精品解析：四川攀枝花市2025-2026学年下学期教学质量监测样卷高一数学

2025-2026学年度(下)教学质量监测样卷 高一数学 本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数的共轭复数为， 而对应的点位于第四象限. 2. 给定10个数据：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则此组数据的（ ） A. 极差为3 B. 众数为3 C. 平均数为3 D. 第75百分位数为3 【答案】C 【解析】 【详解】A选项，极差为，A错误； B选项，2出现了3次，3出现了3次，众数为2和3，B错误； C选项，，平均数为3，C正确； D选项，，从小到大，选择第8个数作为第75百分位数，即4，D错误. 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为2，则该棱台的高为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】 如图，过正四棱台上下底面的中心作该棱台的截面，为侧棱，作，垂足为， 则，，， ， 所以， 所以棱台的高为. 4. 非零向量满足，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则作图，即可得. 【详解】如图，， 由，则四边形为菱形且， 所以，则向量与向量的夹角为. 5. 学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，进而在直角三角形中求得． 【详解】在中，，， ， 由， 得， 在中，， 由， 得． 6. 已知直线、和平面、，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则或 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，根据线面平行的判定定理进行判断；B选项，根据面面垂直的性质进行判断；C选项，根据线面垂直与面面垂直的性质进行判断；D选项，根据面面平行推线线平行的方法进行判断． 【详解】A选项，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，选项中未提到平面外的直线，则直线有可能在面内，故A错误； B选项，面面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，题干中未提到与交线垂直，则直线有可能与平面相交或平行，故B错误； C选项，两平面垂直，且有一条直线垂直于其中一个平面，则这条直线可能在另一个面内，也可能与平面平行，故C正确； D选项，两平面平行，则一个平面与这两个平面相交的交线必然平行，选项中未提到共面，故两直线可能平行，也可能异面，故D错误 7. 在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值． 【详解】由题意等腰梯形的高为， 如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，， ， 所以时，取得最小值． 故选：B． 8. 在中，内角的对边分别为，且，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径是 C. 内切圆的面积是 D. 的平分线的长度为 【答案】D 【解析】 【分析】先利用向量数量积结合余弦定理求出边长，再算出，依次用正弦定理、三角形内切圆半径公式判断A，B，C，最后通过面积拆分结合半角正弦求出角平分线长度验证D． 【详解】对于A，，，， 解得，即，A错误； 对于B，设外接圆的半径为，，， 所以， 因为，所以， 由，得，B错误； 对于C，， ， 所以，解得， 所以内切圆的面积为，C错误； 对于D， 设， 因为是的平分线，所以， 由选项B的解析知，，解得， 由，得，所以， ， 由选项Ｃ的解析知，， 所以，解得， 即的平分线的长度为，D正确． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【详解】向量， ，所以A正确； 若，则，解得，所以B正确； 若，则，解得，所以C错误； 在上的投影向量为，所以D正确. 10. 棱长为的正方体中，点在正方形内(含边界)运动，则（ ） A. 若点在上运动，则 B. 若平面，则点在上运动 C. 的最小值为 D. 直线与所成的角可以为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A通过反证法进行排除；对B构造过点且与平面平行的平面，从而可判断结果；对C通过将平面​绕边旋转，由对称性可得就是最小距离；对D直接计算所成角的正切值可得，结合正切函数的单调性可判断错误. 【详解】 对A选项，当与不重合时， 若，，，平面， 所以平面，平面，所以，显然错误，因为与夹角为， 当与重合时，其余位置不垂直，故A错误； 对B选项，在正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 平面，平面，所以平面. 同理可得平面，且，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面， 又因为点在正方形内，所以平面平面， 即点在上运动，故B正确； 对C选项，将平面​绕边旋转，使​落在平面的两侧，如图： 因为与关于平面对称，所以 ​，所以的最小值为​两点的直线距离， 此时就是一个长宽高分别为的长方体的体对角线，所以，故C正确； 对选项D，因为，因此与所成角等于与所成角. 在正方体中，平面，平面，所以， 在直角三角形中，，因为点在正方形内(含边界)运动， 所以，所以，因为正切函数在单调递增， 所以，因此直线与所成的角不可能为，故D错误. 11. 已知点为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. 当，且时， D. 当是等边三角形时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】设线段的中点为，利用向量的加法得可判断AB选项；在中利用余弦定理可判断C选项；D在、中利用余弦定理求出，再利用勾股定理可得. 【详解】设线段的中点为， 因为， 所以，故B错误； 则，故A正确； 因为，所以，又，则， 因为，所以，，， 所以，， 在中利用余弦定理得，故C正确； 设等边三角形的边长为， 则， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得 ， 所以，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的除法运算求解复数，即可求得模长. 【详解】解：复数z满足，则， 所以. 故答案为：. 13. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面的扇形弧长等于圆锥的底面周长可求母线长，进而由母线和底面半径可求圆锥的高，即可求体积. 【详解】由题可知该圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为l，则，得.此该圆锥的体积. 故答案为： 14. 已知的面积为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形面积公式得到边长 的乘积，再由正弦定理将 转化为边长之比．设该比值为正数 ，将原式化为关于 的代数式，再换元并利用基本不等式求最小值，最后验证等号条件能够在三角形中实现． 【详解】记 分别为角 的对边． 由三角形面积公式， 因为 ，所以解得 由正弦定理， 令，则原式 因为，所以 令，则 ，且． 因此 由基本不等式， 等号成立当且仅当即 ． 此时. 下面验证等号条件可以实现． 取正数 满足 例如可取 再令夹角 ，则由两边及其夹角可以确定一个三角形，并且其面积为 因此等号能够取得，原式的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计该小学学生的平均身高； （3）若要从样本身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中应选取多少人？ 【答案】（1） （2） （3）5人 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求得的值； （2）由各区间中点值与相应频率乘积的和求得平均数； （3）计算出身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]内的学生总数，并求出身高在[140，150]内的学生的占比，从而求得应在该组中选取的人数. 【小问1详解】 由，得， 解得. 【小问2详解】 根据频率分布直方图，计算平均数为 . 【小问3详解】 身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生数分别为， 所以三个区域内的学生总数为. 所以从身高在内的学生中应选取人. 16. 如图，在正三棱柱中，分别是的中点． （1）求正三棱柱的表面积； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 证明：法一：连接，交于点，连接． 易得四边形是矩形，故是的中点． 又是的中点，则． 又因平面平面 故平面． 法二：连接． 因分别是的中点 则． 因平面，平面, 则平面，同理平面 又，平面， 故平面平面． 又平面，故平面． （3） 【解析】 【分析】（1）利用棱柱的表面积公式计算即得； （2）法一：连接，交于点，连接，证明，由线面平行的判定定理即可得证；法二：连接，通过证明．推得平面，平面，再由面面平行的判定定理证明平面平面，即可得证； （3）根据平面，将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，结合棱锥体积公式计算即得. 【小问1详解】 ． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面， 所以． ． 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）如图所示，为外一点，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简或由余弦定理化简求解； （2）令，在，中利用正弦定理求出从而建立关系式求出. 【小问1详解】 法一：由及正弦定理得， 从而，即， 又中， 又，所以； 法二：由及余弦定理得， 化简得，则 又，所以； 【小问2详解】 由，令，则， 在中，由正弦定理得：， ， 在中，由正弦定理得：， 因为， 所以， ， 因为，所以，， 所以，得，即 18. 已知向量，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数在上存在最小值，求的取值范围； （3）方程在上的两解分别为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示、二倍角正余弦公式及辅助角公式化简得，整体法求递增区间. （2）由题知，在上存在最小值，只需，继而得解. （3）设，由题意求得，，，由两角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出的值. 【小问1详解】 ， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，， 因为在上存在最小值，所以，则， 实数t的取值范围为. 【小问3详解】 设，由，则， 由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得， 因为方程在上的两解分别为、， 则，必有，， 所以，，同理， ， 由于，且， ，则， 由，可得. 19. 如图，在矩形ABCD中，为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△，使得平面平面，连接． （1）证明：平面； （2）设的中点为，求二面角的正切值； （3）点均在球的球面上，求球的表面积． 【答案】（1）证明：矩形ABCD中，，，为AB的中点， 由勾股定理得， 又，所以， 由勾股定理逆定理得， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面． 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，结合，得到线面垂直； （2）证明线面垂直，即为二面角的平面角，求出各边长，得到二面角的正切值； （3）作出辅助线，找到球心的位置，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点在平面内作，垂足为点，连接． 由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 由（1）知平面，因为平面，所以， ，由勾股定理得， 因为的中点为，所以． 其中，又， 故，解得， 所以二面角的正切值为； 【小问3详解】 连接BD，设中点为O，由△BCD为直角三角形，则， 则G在过O点且垂直于平面BCD的直线上． 过点作⊥于点，连接，则， ， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 故球心G与在平面BCD两侧．设，球G的半径为R， 过点作⊥，交的延长线于点，则， 则，， 所以，解得． 则，故球的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度(下)教学质量监测样卷 高一数学 本试题卷共4页，满分150分．考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 给定10个数据：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则此组数据的（ ） A. 极差为3 B. 众数为3 C. 平均数为3 D. 第75百分位数为3 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为2、4，侧棱长为2，则该棱台的高为（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 非零向量满足，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 已知直线、和平面、，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则或 D. 若，，则 7. 在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 在中，内角的对边分别为，且，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径是 C. 内切圆的面积是 D. 的平分线的长度为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 棱长为的正方体中，点在正方形内(含边界)运动，则（ ） A. 若点在上运动，则 B. 若平面，则点在上运动 C. 的最小值为 D. 直线与所成的角可以为 11. 已知点为所在平面内一点，且，则（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. 当，且时， D. 当是等边三角形时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设复数满足，则__________． 13. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________. 14. 已知的面积为，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）试估计该小学学生的平均身高； （3）若要从样本身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中应选取多少人？ 16. 如图，在正三棱柱中，分别是的中点． （1）求正三棱柱的表面积； （2）证明：平面； （3）求三棱锥的体积． 17. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求； （2）如图所示，为外一点，，求． 18. 已知向量，函数． （1）求的单调递增区间； （2）若函数在上存在最小值，求的取值范围； （3）方程在上的两解分别为，求． 19. 如图，在矩形ABCD中，为AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△，使得平面平面，连接． （1）证明：平面； （2）设的中点为，求二面角的正切值； （3）点均在球的球面上，求球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $