精品解析：黑龙江大庆第一中学2025-2026学年七年级下学期期中考试(数学)试卷

2025-2026学年初一年级下学期期中考试 数学试卷 答题时间：90分钟 卷面分值：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 黑龙江省大庆市油田是中国最大的油田，也是世界上为数不多的特大型陆相砂岩油田之一，含油面积超平方千米，累计产油超亿吨，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 单项式的系数为，次数为4 B. 多项式是二次三项式 C. 两点之间的线段，叫做两点之间的距离 D. 只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．其原理是“两点确定一条直线” 3. 下列等式变形，错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑧个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 7. 丽宏幼儿园王阿姨给小朋友分苹果，如果每人分3个．则剩余1个；如果每人分4个，则还缺2个．问有多少个苹果？设幼儿园有x个小朋友，则可列方程为（　　） A. 3x﹣1＝4x+2 B. 3x+1＝4x﹣2 C. D. 8. 已知，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 9. 关于的方程无解，则（ ） A. B. 0 C. D. 10. 长方形纸片，点E，F分别在边，上，连接，将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．如图，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知是关于x的一元一次方程，则___________． 12. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 13. 若与是同类项，则的值为___________． 14. 一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 15. 某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利，该商品的进货价为_____________元． 16. 如图，点C，O在线段上，，O是的中点，若，则_____ ． 17. 当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 18. 若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 19. 如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为_______． 20. 如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的、两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在、第二次相遇前，当动点、在轨道上相距时，则_________________． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 先化简，再求值：，其中，． 23. 已知，，，三点在同一直线上，平分． （1）如图1，若平分，求的度数； （2）如图2，若在内，，，求的度数． 24. （列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 25. A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． （1）每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． （2）若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； （3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 26. 定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：，． （1）求，的值； （2）已知有理数，，且满足，试求代数式的值； （3）解方程：． 27. 如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． （1）如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； （2）如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； （3）如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初一年级下学期期中考试 数学试卷 答题时间：90分钟 卷面分值：120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 黑龙江省大庆市油田是中国最大的油田，也是世界上为数不多的特大型陆相砂岩油田之一，含油面积超平方千米，累计产油超亿吨，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 2. 下列说法错误的是（ ） A. 单项式的系数为，次数为4 B. 多项式是二次三项式 C. 两点之间的线段，叫做两点之间的距离 D. 只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上．其原理是“两点确定一条直线” 【答案】C 【解析】 【分析】根据单项式、多项式、两点间距离、直线性质的相关定义，逐一判断说法正误，找出错误选项． 【详解】解：选项A：的系数为，次数为，A说法正确； 选项B：∵多项式的最高次项次数为2，共包含3个单项式，∴该多项式是二次三项式，B说法正确； 选项C：两点之间的距离的定义是“两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离”，距离是数量不是图形，原说法把线段本身当成距离，∴C说法错误； 选项D：根据直线的基本性质，两点确定一条直线，因此只用两颗钉子就能固定细木条，∴D说法正确． 3. 下列等式变形，错误的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等式的基本性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A若，根据等式性质1，两边同时加1，得，变形正确； B若，根据等式性质2，两边同时乘2，得，变形正确； C若，根据等式性质1，两边同时减1，得，变形正确； D若，当时，与无意义，只有才能得到，变形错误． 4. 如图，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平角的概念求出，再根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线定义，熟知角的平分线将角分成相等的两部分是解题的关键． 5. 如图，点在线段上，线段，，点、分别是、的中点，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段中点的定义求出和的长，再利用线段的和差关系求解． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，． ∴． 6. 下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑧个图中黑色正方形纸片的张数为（ ） A. 15 B. 17 C. 19 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图形可知，第①个图有3张，第②个图有5张，第③个图有7张，每次增加2张，据此规律总结出第个图形的通项公式，代入求解即可． 【详解】解：观察图形可知： 第①个图中有3张黑色正方形纸片，； 第②个图中有5张黑色正方形纸片，； 第③个图中有7张黑色正方形纸片，； … ∴第个图中有 张黑色正方形纸片． 当时，． 7. 丽宏幼儿园王阿姨给小朋友分苹果，如果每人分3个．则剩余1个；如果每人分4个，则还缺2个．问有多少个苹果？设幼儿园有x个小朋友，则可列方程为（　　） A. 3x﹣1＝4x+2 B. 3x+1＝4x﹣2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设幼儿园有x个小朋友，利用两种不同的方式分别表示出苹果总数，然后利用苹果总数不变列出方程． 【详解】设幼儿园有x个小朋友， 由题意，得3x+1＝4x﹣2． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 8. 已知，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解：   去括号得：   合并同类项得：   对任意实数，都有  ， 即  ． 9. 关于的方程无解，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程无解的问题，先把原方程变为，再由方程无解即可得到，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 故选：C． 10. 长方形纸片，点E，F分别在边，上，连接，将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．如图，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质得，，，设，则，分别用表示出、、、，再根据平角的定义得，可得关于的方程，即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∵， ∴设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知是关于x的一元一次方程，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为，列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，方程中未知数的次数为， 因此可得 移项计算得． 12. 若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解，   ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 13. 若与是同类项，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同类项的定义求出和的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：与是同类项， ，， 解得， ． 14. 一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 【答案】12 【解析】 【分析】车票是有方向的，从站点A到站点B与从站点B到站点A属于不同的车票，每个站点均可作为起点前往其余 个站点，利用计数原理计算总数即可． 【详解】解：由题意可知，一条铁路线上有4个站点， 每个站点都可以作为起点， 对于每一个起点，除自身外还有 个站点可以作为终点， 所以一共要设计的车票种数为：． 故答案为：12． 15. 某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利，该商品的进货价为_____________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该商品的进货价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设该商品的进货价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴该商品的进货价为元， 故答案为：． 16. 如图，点C，O在线段上，，O是的中点，若，则_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，，可设，，则，由，可得，求出，则，再根据点O是的中点，由线段的中点定义可得： ，最后由进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴可设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵点O是的中点， ∴， ∴． 故答案为：2． 17. 当时，代数式值为2026，则当时，代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出，进而将和代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵当时，代数式值为2026， ∴，即， 当时，． 18. 若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 19. 如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为_______． 【答案】63 【解析】 【分析】设左下角的小正方形边长为，左上角最大的正方形的边长为，根据长方形的长和宽列出方程组求解即可． 【详解】解：设左下角的小正方形边长为，左上角最大的正方形的边长为， ，解得， 长方形的长是：， 长方形的宽是：， 面积是：． 故答案是：63． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到等量关系列出方程组求解． 20. 如图，已知一周长为的圆形轨道上有相距的、两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点从点出发，以的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从点出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为，在、第二次相遇前，当动点、在轨道上相距时，则_________________． 【答案】0.5或2或8或9.5 【解析】 【分析】根据题意确定动点、的相对速度及初始位置关系，可知初始在前方处，计算第一次和第二次相遇的时间以确定的取值范围，根据两点间距离为分情况列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，则、的相对速度为， 根据圆形轨道两点间距离定义，初始时刻在逆时针方向前方处，  、第一次相遇时，比多运动，所需时间， 、第二次相遇时，比多运动，所需时间， 因为在、第二次相遇前， 所以分以下情况： 当在前方时（含多圈情况），  比多运动的总距离为或， 即或， 解得或； 当在前方时，即在前方时（含多圈情况），  比多运动的总距离为或， 即或， 解得或， 综上所述，的值为或或或， 故答案为：或或或． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方和括号里的减法，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可； （3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； （4）按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 去括号得 ， 移项合并同类项得， 系数化为1得； 【小问4详解】 解：， 两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得． 22. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式  ，   ， 当，时， 原式 ． 23. 已知，，，三点在同一直线上，平分． （1）如图1，若平分，求的度数； （2）如图2，若在内，，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，根据平角的定义可得，进而求得 ； （2）根据角平分线的定义得，根据平角的定义可得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴ ∵， ∴ 【小问2详解】 ∵平分，， ∴， ∴ ∴ 24. （列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． （1）七年级一班有男生和女生各多少人？ （2）原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】（1）男生27人，女生23人 （2）2名 【解析】 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； 【小问2详解】 解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 25. A、B两校决定联合购买一批篮球运动装备．市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的篮球队服和篮球，已知每套队服比每个篮球多60元，两套队服与三个篮球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个篮球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买的篮球打八折． （1）每套队服的价格为________元和每个篮球的价格为________元． （2）若联合购买120套队服和个篮球，请用含的式子分别表示到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； （3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 【答案】（1）180，120 （2）甲商场费用为元，乙商场费用为元 （3）到甲商场购买比较合算 【解析】 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的等量关系列一元一次方程求解； （2）根据甲、乙商场各自的优惠方案，分别计算总费用，整理得到含的代数式； （3）将代入两个代数式求值，比较大小即可判断哪家更合算． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格是元，则每套队服的价格是元， 根据题意得 ， 解得， 则， 答：每套队服180元，每个篮球120元； 【小问2详解】 解：到甲商场购买，购买120套队服赠送 个篮球， 总费用为：      元； 到乙商场购买，队服超过80套，篮球打八折， 总费用为：    元； 【小问3详解】 解：将代入两个代数式， 甲商场费用： (元)， 乙商场费用： (元)，   ，  到甲商场购买比较合算． 26. 定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：，． （1）求，的值； （2）已知有理数，，且满足，试求代数式的值； （3）解方程：． 【答案】（1）0， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求解； （2）先根据新定义及已知条件得到，再将代数式变形为，然后整体代值计算即可； （3）根据新定义分两种情况；，分别解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解： ， 当时，即， ， 解得； 当时，即， ， 解得（不符合，舍去）； 综上所述，． 27. 如图，已知数轴上点表示原点，点表示的数为．动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动；动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回，点和点同时出发，同时停止．设运动的时间为秒． （1）如图1，当时，点表示的数为 ，点表示的数为 （用含的代数式表示）； （2）如图1，当时，若、两点的距离为单位长度，求的值； （3）如图2，数轴上从左到右依次是点、、、，线段，，在数轴上方作正方形与正方形，两个正方形随点和点运动，若两个正方形同时出发，求为何值时，两个正方形的重叠部分面积为． 【答案】（1）； （2） （3）当为秒或秒或秒时重叠部分面积为 【解析】 【分析】本题考查数轴，一元一次方程的知识，解题的关键根据动点的运动轨迹，得到线段的表达式，根据题意，进行解答，即可． （1）根据数轴和运动情况即可作答； （2）根据、两点的距离为单位长度，列出方程，即可求解； （3）分情况讨论，当时，有两种情况，当时，有两种情况，分类讨论即． 【小问1详解】 解：由题意得，动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动 ∴当时，表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴当时，表示的数为：； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：由（1）可得，当时，表示的数为：，表示的数为：， ∴、两点的距离为单位长度时，， ∴． 【小问3详解】 解：∵动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，到点停止运动； ∴点表示的数为：， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴先运动到点后立即以原速返回， ∴点在数轴上表示的数为：， 当，， 当点还没有折返时，存在两种情况： 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点折返后，存在两种情况： 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，，， ∵两个正方形的重叠部分面积为，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴舍去， 综上所述，当为秒或秒或秒时重叠部分面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $