,1}，{0,1,0}，{0,1,1}，{1， 因为C=!k-1=k·a-11[k-1)-G-1)万 0,0},{1,0,1},1,1,0},{1,1,1}, kC(i∈N,1≤i≤k), 则P(S,=0)=P(T,=0=gP(S,=1)=P(T, 20 D=,P(S=2)=P(T,=2)=g,P(S,=3》 2C+2c+3c++AG)=(c-+c+ PT,=》-名 C-1十…+C)=·2=k 2=2 ·52026年5月高三年级学业质量检测同类训练题（一） 数 学 1.已知集合A=(-1.0,1,2,3},B=(x1ogx>-2),则A∩B= 11.随着我国航天科技的快速发展，双曲面镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲 A.{1,2.3 B.{2,3 C.(-1.0】 D.{0,1,2,3 线的光学性质是从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长 2.设x=1十平5，则xx+x= 线经过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点 A.3+i B.3-i C.1+i D.1-i 连线的夹角.已知F,F,分别为双曲线C:一y=1的左，右焦点，过C右支上一点 3(信习)的展开式中：的系数为 A(xy,)x>2)作直线1交r轴于点M,0),交y轴于点N,则下列说法正确的是 A.-80 B.-10 C.10 D.80 A.C的渐近线方程为y=±2 4.在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD的中点，则A正.EF= B.过点F,作F:H⊥AM,垂足为H,则IOH=2 5.已知表面积相同的圆锥与球的体积之比为1：√2，则该圆锥侧面展开图圆心角的大小为 等 C点N的坐标为(0，动) C.π D.四边形AF,NF:面积的最小值为2,5 6.已知△ABC的内角A.B,C的对边分别是a,b,c,面积为S,且a+4S=b十c,则A= 12.设样本数据x11…,x的平均数和方差分别为1和2，则数据2x1,2x…,2x1,2,2, A B写 c 2,2.2的方差为 A.2 C.4 7.已知抛物线C:y2=4x,过点P(2,1)的直线1交C于A,B两点，弦AB被点P平分，则AB= 3 A图 B图 C265 D.35 18已正项等差数列a.)的前n项和为5，若)a1十1，S,成等比数列，则的最小 3 值为 8.1og15十c(e=2.72…是自然对数的底数)的值所在区间是 14.已知函数y=x,过点(3,0)作曲线y=f(x)的两条切线，切点的横坐标分别为x12, ( 引 c() D.(3) 则x1十x: A.-3 B.3 C.-3 D.3 9.已知四棱柱ABCD-AB,C,D1的所有顶点均在球O的球面上，设OA=a,OB=b.C=c, 15.已知向量a=(4sino,-1),b=(cos(r+g)-1)(w>0,fx)=a·b,且f(x)图象 OD=d,则下列结论正确的是 A.四棱柱ABCD-AB,C,D:是直四棱柱 的对称中心到对称轴的距离的最小值为8 B若AB⊥CB1,则d=A,O+CD (1)求f(x)的单调区间： C.若a·c=b·d,则点A,B,C1,D共面 (2)求f(x)在区间0，】]上的值城。 D.若a·b+c·d=a·d+b·c,则AC⊥BD 10.已知函数f(x)=(x'十a.x)e,则下列说法正确的是 A.当a=一2时，f(x)在区间[一1,1门上单调递减 B.当a=一2时，f(x)没有最值 C.当a=一2时，过原点且与f(x)相切的直线有两条 D.对任意a∈R,f(x)恒有两个极值点 数学试题第1页（共4页） 数学试题第2页（共4页】 16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=∠ACB=45°，PC=2, 18.已知函数f(x)=a sin r一ln(1+x). BC=1, (1)若对任意的x∈（一1,0们，f(x)≥0，求正实数a的最大值： (1)证明：PB⊥BC; (2)求直线AC与平面PBC所成角的正弦值. (2)证明：之sin<1n2: (3)若g(x)=∫(x)十e+1一usin r的最小值为m,试判断方程e+-"-ln(1十x)=0 实数根的个数，并说明理由. 17.已知椭圆C后+若-1a>6>0)的焦距为2，点，号)在C上 y3 19.课外活动时间，甲，乙两位同学进行投篮练习，均进行k(k∈N·)次投篮，用a,(:∈N”,且 1≤i≤k)表示甲第i次投篮的结果，若投中，则a,=1:若未投中，则a,=0.用b,(i∈N”,且 (1)求C的方程： 1≤ik)表示乙第1次投篮的结果，若投中，则b,=1:若未投中，则b,=0.已知甲、乙每次投 (②)A,B分别为C的左，右顶点，P是C上位于第二象限内的点，点Q在直线x-乙上， 篮投中的概率均为。，且甲，乙每次投篮是否投中互不影响。 且|BP|=BQ1.BP⊥BQ.求△APQ的面积. (1)记2a,=S,2b=T (1)求S>T1的概率： (1)求在S,=2的情况下，a2=1的概率： (2)记X=21a,一b,I,求随机变量X的分布列及数学期望. 数学试题第3页（共4页） 数学试题第4页（共4页》